數(shù)學(xué)第十章 概率與統(tǒng)計(jì) 第一節(jié) 隨機(jī)事件的概率 文

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數(shù)學(xué)第十章 概率與統(tǒng)計(jì) 第一節(jié) 隨機(jī)事件的概率 數(shù)學(xué) 第十 概率 統(tǒng)計(jì) 隨機(jī) 事件
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第一節(jié)隨機(jī)事件的概率總綱目錄教材研讀1.事件的分類考點(diǎn)突破2.頻率和概率3.事件的關(guān)系與運(yùn)算考點(diǎn)二隨機(jī)事件的頻率與概率考點(diǎn)一隨機(jī)事件的關(guān)系考點(diǎn)三互斥事件、對(duì)立事件的概率4.概率的幾個(gè)基本性質(zhì)1.事件的分類事件的分類教材研讀教材研讀確定事件必然事件在條件S下,一定會(huì)一定會(huì)發(fā)生的事件叫做相對(duì)于條件S的必然事件不可能事件在條件S下,一定不會(huì)一定不會(huì)發(fā)生的事件叫做相對(duì)于條件S的不可能事件隨機(jī)事件在條件S下,可能發(fā)生也可能不可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件叫做相對(duì)于條件S的隨機(jī)事件2.頻率和概率頻率和概率(1)在相同的條件S下重復(fù)n次試驗(yàn),觀察某一事件A是否出現(xiàn),稱n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù),稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A)=為事件A出現(xiàn)的頻率.(2)對(duì)于給定的隨機(jī)事件A,隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加,事件A發(fā)生的頻率頻率fn(A)穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)上,把這個(gè)常數(shù)記作P(A),稱為事件A的概率,簡(jiǎn)稱為A的概率.Ann3.事件的關(guān)系與運(yùn)算事件的關(guān)系與運(yùn)算名稱定義符號(hào)表示包含關(guān)系如果事件A發(fā)生,則事件B一定發(fā)生一定發(fā)生,這時(shí)稱事件B包含事件A(或稱事件A包含于事件B)BA(或AB)相等關(guān)系若BA,且BA,那么稱事件A與事件B相等A=B并事件(和事件)若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件事件A或事件或事件B發(fā)生發(fā)生,則稱此事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)AB(或A+B)交事件(積事件)若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件事件A發(fā)生且事件發(fā)生且事件B發(fā)生發(fā)生,則稱此事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)AB(或AB)互斥事件若AB為不可能不可能事件,那么稱事件A與事件B互斥AB=對(duì)立事件若AB為不可能不可能事件,AB為必然必然事件,那么稱事件A與事件B互為對(duì)立事件AB=且AB=U(U為全集)4.概率的幾個(gè)基本性質(zhì)概率的幾個(gè)基本性質(zhì)(1)概率的范圍為0,1.(2)必然事件的概率為1.(3)不可能事件的概率為0.(4)概率的加法公式如果事件A與事件B互斥,則P(AB)=P(A)+P(B).概率加法公式的推廣概率加法公式的推廣(1)當(dāng)一個(gè)事件包含多個(gè)結(jié)果時(shí),要用到概率加法公式的推廣,即P(A1A2An)=P(A1)+P(A2)+P(An).(2)P()=1-P(A1A2An)=1-P(A1)-P(A2)-P(An).注意涉及的各事件要彼此互斥.12nAAA (5)對(duì)立事件的概率若事件A與事件B互為對(duì)立事件,則AB為必然事件,P(AB)=1,P(A)=1-P(B).1.下列事件中,隨機(jī)事件的個(gè)數(shù)為()物體在只受重力的作用下會(huì)自由下落;方程x2+2x+8=0有兩個(gè)實(shí)根;某信息臺(tái)每天的某段時(shí)間收到信息咨詢的請(qǐng)求次數(shù)超過10次;下周六會(huì)下雨.A.1B.2C.3D.4B答案答案B為必然事件,為不可能事件,為隨機(jī)事件.2.甲:A1,A2是互斥事件;乙:A1,A2是對(duì)立事件,那么()A.甲是乙的充分但不必要條件B.甲是乙的必要但不充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件,也不是乙的必要條件B答案答案B兩個(gè)事件是對(duì)立事件,則它們一定互斥,反之不一定成立.3.某小組有3名男生和2名女生,從中任選2名同學(xué)去參加演講比賽,事件“至少有一名女生”與事件“全是男生”()A.是互斥事件,不是對(duì)立事件B.是對(duì)立事件,不是互斥事件C.既是互斥事件,也是對(duì)立事件D.既不是互斥事件也不是對(duì)立事件C答案答案C“至少有一名女生”包括“一男一女”和“兩名女生”兩種情況,這兩種情況再加上“全是男生”構(gòu)成全集,且不能同時(shí)發(fā)生,故“至少有一名女生”與“全是男生”既是互斥事件,也是對(duì)立事件,故選C.4.