2021年全國高考乙卷數(shù)學(xué)（理）試題-[附答案]

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1、…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○……………………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○………… 學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________ …………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○………… 2021年全國高考乙卷數(shù)學(xué)（理）試題 題號 一 二 三 總分 得分 注意事項： 1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息 2．請

2、將答案正確填寫在答題卡上 評卷人 得分 一、單選題 1．設(shè)，則（???????） A．B．C．D． 2．已知集合，則（???????） A．B．C．D． 3．已知命題﹔命題﹐，則下列命題中為真命題的是（???????） A．B．C．D． 4．設(shè)函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（???????） A．B．C．D． 5．在正方體中，P為的中點(diǎn)，則直線與所成的角為（???????） A．B．C．D． 6．將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項目進(jìn)行培訓(xùn)，每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有

3、（???????） A．60種B．120種C．240種D．480種 7．把函數(shù)圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得曲線向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖像，則（???????） A．B． C．D． 8．在區(qū)間與中各隨機(jī)取1個數(shù)，則兩數(shù)之和大于的概率為（???????） A．B．C．D． 9．魏晉時劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是有關(guān)測量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測海島的高．如圖，點(diǎn)，在水平線上，和是兩個垂直于水平面且等高的測量標(biāo)桿的高度，稱為“表高”，稱為“表距”，和都稱為“表目距”，與的差稱為“表目距的差”則海島的高（???????） A．表高B．表高 C．表距

4、D．表距 10．設(shè)，若為函數(shù)的極大值點(diǎn)，則（???????） A．B．C．D． 11．設(shè)是橢圓的上頂點(diǎn)，若上的任意一點(diǎn)都滿足，則的離心率的取值范圍是（???????） A．B．C．D． 12．設(shè)，．則（???????） A．B．C．D． 評卷人 得分 二、填空題 13．已知雙曲線的一條漸近線為，則C的焦距為_________． 14．已知向量，若，則__________． 15．記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，面積為，，則________． 16．以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個分別作為側(cè)視圖和俯視圖，組成某個三棱錐的三視圖，則所選側(cè)

5、視圖和俯視圖的編號依次為_________（寫出符合要求的一組答案即可）． 評卷人 得分 三、解答題 17．某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗(yàn)新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項指標(biāo)有無提高，用一臺舊設(shè)備和一臺新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項指標(biāo)數(shù)據(jù)如下： 舊設(shè)備 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7 新設(shè)備 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5 舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為和，樣本

6、方差分別記為和． （1）求，，； （2）判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高（如果，則認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高）． 18．如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，為的中點(diǎn)，且． （1）求； （2）求二面角的正弦值． 19．記為數(shù)列的前n項和，為數(shù)列的前n項積，已知． （1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列; （2）求的通項公式． 20．設(shè)函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點(diǎn)． （1）求a； （2）設(shè)函數(shù)．證明:． 21．已知拋物線的焦點(diǎn)為，且與圓上點(diǎn)的距離的最小值為． （1）求； （2）若點(diǎn)在上，是的兩條切線，是切點(diǎn)，求面積

7、的最大值． 22．在直角坐標(biāo)系中，的圓心為，半徑為1． （1）寫出的一個參數(shù)方程; （2）過點(diǎn)作的兩條切線．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求這兩條切線的極坐標(biāo)方程． 23．已知函數(shù)． （1）當(dāng)時，求不等式的解集; （2）若，求a的取值范圍． 試卷第5頁，共5頁 參考答案： 1．C 【解析】 【分析】 設(shè)，利用共軛復(fù)數(shù)的定義以及復(fù)數(shù)的加減法可得出關(guān)于、的等式，解出這兩個未知數(shù)的值，即可得出復(fù)數(shù). 【詳解】 設(shè)，則，則， 所以，解得，因此，. 故選：C. 2．C 【解析】 【分析】 分析可得，由此可得出結(jié)論. 【詳解】 任取，則，其

8、中，所以，故， 因此，. 故選：C. 3．A 【解析】 【分析】 由正弦函數(shù)的有界性確定命題的真假性，由指數(shù)函數(shù)的知識確定命題的真假性，由此確定正確選項. 【詳解】 由于，所以命題為真命題； 由于在上為增函數(shù)，所以，所以命題為真命題； 所以為真命題，、、為假命題. 故選：A． 4．B 【解析】 【分析】 分別求出選項的函數(shù)解析式，再利用奇函數(shù)的定義即可. 【詳解】 由題意可得， 對于A，不是奇函數(shù)； 對于B，是奇函數(shù)； 對于C，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，不是奇函數(shù)； 對于D，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，不是奇函數(shù). 故選：B 【點(diǎn)睛】 本題主要考查奇函數(shù)定

