數(shù)學第十章 概率與統(tǒng)計 第六節(jié) 概率與統(tǒng)計的綜合問題 文

第六節(jié)概率與統(tǒng)計的綜合問題總綱目錄考點突破考點二考點二頻率分布直方圖與概率的綜合問題考點一莖葉圖與概率的綜合問題考點三考點三折線圖與概率的綜合問題考點一莖葉圖與概率的綜合問題考點一莖葉圖與概率的綜合問題考點突破考點突破典例典例1(2016北京東城一模)“愛心包裹”是中國扶貧基金會依托中國郵政發(fā)起的一項全民公益活動,社會各界愛心人士只需通過中國郵政網(wǎng)點捐購統(tǒng)一的愛心包裹,就可以一對一地將自己的關(guān)愛送給需要幫助的人.某高校青年志愿者協(xié)會響應(yīng)號召,組織大一學生作為志愿者,開展一次愛心包裹勸募活動.將派出的志愿者分成甲、乙兩個小組,分別在兩個不同的場地進行勸募,每個小組各6人.愛心人士每捐購一個愛心包裹,志愿者就將送出一個鑰匙扣作為紀念.以下莖葉圖記錄了這兩個小組成員某天勸募包裹時送出鑰匙扣的個數(shù),且圖中甲組的一個數(shù)據(jù)模糊不清,用x表示.已知甲組送出鑰匙扣的平均數(shù)比乙組的平均數(shù)少1個.甲組乙組9808x4126810211(1)求圖中x的值;(2)“愛心包裹”分為價值100元的學習包和價值200元的“學習+生活”包,在乙組勸募的愛心包裹中100元和200元的比為3 1,若乙組送出的鑰匙扣的個數(shù)即為愛心包裹的個數(shù),求乙組全體成員勸募的愛心包裹的價值總額;(3)在甲組中任選2位志愿者,求他們送出的鑰匙扣個數(shù)都多于乙組的平均數(shù)的概率.解析解析(1)由莖葉圖可知乙組送出的鑰匙扣的平均個數(shù)為=16.則甲組送出的鑰匙扣的平均個數(shù)為15.由8+9+14+(10+x)+20+21=156,解得x=8.(2)乙組送出鑰匙扣的個數(shù)為96,即勸募的總包裹數(shù)為96,則價值100元的包裹有72個,價值200元的包裹有24個,故所求愛心包裹的價值總額為72100+24200=12000元.(3)乙組送出鑰匙扣的平均數(shù)為16個,甲組送出鑰匙扣的個數(shù)分別為8,9,14,18,20,21.若從甲組中任取兩個數(shù)字,所有的基本事件為(8,9),(8,14),(8,18),(8,20),(8,21),(9,14),(9,18),(9,20),(9,21),(14,18),(14,20),(14,21),(18,20),(18,21),8 12 16 1821216(20,21),共15個基本事件.其中符合條件的基本事件是(18,20),(18,21),(20,21),共3個基本事件,故所求概率為P=.31515規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié)解決此類問題的關(guān)鍵是根據(jù)莖葉圖正確讀取相關(guān)數(shù)據(jù).1-1 (2016北京朝陽二模)某城市要建宜居新城,準備引進優(yōu)秀企業(yè)進行城市建設(shè).這個城市的甲區(qū)、乙區(qū)分別對6個企業(yè)進行評估,綜合得分情況如莖葉圖所示.甲區(qū)企業(yè)乙區(qū)企業(yè)539569848346978(1)根據(jù)莖葉圖,分別求甲、乙兩區(qū)引進企業(yè)得分的平均值;(2)規(guī)定85分以上(含85分)為優(yōu)秀企業(yè).若從甲、乙兩個區(qū)準備引進的優(yōu)秀企業(yè)中各隨機選取1個,求這兩個企業(yè)得分的差的絕對值不超過5分的概率.解析解析(1)=88(分),=87(分).(2)甲區(qū)優(yōu)秀企業(yè)得分分別為88,89,93,95,共4個優(yōu)秀企業(yè),乙區(qū)優(yōu)秀企業(yè)得分分別為86,95,96,共3個優(yōu)秀企業(yè).從兩個區(qū)各選一個優(yōu)秀企業(yè),所有基本事件有(88,86),(88,95),(88,96),(89,86),(89,95),(89,96),(93,86),(93,95),(93,96),(95,86),(95,95),(95,96),共12個.