數(shù)學(xué)第十章 圓錐曲線與方程 10.3 拋物線及其性質(zhì)

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1、10.3 拋物線及其性質(zhì)高考數(shù)學(xué)高考數(shù)學(xué)考點一拋物線的定義和標準方程考點一拋物線的定義和標準方程1.拋物線的定義到一定點F和定直線l(F l)距離相等的點的軌跡叫做拋物線.定點叫做拋物線的焦點,定直線叫做拋物線的準線.2.拋物線的標準方程焦點在x軸上,標準方程為y2=2px(p0).焦點在y軸上,標準方程為x2=2py(p0).要根據(jù)一次項來判斷焦點的位置,若x為一次項,則焦點在x軸上,若y為一次項,則焦點在y軸上.一次項系數(shù)大于0時,焦點在正半軸上,系數(shù)小于0時,焦點在負半軸上.知識清單考點二拋物線的幾何性質(zhì)考點二拋物線的幾何性質(zhì)1.雙基表2.點P(x0,y0)和拋物線y2=2px(p0)的

2、關(guān)系(1)P在拋物線內(nèi)(含焦點)2px0.3.焦點弦:F為拋物線的焦點,AB為拋物線y2=2px(p0)的焦點弦,A(x1,y1),B(x2,y2).(1)x1x2=;(2)y1y2=-p2;(3)弦長l=x1+x2+p,x1+x22=p,即當x1=x2時,弦長最短,為2p;20y20y20y24p12x x(4)弦長l=(為AB的傾斜角);(5)+=;(6)以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切;(7)焦點F對A,B在準線上射影的張角為90.4.AB為拋物線y2=2px(p0)的弦,A(x1,y1),B(x2,y2),弦中點M(x0,y0),設(shè)弦所在直線斜率存在,為k(k0).(1)弦長l=|x

3、1-x2|=|y1-y2|;(2)k=;22sinp1|FA1|FB2p21k211k0py(3)直線AB的方程:y-y0=(x-x0);(4)線段AB的垂直平分線方程:y-y0=-(x-x0).0py0yp 拋物線的定義和標準方程的解題策略拋物線的定義和標準方程的解題策略1.拋物線定義的應(yīng)用拋物線是到定點和定直線的距離相等的點(點不在定直線上)的軌跡,利用該定義,可有效地實現(xiàn)拋物線上到焦點和到準線的距離的轉(zhuǎn)化,有利于問題的解決.2.拋物線標準方程的求法(1)定義法:根據(jù)條件確定動點滿足的幾何特征,從而確定p的值,得到拋物線的標準方程.(2)待定系數(shù)法:由焦點位置設(shè)出標準方程,確定p的值.注意

4、拋物線標準方程有四種形式,從簡單化角度出發(fā),焦點在x軸上,設(shè)為y2=ax(a0),焦點在y軸上,設(shè)為x2=ay(a0).方法技巧方法1例1(2017浙江溫州十校期末聯(lián)考,14)若OAB的垂心H(1,0)恰好為拋物線y2=2px的焦點,O為坐標原點,點A、B在該拋物線上,則此拋物線的方程是,OAB的面積是.解析由H(1,0)為拋物線的焦點,得=1,所以p=2,所以拋物線的方程是y2=4x.由已知條件可知A、B關(guān)于x軸對稱,可設(shè)A,B,y00且y02.由AHOB,得=-1,解得y0=2,故OAB的面積S=45=10.2p200,4yy200,4yy02014yy0204yy51255答案y2=4x

5、;105評析本題考查拋物線的定義和標準方程,拋物線的對稱性,三角形垂心的性質(zhì),面積的計算等基礎(chǔ)知識,考查推理運算能力. 拋物線的幾何性質(zhì)的解題策略拋物線的幾何性質(zhì)的解題策略1.焦半徑:拋物線y2=2px(p0)上一點P(x0,y0)到焦點F的距離|PF|=x0+.2.通徑:過焦點F且與x軸垂直的弦PQ叫通徑,|PQ|=2p,是所有焦點弦中最短的.3.焦點弦的性質(zhì):斜率存在時,過點F的直線方程為y=k;斜率不存在時為通徑,一般焦點弦長通過焦半徑公式來計算.例2(2017浙江金華十校調(diào)研,15)已知拋物線y2=4x的焦點為F,過焦點的直線與拋物線交于A,B兩點,則直線的斜率為時,|AF|+4|BF