9、義，考查學(xué)生對概念的理解，是一道容易題. 5．D 【解析】 【分析】 平移直線至，將直線與所成的角轉(zhuǎn)化為與所成的角，解三角形即可. 【詳解】 如圖，連接，因?yàn)椤危? 所以或其補(bǔ)角為直線與所成的角， 因?yàn)槠矫?，所以，又? 所以平面，所以， 設(shè)正方體棱長為2，則， ，所以. 故選：D 6．C 【解析】 【分析】 先確定有一個項目中分配2名志愿者，其余各項目中分配1名志愿者，然后利用組合，排列，乘法原理求得. 【詳解】 根據(jù)題意，有一個項目中分配2名志愿者，其余各項目中分配1名志愿者，可以先從5名志愿者中任選2人，組成一個小組，有種選法；然后連同其余三人，看成四

10、個元素，四個項目看成四個不同的位置，四個不同的元素在四個不同的位置的排列方法數(shù)有4！種，根據(jù)乘法原理，完成這件事，共有種不同的分配方案， 故選：C. 【點(diǎn)睛】 本題考查排列組合的應(yīng)用問題，屬基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是首先確定人數(shù)的分配情況，然后利用先選后排思想求解. 7．B 【解析】 【分析】 解法一：從函數(shù)的圖象出發(fā)，按照已知的變換順序，逐次變換，得到，即得，再利用換元思想求得的解析表達(dá)式； 解法二：從函數(shù)出發(fā)，逆向?qū)嵤└鞑阶儞Q，利用平移伸縮變換法則得到的解析表達(dá)式. 【詳解】 解法一：函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象，再把所得曲線向右平移個單位長度，應(yīng)

11、當(dāng)?shù)玫降膱D象， 根據(jù)已知得到了函數(shù)的圖象，所以， 令,則, 所以,所以； 解法二：由已知的函數(shù)逆向變換， 第一步：向左平移個單位長度，得到的圖象， 第二步：圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象， 即為的圖象，所以. 故選：B. 8．B 【解析】 【分析】 設(shè)從區(qū)間中隨機(jī)取出的數(shù)分別為，則實(shí)驗(yàn)的所有結(jié)果構(gòu)成區(qū)域?yàn)?，設(shè)事件表示兩數(shù)之和大于，則構(gòu)成的區(qū)域?yàn)椋謩e求出對應(yīng)的區(qū)域面積，根據(jù)幾何概型的的概率公式即可解出． 【詳解】 如圖所示： 設(shè)從區(qū)間中隨機(jī)取出的數(shù)分別為，則實(shí)驗(yàn)的所有結(jié)果構(gòu)成區(qū)域?yàn)?，其面積為． 設(shè)事件表示兩數(shù)之和大于，則構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?/p>

12、，即圖中的陰影部分，其面積為，所以． 故選：B. 【點(diǎn)睛】 本題主要考查利用線性規(guī)劃解決幾何概型中的面積問題，解題關(guān)鍵是準(zhǔn)確求出事件對應(yīng)的區(qū)域面積，即可順利解出． 9．A 【解析】 【分析】 利用平面相似的有關(guān)知識以及合分比性質(zhì)即可解出． 【詳解】 如圖所示： 由平面相似可知，而 ，所以 ，而 ， 即＝ ． 故選：A. 【點(diǎn)睛】 本題解題關(guān)鍵是通過相似建立比例式，圍繞所求目標(biāo)進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可解出． 10．D 【解析】 【分析】 先考慮函數(shù)的零點(diǎn)情況，注意零點(diǎn)左右附近函數(shù)值是否變號，結(jié)合極大值點(diǎn)的性質(zhì)，對進(jìn)行分類討論，畫出圖象，即可得到所滿足的關(guān)系，

13、由此確定正確選項. 【詳解】 若，則為單調(diào)函數(shù)，無極值點(diǎn)，不符合題意，故. 有和兩個不同零點(diǎn)，且在左右附近是不變號，在左右附近是變號的.依題意，為函數(shù)的極大值點(diǎn)，在左右附近都是小于零的. 當(dāng)時，由，畫出的圖象如下圖所示： 由圖可知，故. 當(dāng)時，由時，畫出的圖象如下圖所示： 由圖可知，故. 綜上所述，成立. 故選：D 【點(diǎn)睛】 本小題主要考查三次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法可以快速解答. 11．C 【解析】 【分析】 設(shè)，由，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式表示出 ，分類討論求出的最大值，再構(gòu)建齊次不等式，解出即可． 【詳解】 設(shè)，由，因?yàn)?