其中得分的差的絕對值不超過5分的基本事件有(88,86),(89,86),(93,95),(93,96),(95,95),(95,96),共6個.則這兩個企業(yè)得分的差的絕對值不超過5分的概率P=.x甲7984888993956x乙788384869596661212典例典例2(2018北京西城高三期末)某市高中全體學生參加某項測評,按得分評為A,B兩類(評定標準如表).根據(jù)男女學生比例,使用分層抽樣的方法隨機抽取了10000名學生的得分數(shù)據(jù),其中等級為A1的學生中有40%是男生,等級為A2的學生中有一半是女生.等級為A1和A2的學生統(tǒng)稱為A類學生,等級為B1和B2的學生統(tǒng)稱為B類學生.整理這10000名學生的得分數(shù)據(jù),得到如圖所示的頻率分布直方圖.考點二頻率分布直方圖與概率的綜合問題考點二頻率分布直方圖與概率的綜合問題類別得分(x)BB180 x90B270 x80AA150 x70A220 x50(1)已知該市高中學生共20萬人,試估計在該項測評中被評為A類學生的人數(shù);(2)某5人得分分別為45,50,55,75,85.從這5人中隨機選取2人組成甲組,另外3人組成乙組,求“甲、乙兩組各有1名B類學生”的概率;(3)在這10000名學生中,男生占總數(shù)的比例為51%,B類女生占女生總數(shù)的比例為k1,B類男生占男生總數(shù)的比例為k2,判斷k1與k2的大小.(只需寫出結(jié)論)解析解析(1)依題意得,樣本中B類學生所占比例為(0.02+0.04)10=60%,所以A類學生所占比例為40%.因為全市高中生共20萬人,所以在該項測評中被評為A類學生的人數(shù)約為8萬人.(2)由題表得,在5人(記為a,b,c,d,e)中,B類學生有兩人(不妨設(shè)為b,d).將他們按要求分成兩組,分組的方法數(shù)為10種.依次為(ab,cde),(ac,bde),(ad,bce),(ae,bcd),(bc,ade),(bd,ace),(be,acd),(cd,abe),(ce,abd),(de,abc).所以“甲、乙兩組各有一名B類學生”的概率為=.(3)k1k2.61035規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié)概率統(tǒng)計解答題的主要依托點是統(tǒng)計圖表,正確認識和使用這些圖表是解決問題的關(guān)鍵.2-1(2016北京石景山一模)交通擁堵指數(shù)是綜合反映道路網(wǎng)暢通或擁堵的概念,記交通擁堵指數(shù)為T,其范圍為0,10,分別有五個級別:T0,2)暢通;T2,4)基本暢通;T4,6)輕度擁堵;T6,8)中度擁堵;T8,10嚴重擁堵.晚高峰時段(T2),從某市交通指揮中心選取了市區(qū)20個交通路段,依據(jù)其交通擁堵指數(shù)數(shù)據(jù)繪制的直方圖如圖所示.(1)求輕度擁堵,中度擁堵,嚴重擁堵路段各有多少個;(2)用分層抽樣的方法從交通擁堵指數(shù)在4,6),6,8),8,10的路段中共抽取6個路段,求依次抽取的三個級別路段的個數(shù);(3)從(2)中抽出的6個路段中任取2個,求至少有1個路段為輕度擁堵的概率.解析解析(1)由直方圖可知:(0.1+0.2)120=6,(0.25+0.2)120=9,(0.1+0.05)120=3.所以這20個路段中,輕度擁堵,中度擁堵,嚴重擁堵路段分別有6個,9個,3個.(2)由(1)知擁堵路段共有6+9+3=18個,用分層抽樣的方法從18個路段中抽取6個,則6=2,9=3,3=1,依次抽取的三個級別路段的個數(shù)為2,3,1.(3)記(2)中抽出的2個輕度擁堵路段為A1,A2,抽出的3個中度擁堵路段為B1,B2,B3,抽出的1個嚴重擁堵路段為C,則從6個路段選取2個路段的可能情況如下:618618618(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,C),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,C),(B1,B2),(B1,B3),(B1,C),(B2,B3),(B2,C),(B3,C),共15種,其中至少有1個輕度擁堵的情況有(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,C),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,C),共9種.