給出下面三個(gè)命題:設(shè)有一大批產(chǎn)品,已知其次品率為0.1,則從中任取100件,必有10件是次品;做7次拋硬幣的試驗(yàn),結(jié)果3次出現(xiàn)正面,因此,出現(xiàn)正面的概率是;隨機(jī)事件發(fā)生的頻率就是這個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的概率.其中真命題的個(gè)數(shù)為()A.0B.1C.2D.337A答案答案A,從中任取100件,可能有10件次品,并不是必有10件次品,故是假命題.,拋硬幣時(shí)出現(xiàn)正面的概率是,不是,故是假命題.,頻率和概率不是一回事,故是假命題,故選A.12375.從某班學(xué)生中任意找出一人,如果該同學(xué)的身高小于160cm的概率為0.2,該同學(xué)的身高在160,175(單位:cm)的概率為0.5,那么該同學(xué)的身高超過175cm的概率為.0.3答案答案0.3解析解析由對(duì)立事件的概率公式可求得該同學(xué)的身高超過175cm的概率為1-(0.2+0.5)=0.3.6.甲、乙兩人下棋,兩人和棋的概率是,乙獲勝的概率是,則乙不輸?shù)母怕适?121356答案答案56解析解析乙不輸即為兩人和棋或乙獲勝,因此乙不輸?shù)母怕蕿?=.121356310710考點(diǎn)一隨機(jī)事件的關(guān)系考點(diǎn)一隨機(jī)事件的關(guān)系考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破典例典例1(1)從1,2,3,7這7個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù),其中:恰有一個(gè)是偶數(shù)和恰有一個(gè)是奇數(shù);至少有一個(gè)是奇數(shù)和兩個(gè)都是奇數(shù);至少有一個(gè)是奇數(shù)和兩個(gè)都是偶數(shù);至少有一個(gè)是奇數(shù)和至少有一個(gè)是偶數(shù).上述事件中,是對(duì)立事件的是()A.B.C.D.(2)在5張電話卡中,有3張移動(dòng)卡和2張聯(lián)通卡,從中任取2張,若事件“2張全是移動(dòng)卡”的概率是,那么概率是的事件是()A.至多有1張移動(dòng)卡B.恰有1張移動(dòng)卡C.都不是移動(dòng)卡D.至少有1張移動(dòng)卡解析解析(1),“至少有一個(gè)是奇數(shù)”即“兩個(gè)都是奇數(shù)或一奇一偶”,而從1,2,3,7這7個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù),根據(jù)取到數(shù)的奇偶性知共有三種情況:“兩個(gè)都是奇數(shù)”“一奇一偶”“兩個(gè)都是偶數(shù)”,故“至少有一個(gè)是奇數(shù)”與“兩個(gè)都是偶數(shù)”是對(duì)立事件,易知其余都不是對(duì)立事件.(2)“至多有1張移動(dòng)卡”包含“1張是移動(dòng)卡,1張是聯(lián)通卡”“2張全是聯(lián)通卡”兩種情況,它是“2張全是移動(dòng)卡”的對(duì)立事件,故選A.答案答案(1)C(2)A方法技巧方法技巧判斷互斥、對(duì)立事件的方法(1)定義法判斷互斥事件、對(duì)立事件一般用定義判斷,不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件為互斥事件;兩個(gè)事件,若有且僅有一個(gè)發(fā)生,則這兩事件為對(duì)立事件,對(duì)立事件一定是互斥事件.(2)集合法由各個(gè)事件所含的結(jié)果組成的集合彼此的交集為空集,則事件互斥.事件A的對(duì)立事件所含的結(jié)果組成的集合,是全集中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集.A1-1設(shè)條件甲:“事件A與事件B是對(duì)立事件”,結(jié)論乙:“概率滿足P(A)+P(B)=1”,則甲是乙的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件A答案答案A若事件A與事件B是對(duì)立事件,則AB為必然事件,再由概率的加法公式得P(A)+P(B)=1.投擲一枚硬幣3次,事件A:“至少出現(xiàn)一次正面”,事件B:“3次出現(xiàn)正面”,則P(A)=,P(B)=,滿足P(A)+P(B)=1,但A,B不是對(duì)立事件.78181-2袋中裝有3個(gè)白球,4個(gè)黑球,從中任取3個(gè)球,則恰有1個(gè)白球和全是白球;至少有1個(gè)白球和全是黑球;至少有1個(gè)白球和至少有2個(gè)白球;至少有1個(gè)白球和至少有1個(gè)黑球.在上述事件中,是互斥事件但不是對(duì)立事件的為()A.B.C.D.A答案答案A由題意可知,事件均不是互斥事件;為互斥事件,但又是對(duì)立事件,滿足題意的只有,故選A.典例典例2(2017課標(biāo)全國(guó),18,12分)某超市計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶,每天進(jìn)貨量相同,進(jìn)貨成本每瓶4元,售價(jià)每瓶6元,未售出的酸奶降價(jià)處理,以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn),每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位:)有關(guān).如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間20,25),需求量為300瓶;如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購(gòu)計(jì)劃,統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù),得下面的頻數(shù)分布表:考點(diǎn)二隨機(jī)事件的頻率與概率考點(diǎn)二隨機(jī)事件的頻率與概率最高氣溫10,15)15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計(jì)最高氣溫位于該區(qū)間的概率.