14、，所以 ， 因?yàn)?，?dāng)，即 時，即 ，符合題意，由可得，即 ； 當(dāng)，即時， ，即，化簡得， ，顯然該不等式不成立． 故選：C． 【點(diǎn)睛】 本題解題關(guān)鍵是如何求出的最大值，利用二次函數(shù)求指定區(qū)間上的最值，要根據(jù)定義域討論函數(shù)的單調(diào)性從而確定最值． 12．B 【解析】 【分析】 利用對數(shù)的運(yùn)算和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性不難對a,b的大小作出判定，對于a與c，b與c的大小關(guān)系，將0.01換成x,分別構(gòu)造函數(shù),，利用導(dǎo)數(shù)分析其在0的右側(cè)包括0.01的較小范圍內(nèi)的單調(diào)性，結(jié)合f(0)=0,g(0)=0即可得出a與c，b與c的大小關(guān)系. 【詳解】 , 所以; 下面比較與的大小關(guān)系

15、. 記,則,， 由于 所以當(dāng)00時,, 所以,即函數(shù)在[0,+∞)上單調(diào)遞減，所以,即,即b

16、平方得，又雙曲線中，故，解得（舍去），故焦距. 故答案為：4. 【點(diǎn)睛】 本題為基礎(chǔ)題，考查由漸近線求解雙曲線中參數(shù)，焦距，正確計算并聯(lián)立關(guān)系式求解是關(guān)鍵. 14． 【解析】 【分析】 根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示以及向量的線性運(yùn)算列出方程，即可解出． 【詳解】 因?yàn)椋杂煽傻茫? ，解得． 故答案為：． 【點(diǎn)睛】 本題解題關(guān)鍵是熟記平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，設(shè)， ，注意與平面向量平行的坐標(biāo)表示區(qū)分． 15． 【解析】 【分析】 由三角形面積公式可得，再結(jié)合余弦定理即可得解. 【詳解】 由題意， 所以， 所以，解得（負(fù)值舍去）. 故答案為：. 1

17、6．③④（答案不唯一） 【解析】 【分析】 由題意結(jié)合所給的圖形確定一組三視圖的組合即可. 【詳解】 選擇側(cè)視圖為③，俯視圖為④， 如圖所示，長方體中， 分別為棱的中點(diǎn)， 則正視圖①，側(cè)視圖③，俯視圖④對應(yīng)的幾何體為三棱錐. 故答案為：③④. 【點(diǎn)睛】 三視圖問題解決的關(guān)鍵之處是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系. 17．（1）；（2）新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高. 【解析】 【分析】 （1）根據(jù)平均數(shù)和方差的計算方法，計算出平均數(shù)和方差. （2）根據(jù)題目所給判斷依據(jù)，結(jié)合（1）的結(jié)論進(jìn)行判斷. 【詳解

18、】 （1）， ， ， . （2）依題意，， ，所以新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高. 18．（1）；（2） 【解析】 【分析】 （1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由已知條件得出，求出的值，即可得出的長； （2）求出平面、的法向量，利用空間向量法結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得結(jié)果. 【詳解】 （1）[方法一]：空間坐標(biāo)系+空間向量法 平面，四邊形為矩形，不妨以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 設(shè)，則、、、、， 則， ，則，解得，故； [方法二]【最優(yōu)解】：幾

19、何法+相似三角形法 如圖，連結(jié)．因?yàn)榈酌?，且底面，所以? 又因?yàn)?，所以平面? 又平面，所以． 從而． 因?yàn)?，所以? 所以，于是． 所以．所以． [方法三]：幾何法+三角形面積法 ?????如圖，聯(lián)結(jié)交于點(diǎn)N． 由[方法二]知． 在矩形中，有，所以，即． 令，因?yàn)镸為的中點(diǎn)，則，． 由，得，解得，所以． （2）[方法一]【最優(yōu)解】：空間坐標(biāo)系+空間向量法 設(shè)平面的法向量為，則， 由，取，可得， 設(shè)平面的法向量為，， 由，取，可得， ， 所以， 因此，二面角的正弦值為. [方法二]：構(gòu)造長方體法+等體積法 ???如圖，構(gòu)造長方體，聯(lián)結(jié)，交點(diǎn)記

