數(shù)學第十章 計數(shù)原理與概率、隨機變量及其分布 第六節(jié) 離散型隨機變量及其分布列 理

第六節(jié)離散型隨機變量及其分布列總綱目錄教材研讀1.隨機變量的有關(guān)概念考點突破2.離散型隨機變量分布列的概念及性質(zhì)3.常見的離散型隨機變量的概率分布考點二超幾何分布考點二超幾何分布考點一離散型隨機變量的分布列教材研讀教材研讀1.隨機變量的有關(guān)概念(1)隨機變量:隨著試驗結(jié)果不同而變化變化的變量,常用字母X,Y,表示.(2)離散型隨機變量:所有取值可以一一列出一一列出的隨機變量.2.離散型隨機變量分布列的概念及性質(zhì)(1)概念:若離散型隨機變量X可能取的不同值為x1,x2,xi,xn,X取每一個值xi(i=1,2,n)的概率P(X=xi)=pi,以表格的形式表示如下:Xx1x2xixnPp1p2pipn此表稱為離散型隨機變量X的概率分布列,簡稱為X的分布列,有時也用等式P(X=xi)=pi,i=1,2,n表示X的分布列.(2)分布列的性質(zhì)(i)pi0,i=1,2,3,n;(ii).11niip3.常見的離散型隨機變量的概率分布(1)兩點分布若隨機變量X的分布列具有上表的形式,就稱X服從兩點分布,并稱p=P(X=1)為成功概率.(2)超幾何分布在含有M件次品的N件產(chǎn)品中,任取n件,其中恰有X件次品,則P(X=k)=,k=0,1,2,m,其中m=minM,n,且nN,MN,n,M,NN*.X01P1-ppC CCkn kMN MnNX01mP 0n 0MN MnNC CC1n 1MN MnNC CCmn mMN MnNC CC如果隨機變量X的分布列具有上表的形式,則稱隨機變量X服從超幾何分布.1.袋中有3個白球,5個黑球,從中任取2個,可以作為隨機變量的是()A.至少取到1個白球B.至多取到1個白球C.取到白球的個數(shù)D.取到的球的個數(shù)C答案答案C選項A、B是隨機事件,選項D是確定的值,為2,并不隨機;選項C是隨機變量,可能的取值為0,1,2.B2.從標有110的10支竹簽中任取2支,設(shè)所取2支竹簽上的數(shù)字之和為X,那么隨機變量X可能取得的值有()A.17個B.18個C.19個D.20個A答案答案A從10支竹簽中任取2支,竹簽上的數(shù)字之和可以是319中的任意一個,共有17個.3.設(shè)隨機變量Y的分布列為則“Y”的概率為()A.B.C.D.Y-123Pm1414327214123423C答案答案C因為+m+=1,所以m=,所以P=P(2)+P(3)=.1414123722Y34B4.隨機變量X等可能取值1,2,3,n,如果P(X4)=0.3,則n=.10答案答案10解析解析由題意知P(X4)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=+=0.3,故n=10.1n1n1n3n5.在含有3件次品的10件產(chǎn)品中任取4件,則取到次品數(shù)X的分布列為P(X=k)=,k=0,1,2,3.437410CCCkk答案答案P(X=k)=,k=0,1,2,3437410CCCkk解析解析由題意知,X服從超幾何分布,其中N=10,M=3,n=4,所以分布列為P(X=k)=,k=0,1,2,3.437410CCCkkB考點一離散型隨機變量的分布列考點突破考點突破典例典例1長時間用手機上網(wǎng)嚴重影響學生的健康,某校為了解A,B兩班學生手機上網(wǎng)的時長,分別從這兩個班中隨機抽取6名同學進行調(diào)查,將他們平均每周手機上網(wǎng)時長作為樣本數(shù)據(jù),繪制成如圖所示的莖葉圖(圖中的莖表示十位數(shù)字,葉表示個位數(shù)字).如果學生平均每周手機上網(wǎng)的時長超過21小時,則稱為“過度用網(wǎng)”.(1)請根據(jù)樣本數(shù)據(jù),估計A,B兩班的學生平均每周上網(wǎng)時長的平均值;(2)從A班的樣本數(shù)據(jù)中有放回地抽取2個數(shù)據(jù),求恰有1個數(shù)據(jù)為“過度用網(wǎng)”的概率;(3)從A班、B班的樣本中各隨機抽取2名學生的數(shù)據(jù),記“過度用網(wǎng)”的學生人數(shù)為,寫出的分布列.解析解析(1)A班樣本數(shù)據(jù)的平均值為(9+11+13+20+24+37)=19,由此估計A班學生平均每周手機上網(wǎng)時長的平均值為19小時.B班樣本數(shù)據(jù)的平均值為(11+12+21+25+27+36)=22,由此估計B班學生平均每周手機上網(wǎng)時長的平均值為22小時.(2)因為從A班的6個樣本數(shù)據(jù)中隨機抽取1個數(shù)據(jù),為“過度用網(wǎng)”的概率是,所以從A班的樣本數(shù)據(jù)中有放回地抽取2個數(shù)據(jù),恰有1個數(shù)據(jù)為“過度用網(wǎng)”的概率P=.