(1)估計(jì)六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率;(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤(rùn)為Y(單位:元).當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時(shí),寫出Y的所有可能值,并估計(jì)Y大于零的概率.解析解析(1)這種酸奶一天的需求量不超過300瓶,當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫低于25,由表格數(shù)據(jù)知,最高氣溫低于25的頻率為=0.6,所以這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率的估計(jì)值為0.6.(2)當(dāng)這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時(shí),若最高氣溫不低于25,則Y=6450-4450=900;若最高氣溫位于區(qū)間20,25),則Y=6300+2(450-300)-4450=300;若最高氣溫低于20,則Y=6200+2(450-200)-4450=-100.所以,Y的所有可能值為900,300,-100.Y大于零當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫不低于20,由表格數(shù)據(jù)知,最高氣溫不低于20的頻率為=0.8,因此Y大于零的概率的估計(jì)值為0.8.2 16369036257490規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié)1.概率與頻率的關(guān)系頻率反映了一個(gè)隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻繁程度,頻率是隨機(jī)的,而概率是一個(gè)確定的值,通常用概率來反映隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小,有時(shí)也用頻率作為隨機(jī)事件概率的估計(jì)值.2.隨機(jī)事件概率的求法利用概率的統(tǒng)計(jì)定義求事件的概率,即通過大量的重復(fù)試驗(yàn),事件發(fā)生的頻率會(huì)逐漸趨近于某一個(gè)常數(shù),這個(gè)常數(shù)就是概率.2-1(2016課標(biāo)全國(guó),18,12分)某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為a(單位:元),繼續(xù)購(gòu)買該險(xiǎn)種的投保人稱為續(xù)保人,續(xù)保人本年度的保費(fèi)與其上年度出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下:上年度出險(xiǎn)次數(shù)012345保費(fèi)0.85aa1.25a1.5a1.75a2a隨機(jī)調(diào)查了該險(xiǎn)種的200名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險(xiǎn)情況,得到如下統(tǒng)計(jì)表:(1)記A為事件:“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)不高于基本保費(fèi)”.求P(A)的估計(jì)值;(2)記B為事件:“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)但不高于基本保費(fèi)的160%”.求P(B)的估計(jì)值;(3)求續(xù)保人本年度平均保費(fèi)的估計(jì)值.出險(xiǎn)次數(shù)012345頻數(shù)605030302010解析解析(1)事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)小于2.由所給數(shù)據(jù)知,一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)小于2的頻率為=0.55,故P(A)的估計(jì)值為0.55.(2)事件B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于1且小于4.由所給數(shù)據(jù)知,一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于1且小于4的頻率為=0.3,故P(B)的估計(jì)值為0.3.(3)由所給數(shù)據(jù)得60502003030200調(diào)查的200名續(xù)保人的平均保費(fèi)為0.85a0.30+a0.25+1.25a0.15+1.5a0.15+1.75a0.10+2a0.05=1.1925a.因此,續(xù)保人本年度平均保費(fèi)的估計(jì)值為1.1925a.保費(fèi)0.85aa1.25a1.5a1.75a2a頻率0.300.250.150.150.100.05典例典例3某超市為了解顧客的購(gòu)物量及結(jié)算時(shí)間等信息,安排一名員工隨機(jī)收集了在該超市購(gòu)物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù),如下表所示.已知這100位顧客中一次購(gòu)物量超過8件的顧客占55%.