20、為H，由于，所以平面．過H作的垂線，垂足記為G． 聯(lián)結(jié)，由三垂線定理可知， 故為二面角的平面角． 易證四邊形是邊長為的正方形，聯(lián)結(jié)，． ， 由等積法解得． 在中，由勾股定理求得． 所以，即二面角的正弦值為． 【整體點(diǎn)評】 （1）方法一利用空坐標(biāo)系和空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解；方法二利用線面垂直的判定定理，結(jié)合三角形相似進(jìn)行計算求解，運(yùn)算簡潔，為最優(yōu)解；方法三主要是在幾何證明的基礎(chǔ)上，利用三角形等面積方法求得. （2）方法一，利用空間坐標(biāo)系和空間向量方法計算求解二面角問題是常用的方法，思路清晰，運(yùn)算簡潔，為最優(yōu)解；方法二采用構(gòu)造長方體方法+等體積轉(zhuǎn)化法，技巧性較強(qiáng)，需注意進(jìn)行

21、嚴(yán)格的論證. 19．（1）證明見解析；（2）. 【解析】 【分析】 （1）由已知得,且，取,得,由題意得,消積得到項的遞推關(guān)系,進(jìn)而證明數(shù)列是等差數(shù)列; （2）由（1）可得的表達(dá)式,由此得到的表達(dá)式,然后利用和與項的關(guān)系求得. 【詳解】 （1）[方法一]： 由已知得,且，, 取,由得, 由于為數(shù)列的前n項積， 所以, 所以， 所以, 由于 所以，即,其中 所以數(shù)列是以為首項，以為公差等差數(shù)列; [方法二]【最優(yōu)解】： 由已知條件知???????① 于是．????????????② 由①②得．????????③ 又，????????????④ 由③④

22、得． 令，由，得． 所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列． [方法三]： ???由，得，且，． 又因?yàn)?，所以，所以? 在中，當(dāng)時，． 故數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列． [方法四]：數(shù)學(xué)歸納法 ???由已知，得，，猜想數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，且． 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明． 當(dāng)時顯然成立． 假設(shè)當(dāng)時成立，即． 那么當(dāng)時，． 綜上，猜想對任意的都成立． 即數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列． （2）[方法一]： 由（1）可得，數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列， , , 當(dāng)n=1時，, 當(dāng)n≥2時,,顯然對于n=1不成立, ∴. 【整體點(diǎn)評】

23、 （1）方法一從得，然后利用的定義，得到數(shù)列的遞推關(guān)系，進(jìn)而替換相除消項得到相鄰兩項的關(guān)系，從而證得結(jié)論； 方法二先從的定義，替換相除得到，再結(jié)合得到，從而證得結(jié)論，為最優(yōu)解； 方法三由，得，由的定義得，進(jìn)而作差證得結(jié)論；方法四利用歸納猜想得到數(shù)列，然后利用數(shù)學(xué)歸納法證得結(jié)論． （2）由（1）的結(jié)論得到，求得的表達(dá)式,然后利用和與項的關(guān)系求得的通項公式； 20．（1）；（2）證明見詳解 【解析】 【分析】 （1）由題意求出，由極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0即可求解出參數(shù)； （2）由（1）得，且，分類討論和，可等價轉(zhuǎn)化為要證，即證在和上恒成立，結(jié)合導(dǎo)數(shù)和換元法即可求解 【詳解】 （1）由，

24、 又是函數(shù)的極值點(diǎn)，所以，解得； （2）[方法一]：轉(zhuǎn)化為有分母的函數(shù) 由（Ⅰ）知，其定義域?yàn)椋? 要證，即證，即證． （ⅰ）當(dāng)時，，即證．令，因?yàn)?，所以在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，所以． （ⅱ）當(dāng)時，，即證，由（?。┓治鲋趨^(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，所以． 綜合（?。áⅲ┯校? [方法二]【最優(yōu)解】：轉(zhuǎn)化為無分母函數(shù) 由（1）得，且， 當(dāng) 時，要證， ，即證，化簡得； 同理，當(dāng)時，要證， ，即證，化簡得； 令，再令，則， 令， 當(dāng)時，單減，故； 當(dāng)時，單增，故； 綜上所述，在恒成立. [方法三] ：利用導(dǎo)數(shù)不等式中的常見結(jié)論證明 令，因?yàn)?，所以在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)是減函