6、|取得最小值.,02p2p,02p,02p2px方法2解題導(dǎo)引設(shè)直線AB方程:x=ty+1,聯(lián)立直線與拋物線方程消去x由韋達定理和焦點弦公式用A,B兩點的縱坐標表示|AF|+4|BF|利用基本不等式得最小值由等號成立的條件得A,B兩點的縱坐標計算直線斜率得結(jié)論解析設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線AB:x=ty+1,代入y2=4x,得y2-4ty-4=0,所以y1+y2=4t,y1y2=-4.|AF|+4|BF|=x1+1+4(x2+1)=x1+4x2+5=10+t(y1+4y2)=10+(y1+y2)(y1+4y2)=10+(+4+5y1y2)10+(2y12y2+5y1y2)=10

7、+y1y2=1,當且僅當=4,即y1=-2y2,即或時,取等號,此時4t=,所以=2,故直線AB的斜率為2.141421y22y149421y22y122 2,2yy 122 2,2yy 21t22答案22評析本題考查拋物線的焦半徑,直線與拋物線的位置關(guān)系,韋達定理,直線斜率,利用基本不等式求最值等知識,考查推理運算能力和化歸與轉(zhuǎn)化思想. 與拋物線有關(guān)的綜合問題的解題策略與拋物線有關(guān)的綜合問題的解題策略與拋物線有關(guān)的綜合問題主要有以下幾個方面:1.求直線與拋物線的相交弦長,一般是聯(lián)立直線與拋物線方程,利用韋達定理和弦長公式|AB|=|x1-x2|=|y1-y2|(k為直線的斜率,且k0)進行求

8、解.若求焦點弦長,則利用焦半徑公式和韋達定理.如果是求弦長的取值范圍或最值,則要利用判別式大于零,得到相關(guān)參變量的取值范圍.2.求弦所在的直線方程(如中點弦、相交弦等)、弦的中點軌跡等,往往利用韋達定理和“點差法”,但要注意判別式必須大于零.3.與直線斜率綜合,一般由斜率公式和韋達定理進行轉(zhuǎn)化.4.求拋物線內(nèi)接三角形、四邊形的面積(或面積的取值范圍、最值),一21k211k方法3般求出一條弦的長和另一點到這條弦的距離,得三角形面積(四邊形一般分為兩個三角形).若是求面積的取值范圍或最值,往往把面積表示為某個參量(斜率、截距等)的函數(shù),轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域或最值.例3(2017浙江高考模擬訓(xùn)練沖刺

9、卷四,21)設(shè)斜率不為零的直線l與拋物線x2=4y相交于A,B兩點,與圓C:x2+(y-3)2=r2(r0)相切于點M,且M為線段AB的中點.(1)求r的取值范圍;(2)求ACB的面積S的最大值.解題導(dǎo)引(1)由kABkCM=-1和中點坐標公式,得點M的縱坐標由點M在拋物線內(nèi)得點M的橫坐標的平方的取值范圍由兩點間的距離公式得結(jié)論(2)聯(lián)立直線與拋物線方程消去y由韋達定理和弦長公式把|AB|表示成關(guān)于m的函數(shù)用r表示m,把S表示成關(guān)于r的函數(shù)換元,把S轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)得S的最大值解析(1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),M(m,n).因為直線l的斜率不為零,所以m0.kAB=,k

10、CM=,由kCMkAB=-1,得=-1,得n=1.又點M在拋物線內(nèi)部,則有m24n=4,所以0m24,所以r2=m2+(1-3)2=m2+4(4,8),故r的取值范圍是(2,2).(2)由(1)知,直線l的方程為y=(x-m)+1,與拋物線方程聯(lián)立得x2-2mx+2m2-4=0,2121yyxx22212144xxxx214xx24m2m3nm3nm2m22m所以所以|AB|=|x1-x2|=,故S=|AB|r=r.又m2=r2-4,所以S=r2,其中4r28.令x=,則0 x2,故S=f(x)=x(8-x2)=-x3+4x,0 x2.由f(x)=-x2+4=-,知函數(shù)f(x)在區(qū)間上為增函數(shù),在區(qū)間上為減函數(shù),122122 ,24,xxmx xm214m214m21212()4xxx x24m24m121224m24m1228r28r12123232283x2 60,32 6,23故當x=,即r=時,ACB的面積S取最大值,最大值為.2 634 3316 69評析本題考查拋物線的性質(zhì),直線與圓的位置關(guān)系,直線斜率,直線與拋物線的位置關(guān)系,韋達定理,弦長公式,利用導(dǎo)數(shù)求最值等知識,考查推理運算能力和化歸與轉(zhuǎn)化思想.

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