(1)確定x,y的值,并估計(jì)顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間的平均值;(2)求一位顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間不超過2分鐘的概率.(將頻率視為概率)一次購(gòu)物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顧客數(shù)(人)x3025y10結(jié)算時(shí)間(分鐘/人)11.522.53考點(diǎn)三互斥事件、對(duì)立事件的概率考點(diǎn)三互斥事件、對(duì)立事件的概率解析解析(1)由已知得25+y+10=55,x+30=45,所以x=15,y=20.該超市所有顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間組成一個(gè)總體,所收集的100位顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間可視為總體的一個(gè)容量為100的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間的平均值可用樣本平均數(shù)估計(jì),其估計(jì)值為=1.9(分鐘).(2)記A為事件“一位顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間不超過2分鐘”,A1,A2,A3分別表示事件“該顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間為1分鐘”“該顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間為1.5分鐘”“該顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間為2分鐘”.將頻率視為概率得P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=.1 15 1.5 302 252.5 203 10100 15100320301003102510014因?yàn)锳=A1A2A3,且A1,A2,A3是互斥事件,所以P(A)=P(A1A2A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=+=.故一位顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間不超過2分鐘的概率為.32031014710710規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié)求復(fù)雜的互斥事件的概率一般有兩種方法:一是直接求解法,將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率再求和;二是間接法,先求該事件的對(duì)立事件的概率,再由P(A)=1-P()求解.當(dāng)題目涉及“至多”“至少”型問題時(shí),多考慮間接法.A3-1圍棋盒子中有多粒黑子和白子,已知從中取出2粒都是黑子的概率是,都是白子的概率是.則從中任意取出2粒恰好是同一色的概率是()A.B.C.D.11712351712351735C答案答案C設(shè)“從中取出2粒都是黑子”為事件A,“從中取出2粒都是白子”為事件B,“任意取出2粒恰好是同一色”為事件C,則C=AB,且事件A與B互斥,所以P(C)=P(A)+P(B)=+=,即任意取出2粒恰好是同一色的概率為.171235173517353-2某商場(chǎng)有獎(jiǎng)銷售中,購(gòu)滿100元商品得1張獎(jiǎng)券,多購(gòu)多得.1000張獎(jiǎng)券為一個(gè)開獎(jiǎng)單位,設(shè)特等獎(jiǎng)1個(gè),一等獎(jiǎng)10個(gè),二等獎(jiǎng)50個(gè).設(shè)1張獎(jiǎng)券中特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)的事件分別為A、B、C,求:(1)P(A),P(B),P(C);(2)1張獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)的概率;(3)1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)的概率.解析解析(1)P(A)=,P(B)=,P(C)=.(2)1張獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)包含中特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng).設(shè)“1張獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)”為事件M,則M=ABC.A、B、C兩兩互斥,P(M)=P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)=.故1張獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)的概率為.(3)設(shè)“1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)”為事件N,則事件N與“1張1100010100011005010001201 10501000611000611000獎(jiǎng)券中特等獎(jiǎng)或中一等獎(jiǎng)”為對(duì)立事件,P(N)=1-P(AB)=1-P(A)+P(B)=1-=.故1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)的概率為.11100010098910009891000
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