25、數(shù)，所以，即（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）．故當(dāng)且時，且，即，所以． （?。┊?dāng)時，所以，即，所以． （ⅱ）當(dāng)時，同理可證得． 綜合（?。áⅲ┑茫?dāng)且時，即． 【整體點(diǎn)評】 （2）方法一利用不等式的性質(zhì)分類轉(zhuǎn)化分式不等式：當(dāng)時，轉(zhuǎn)化為證明，當(dāng)時，轉(zhuǎn)化為證明，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，進(jìn)而證得；方法二利用不等式的性質(zhì)分類討論分別轉(zhuǎn)化為整式不等式：當(dāng)時，成立和當(dāng)時，成立，然后換元構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性進(jìn)而證得，通性通法，運(yùn)算簡潔，為最優(yōu)解；方法三先構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性，證得常見常用結(jié)論（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）．然后換元得到，分類討論，利用不等式的基本性質(zhì)證得要證得不等式，有一定的巧合

26、性. 21．（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可得出關(guān)于的等式，即可解出的值； （2）設(shè)點(diǎn)、、，利用導(dǎo)數(shù)求出直線、，進(jìn)一步可求得直線的方程，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，求出以及點(diǎn)到直線的距離，利用三角形的面積公式結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得面積的最大值. 【詳解】 （1）[方法一]：利用二次函數(shù)性質(zhì)求最小值 由題意知，設(shè)圓M上的點(diǎn)，則． 所以． 從而有． 因?yàn)?，所以?dāng)時，． 又，解之得，因此． [方法二]【最優(yōu)解】：利用圓的幾何意義求最小值 拋物線的焦點(diǎn)為， 所以，與圓上點(diǎn)的距離的最小值為，解得； （2）[方法一]：切點(diǎn)弦方程

27、+韋達(dá)定義判別式求弦長求面積法 拋物線的方程為，即，對該函數(shù)求導(dǎo)得， 設(shè)點(diǎn)、、， 直線的方程為，即，即， 同理可知，直線的方程為， 由于點(diǎn)為這兩條直線的公共點(diǎn)，則， 所以，點(diǎn)A、的坐標(biāo)滿足方程， 所以，直線的方程為， 聯(lián)立，可得， 由韋達(dá)定理可得， 所以， 點(diǎn)到直線的距離為， 所以， ， 由已知可得，所以，當(dāng)時，的面積取最大值. [方法二]：【最優(yōu)解】：切點(diǎn)弦法+分割轉(zhuǎn)化求面積+三角換元求最值 同方法一得到． 過P作y軸的平行線交于Q，則． ． P點(diǎn)在圓M上，則 ． 故當(dāng)時的面積最大，最大值為． [方法三]：直接設(shè)直線AB方程法 設(shè)切點(diǎn)A，B的坐

28、標(biāo)分別為，． 設(shè)，聯(lián)立和拋物線C的方程得整理得． 判別式，即，且． 拋物線C的方程為，即，有． 則，整理得，同理可得． 聯(lián)立方程可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為，即． 將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入圓M的方程，得，整理得． 由弦長公式得． 點(diǎn)P到直線的距離為． 所以， 其中，即． 當(dāng)時，． 【整體點(diǎn)評】 （1）方法一利用兩點(diǎn)間距離公式求得關(guān)于圓M上的點(diǎn)的坐標(biāo)的表達(dá)式，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為關(guān)于的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)得到最小值，進(jìn)而求得的值；方法二，利用圓的性質(zhì)，與圓上點(diǎn)的距離的最小值，簡潔明快，為最優(yōu)解；（2）方法一設(shè)點(diǎn)、、，利用導(dǎo)數(shù)求得兩切線方程，由切點(diǎn)弦方程思想得到直線的坐標(biāo)滿足方程，然手與拋物線

29、方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理可得，利用弦長公式求得的長，進(jìn)而得到面積關(guān)于坐標(biāo)的表達(dá)式，利用圓的方程轉(zhuǎn)化得到關(guān)于的二次函數(shù)最值問題；方法二，同方法一得到，過P作y軸的平行線交于Q，則．由求得面積關(guān)于坐標(biāo)的表達(dá)式，并利用三角函數(shù)換元求得面積最大值，方法靈活，計算簡潔，為最優(yōu)解；方法三直接設(shè)直線，聯(lián)立直線和拋物線方程，利用韋達(dá)定理判別式得到，且．利用點(diǎn)在圓上，求得的關(guān)系，然后利用導(dǎo)數(shù)求得兩切線方程，解方程組求得P的坐標(biāo)，進(jìn)而利用弦長公式和點(diǎn)到直線距離公式求得面積關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得最大值； 22．（1），（為參數(shù)）； （2）和． 【解析】 【分析】 （1）直接利用圓心及半徑

