數(shù)學(xué)第十章 計(jì)數(shù)原理與概率、隨機(jī)變量及其分布 第六節(jié) 離散型隨機(jī)變量及其分布列 理

第六節(jié)離散型隨機(jī)變量及其分布列總綱目錄教材研讀1.隨機(jī)變量的有關(guān)概念考點(diǎn)突破2.離散型隨機(jī)變量分布列的概念及性質(zhì)3.常見的離散型隨機(jī)變量的概率分布考點(diǎn)二超幾何分布考點(diǎn)二超幾何分布考點(diǎn)一離散型隨機(jī)變量的分布列教材研讀教材研讀1.隨機(jī)變量的有關(guān)概念(1)隨機(jī)變量:隨著試驗(yàn)結(jié)果不同而變化變化的變量,常用字母X,Y,表示.(2)離散型隨機(jī)變量:所有取值可以一一列出一一列出的隨機(jī)變量.2.離散型隨機(jī)變量分布列的概念及性質(zhì)(1)概念:若離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為x1,x2,xi,xn,X取每一個(gè)值xi(i=1,2,n)的概率P(X=xi)=pi,以表格的形式表示如下:Xx1x2xixnPp1p2pipn此表稱為離散型隨機(jī)變量X的概率分布列,簡稱為X的分布列,有時(shí)也用等式P(X=xi)=pi,i=1,2,n表示X的分布列.(2)分布列的性質(zhì)(i)pi0,i=1,2,3,n;(ii).11niip3.常見的離散型隨機(jī)變量的概率分布(1)兩點(diǎn)分布若隨機(jī)變量X的分布列具有上表的形式,就稱X服從兩點(diǎn)分布,并稱p=P(X=1)為成功概率.(2)超幾何分布在含有M件次品的N件產(chǎn)品中,任取n件,其中恰有X件次品,則P(X=k)=,k=0,1,2,m,其中m=minM,n,且nN,MN,n,M,NN*.X01P1-ppC CCkn kMN MnNX01mP 0n 0MN MnNC CC1n 1MN MnNC CCmn mMN MnNC CC如果隨機(jī)變量X的分布列具有上表的形式,則稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布.1.袋中有3個(gè)白球,5個(gè)黑球,從中任取2個(gè),可以作為隨機(jī)變量的是()A.至少取到1個(gè)白球B.至多取到1個(gè)白球C.取到白球的個(gè)數(shù)D.取到的球的個(gè)數(shù)C答案答案C選項(xiàng)A、B是隨機(jī)事件,選項(xiàng)D是確定的值,為2,并不隨機(jī);選項(xiàng)C是隨機(jī)變量,可能的取值為0,1,2.B2.從標(biāo)有110的10支竹簽中任取2支,設(shè)所取2支竹簽上的數(shù)字之和為X,那么隨機(jī)變量X可能取得的值有()A.17個(gè)B.18個(gè)C.19個(gè)D.20個(gè)A答案答案A從10支竹簽中任取2支,竹簽上的數(shù)字之和可以是319中的任意一個(gè),共有17個(gè).3.設(shè)隨機(jī)變量Y的分布列為則“Y”的概率為()A.B.C.D.Y-123Pm1414327214123423C答案答案C因?yàn)?m+=1,所以m=,所以P=P(2)+P(3)=.1414123722Y34B4.隨機(jī)變量X等可能取值1,2,3,n,如果P(X4)=0.3,則n=.10答案答案10解析解析由題意知P(X4)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=+=0.3,故n=10.1n1n1n3n5.在含有3件次品的10件產(chǎn)品中任取4件,則取到次品數(shù)X的分布列為P(X=k)=,k=0,1,2,3.437410CCCkk答案答案P(X=k)=,k=0,1,2,3437410CCCkk解析解析由題意知,X服從超幾何分布,其中N=10,M=3,n=4,所以分布列為P(X=k)=,k=0,1,2,3.437410CCCkkB考點(diǎn)一離散型隨機(jī)變量的分布列考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破典例典例1長時(shí)間用手機(jī)上網(wǎng)嚴(yán)重影響學(xué)生的健康,某校為了解A,B兩班學(xué)生手機(jī)上網(wǎng)的時(shí)長,分別從這兩個(gè)班中隨機(jī)抽取6名同學(xué)進(jìn)行調(diào)查,將他們平均每周手機(jī)上網(wǎng)時(shí)長作為樣本數(shù)據(jù),繪制成如圖所示的莖葉圖(圖中的莖表示十位數(shù)字,葉表示個(gè)位數(shù)字).如果學(xué)生平均每周手機(jī)上網(wǎng)的時(shí)長超過21小時(shí),則稱為“過度用網(wǎng)”.(1)請根據(jù)樣本數(shù)據(jù),估計(jì)A,B兩班的學(xué)生平均每周上網(wǎng)時(shí)長的平均值;(2)從A班的樣本數(shù)據(jù)中有放回地抽取2個(gè)數(shù)據(jù),求恰有1個(gè)數(shù)據(jù)為“過度用網(wǎng)”的概率;(3)從A班、B班的樣本中各隨機(jī)抽取2名學(xué)生的數(shù)據(jù),記“過度用網(wǎng)”的學(xué)生人數(shù)為,寫出的分布列.解析解析(1)A班樣本數(shù)據(jù)的平均值為(9+11+13+20+24+37)=19,由此估計(jì)A班學(xué)生平均每周手機(jī)上網(wǎng)時(shí)長的平均值為19小時(shí).B班樣本數(shù)據(jù)的平均值為(11+12+21+25+27+36)=22,由此估計(jì)B班學(xué)生平均每周手機(jī)上網(wǎng)時(shí)長的平均值為22小時(shí).(2)因?yàn)閺腁班的6個(gè)樣本數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取1個(gè)數(shù)據(jù),為“過度用網(wǎng)”的概率是,所以從A班的樣本數(shù)據(jù)中有放回地抽取2個(gè)數(shù)據(jù),恰有1個(gè)數(shù)據(jù)為“過度用網(wǎng)”的概率P=.(3)的可能取值為0,1,2,3,4.16161312C132349P(=0)=,P(=1)=,P(=2)=,P(=3)=,P(=4)=.