至少有1個路段為輕度擁堵的概率為=.91535考點三折線圖與概率的綜合問題考點三折線圖與概率的綜合問題典例典例3(2016北京西城一模)某校高一年級學生全部參加了體育科目的達標測試,現(xiàn)從中隨機抽取40名學生的測試成績,整理數(shù)據(jù)并按分數(shù)段40,50),50,60),60,70),70,80),80,90),90,100進行分組,假設(shè)同一組中的每個數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點值代替,則得到體育成績的折線圖(如下).(1)體育成績大于或等于70分的學生常被稱為“體育良好”.已知該校高一年級有1000名學生,試估計高一年級中“體育良好”的學生人數(shù);(2)為分析學生平時的體育活動情況,現(xiàn)從體育成績在60,70)和80,90)的學生中隨機抽取2人,求在抽取的2名學生中,至少有1人體育成績在60,70)的概率;(3)假設(shè)甲、乙、丙三人的體育成績分別為a,b,c,且分別在70,80),80,90),90,100三組中,其中a,b,cN.當數(shù)據(jù)a,b,c的方差s2最大時,寫出a,b,c的值.(不要求證明)注:s2=(x1-)2+(x2-)2+(xn-)2,其中為數(shù)據(jù)x1,x2,xn的平均數(shù)1nxxxx解析解析(1)由折線圖,知樣本中體育成績大于或等于70分的學生有30人,所以該校高一年級學生中“體育良好”的學生人數(shù)大約有1000=750人.(2)記“至少有1人體育成績在60,70)”為事件M,記體育成績在60,70)的學生為A1,A2,體育成績在80,90)的學生為B1,B2,B3,則從這兩組學生中隨機抽取2人,所有可能的結(jié)果有10種,它們是(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3).而事件M的結(jié)果有7種,它們是(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),3040因此事件M的概率P(M)=.(3)a,b,c的值分別為70,80,100.710規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié)折線圖與概率的綜合問題的解題關(guān)鍵是正確根據(jù)折線圖讀取信息,然后轉(zhuǎn)化為基本的統(tǒng)計與概率的綜合問題求解.3-1 (2016北京豐臺一模)下圖是某行業(yè)網(wǎng)站統(tǒng)計的某一年1月到12月(共12個月)的山地自行車銷售量(1k代表1000輛)折線圖,其中橫軸代表月份,縱軸代表銷售量,由折線圖提供的數(shù)據(jù)回答下列問題:(1)在一年中隨機取一個月的銷售量,估計銷售量不足200k的概率;(2)在一年中隨機取連續(xù)兩個月的銷售量,估計這連續(xù)兩個月銷售量遞增(如2月到3月遞增)的概率;(3)根據(jù)折線圖,估計年平均銷售量在哪兩條相鄰水平平行線之間(只寫出結(jié)果,不要過程).解析解析(1)設(shè)銷售量不足200k為事件A,一年共有12個月,其中1月,2月,6月,11月共4個月的銷售量不足200k,所以P(A)=.(2)設(shè)連續(xù)兩個月銷售量遞增為事件B,在這一年中隨機取連續(xù)兩個月的銷售量,有1,2月;2,3月;3,4月;4,5月;5,6月;6,7月;7,8月;8,9月;9,10月;10,11月;11,12月,共11種取法,其中2,3月;3,4月;4,5月;6,7月;7,8月;8,9月;11,12月,共7種情況的銷售量遞增,所以P(B)=.(3)在200k250k這兩條水平平行線之間.41213711