30、可得的圓的參數(shù)方程； （2）先求得過（4，1）的圓的切線方程，再利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式化簡即可. 【詳解】 （1）由題意，的普通方程為， 所以的參數(shù)方程為，（為參數(shù)） （2）[方法一]：直角坐標(biāo)系方法 ①當(dāng)直線的斜率不存在時，直線方程為，此時圓心到直線的距離為，故舍去． ②當(dāng)切線斜率存在時，設(shè)其方程為，即． 故，即，解得． 所以切線方程為或． 兩條切線的極坐標(biāo)方程分別為和． 即和． [方法二]【最優(yōu)解】：定義求斜率法 如圖所示，過點(diǎn)F作的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B． 在中，又軸，所以兩條切線的斜率分別和． 故切線的方程為，這兩條切線的極坐標(biāo)方程為和．

31、即和． 【整體點(diǎn)評】 （2） 方法一：直角坐標(biāo)系中直線與圓相切的條件求得切線方程，再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程， 方法二：直接根據(jù)傾斜角求得切線的斜率，得到切線的直角坐標(biāo)方程，然后轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程,在本題中巧妙的利用已知圓和點(diǎn)的特殊性求解，計算尤其簡潔，為最優(yōu)解. 23．（1）.（2）. 【解析】 【分析】 （1）利用絕對值的幾何意義求得不等式的解集. （2）利用絕對值不等式化簡，由此求得的取值范圍. 【詳解】 （1）[方法一]：絕對值的幾何意義法 當(dāng)時，表示數(shù)軸上的點(diǎn)到和的距離之和， 則表示數(shù)軸上的點(diǎn)到和的距離之和不小于， 當(dāng)或時所對應(yīng)的數(shù)軸上的點(diǎn)到所對應(yīng)的點(diǎn)距離之和等于6

32、， ∴數(shù)軸上到所對應(yīng)的點(diǎn)距離之和等于大于等于6得到所對應(yīng)的坐標(biāo)的范圍是或， 所以的解集為. [方法二]【最優(yōu)解】：零點(diǎn)分段求解法 ???當(dāng)時，． 當(dāng)時，解得； 當(dāng)時，無解； 當(dāng)時，解得． 綜上，的解集為． （2）[方法一]：絕對值不等式的性質(zhì)法求最小值 依題意，即恒成立， ， 當(dāng)且僅當(dāng)時取等號， , 故， 所以或， 解得. 所以的取值范圍是. [方法二]【最優(yōu)解】：絕對值的幾何意義法求最小值 由是數(shù)軸上數(shù)x表示的點(diǎn)到數(shù)a表示的點(diǎn)的距離，得，故，下同解法一. [方法三]：分類討論+分段函數(shù)法 當(dāng)時， 則，此時，無解． 當(dāng)時， 則，此時

33、，由得，． 綜上，a的取值范圍為． [方法四]：函數(shù)圖象法解不等式????? 由方法一求得后，構(gòu)造兩個函數(shù)和， 即和， 如圖，兩個函數(shù)的圖像有且僅有一個交點(diǎn)， 由圖易知，則． 【整體點(diǎn)評】 （1）解絕對值不等式的方法有幾何意義法，零點(diǎn)分段法． 方法一采用幾何意義方法，適用于絕對值部分的系數(shù)為1的情況， 方法二使用零點(diǎn)分段求解法，適用于更廣泛的情況，為最優(yōu)解； （2）方法一，利用絕對值不等式的性質(zhì)求得，利用不等式恒成立的意義得到關(guān)于的不等式，然后利用絕對值的意義轉(zhuǎn)化求解； 方法二與方法一不同的是利用絕對值的幾何意義求得的最小值，最有簡潔快速，為最優(yōu)解法 方法三利用零點(diǎn)分區(qū)間轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)利用函數(shù)單調(diào)性求最小值，要注意函數(shù)中的各絕對值的零點(diǎn)的大小關(guān)系，采用分類討論方法，使用與更廣泛的情況； 方法四與方法一的不同在于得到函數(shù)的最小值后，構(gòu)造關(guān)于的函數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合思想求解關(guān)于的不等式. 答案第29頁，共29頁