的分布列為22432266C CC C2251122114234332266C C CC C CC C267522221111234342332266C CC CC C C CC C31752111122334232266C C CC C CC C117522232266C CC C17501234P225267531751175175規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié)(1)求解離散型隨機(jī)變量X的分布列的步驟:理解X的意義,寫出X可能取得的全部值;求X取每個(gè)值的概率;寫出X的分布列.(2)求離散型隨機(jī)變量的分布列的關(guān)鍵是求隨機(jī)變量取各值時(shí)對應(yīng)的概率,在求解時(shí),要注意應(yīng)用計(jì)數(shù)原理、古典概型等知識(shí).1-1如圖所示,某班一次數(shù)學(xué)測試成績的莖葉圖和頻率分布直方圖都受到了不同程度的污損,其中,頻率分布直方圖的分組區(qū)間分別為50,60),60,70),70,80),80,90),90,100,據(jù)此解答以下問題.(1)求全班人數(shù)及分?jǐn)?shù)在80,100之間的頻率;(2)現(xiàn)從分?jǐn)?shù)在80,100之間的試卷中任取3份分析學(xué)生的失分情況,設(shè)抽取的試卷分?jǐn)?shù)在90,100的份數(shù)為X,求X的分布列.解析解析(1)由莖葉圖可知分?jǐn)?shù)在50,60)之間的人數(shù)為4,60,70)之間的人數(shù)為8,70,80)之間的人數(shù)為10.總?cè)藬?shù)為=32(人).40.0125 10分?jǐn)?shù)在80,100之間的人數(shù)為32-4-8-10=10(人),頻率為=.1032516(2)分?jǐn)?shù)在90,100之間的人數(shù)為4,分?jǐn)?shù)在80,90)之間的人數(shù)為6.X的所有可能取值是0,1,2,3.P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=.X的分布列為36310CC20120162164310C CC60120122146310C CC3612031034310CC4120130X0123P1612310130考點(diǎn)二超幾何分布典例典例2(2017北京順義二模,16改編)春節(jié)期間,受煙花爆竹集中燃放影響,我國多數(shù)城市空氣中PM2.5濃度快速上升,特別是在大氣擴(kuò)散條件不利的情況下,空氣質(zhì)量在短時(shí)間內(nèi)會(huì)迅速惡化.2016年除夕18時(shí)和2017年初一2時(shí),國家環(huán)保部門對8個(gè)城市空氣中PM2.5濃度監(jiān)測的數(shù)據(jù)如表(單位:微克/立方米):除夕18時(shí)PM2.5濃度初一2時(shí)PM2.5濃度北京75647天津66400石家莊89375廊坊102399太原46115上海1617南京3544杭州13139(1)求這8個(gè)城市除夕18時(shí)空氣中PM2.5濃度的平均值;(2)環(huán)保部門發(fā)現(xiàn):2016年除夕18時(shí)到2017年初一2時(shí)空氣中PM2.5濃度上升不超過100的城市都是禁止燃放煙花爆竹的城市,濃度上升超過100的城市都未禁止燃放煙花爆竹.從以上8個(gè)城市中隨機(jī)選取3個(gè)城市組織專家進(jìn)行調(diào)研,記選到禁止燃放煙花爆竹的城市個(gè)數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.解析解析(1)8個(gè)城市除夕18時(shí)空氣中PM2.5濃度的平均值為=70微克/立方米.(2)8個(gè)城市中禁止燃放煙花爆竹的有太原,上海,南京,杭州4個(gè)城市,隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3,則P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=.所以X的分布列為756689 10246 1635 1318034438C CC114124438C CC614214438C CC614304438C CC114X0123P114614614114X的數(shù)學(xué)期望EX=0+1+2+3=.114614614114211432規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié)1.超幾何分布描述的是不放回抽樣問題,超幾何分布的特征:(1)考察對象分兩類;(2)已知各類對象中個(gè)體的個(gè)數(shù);(3)從中抽取若干個(gè)個(gè)體,考察抽取到的某類個(gè)體個(gè)數(shù)X的概率分布.2.超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型,其實(shí)質(zhì)是古典概型.2-1(2018北京東城期中,16)袋子里有完全相同的3個(gè)紅球和4個(gè)黑球,現(xiàn)從袋子里隨機(jī)取球;(1)若有放回地取3次,每次取一個(gè)球,求取出2個(gè)紅球1個(gè)黑球的概率;(2)若無放回地取3次,每次取一個(gè)球,取出1個(gè)紅球得2分,取出1個(gè)黑球得1分,求得分的分布列和數(shù)學(xué)期望.解析解析(1)從袋子里有放回地取3次球,相當(dāng)于做了3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),每次試驗(yàn)取出紅球的概率均為,取出黑球的概率均為,設(shè)事件A=“取出2個(gè)紅球1個(gè)黑球”,則P(A)=3=.(2)的取值有四個(gè):3、4、5、6,P(=3)=,P(=4)=,P(=5)=,P(=6)=,隨機(jī)變量的分布列為374723C23747949471083433437CC435123437C CC1835213437C CC12353337CC1353456P43518351235135E=3+4+5+6=.43518351235135307