(3)的可能取值為0,1,2,3,4.16161312C132349P(=0)=,P(=1)=,P(=2)=,P(=3)=,P(=4)=.的分布列為22432266C CC C2251122114234332266C C CC C CC C267522221111234342332266C CC CC C C CC C31752111122334232266C C CC C CC C117522232266C CC C17501234P225267531751175175規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié)(1)求解離散型隨機變量X的分布列的步驟:理解X的意義,寫出X可能取得的全部值;求X取每個值的概率;寫出X的分布列.(2)求離散型隨機變量的分布列的關(guān)鍵是求隨機變量取各值時對應(yīng)的概率,在求解時,要注意應(yīng)用計數(shù)原理、古典概型等知識.1-1如圖所示,某班一次數(shù)學測試成績的莖葉圖和頻率分布直方圖都受到了不同程度的污損,其中,頻率分布直方圖的分組區(qū)間分別為50,60),60,70),70,80),80,90),90,100,據(jù)此解答以下問題.(1)求全班人數(shù)及分數(shù)在80,100之間的頻率;(2)現(xiàn)從分數(shù)在80,100之間的試卷中任取3份分析學生的失分情況,設(shè)抽取的試卷分數(shù)在90,100的份數(shù)為X,求X的分布列.解析解析(1)由莖葉圖可知分數(shù)在50,60)之間的人數(shù)為4,60,70)之間的人數(shù)為8,70,80)之間的人數(shù)為10.總?cè)藬?shù)為=32(人).40.0125 10分數(shù)在80,100之間的人數(shù)為32-4-8-10=10(人),頻率為=.1032516(2)分數(shù)在90,100之間的人數(shù)為4,分數(shù)在80,90)之間的人數(shù)為6.X的所有可能取值是0,1,2,3.P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=.X的分布列為36310CC20120162164310C CC60120122146310C CC3612031034310CC4120130X0123P1612310130考點二超幾何分布典例典例2(2017北京順義二模,16改編)春節(jié)期間,受煙花爆竹集中燃放影響,我國多數(shù)城市空氣中PM2.5濃度快速上升,特別是在大氣擴散條件不利的情況下,空氣質(zhì)量在短時間內(nèi)會迅速惡化.2016年除夕18時和2017年初一2時,國家環(huán)保部門對8個城市空氣中PM2.5濃度監(jiān)測的數(shù)據(jù)如表(單位:微克/立方米):除夕18時PM2.5濃度初一2時PM2.5濃度北京75647天津66400石家莊89375廊坊102399太原46115上海1617南京3544杭州13139(1)求這8個城市除夕18時空氣中PM2.5濃度的平均值;(2)環(huán)保部門發(fā)現(xiàn):2016年除夕18時到2017年初一2時空氣中PM2.5濃度上升不超過100的城市都是禁止燃放煙花爆竹的城市,濃度上升超過100的城市都未禁止燃放煙花爆竹.從以上8個城市中隨機選取3個城市組織專家進行調(diào)研,記選到禁止燃放煙花爆竹的城市個數(shù)為X,求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望.解析解析(1)8個城市除夕18時空氣中PM2.5濃度的平均值為=70微克/立方米.(2)8個城市中禁止燃放煙花爆竹的有太原,上海,南京,杭州4個城市,隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,3,則P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=.所以X的分布列為756689 10246 1635 1318034438C CC114124438C CC614214438C CC614304438C CC114X0123P114614614114X的數(shù)學期望EX=0+1+2+3=.114614614114211432規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié)1.超幾何分布描述的是不放回抽樣問題,超幾何分布的特征:(1)考察對象分兩類;(2)已知各類對象中個體的個數(shù);(3)從中抽取若干個個體,考察抽取到的某類個體個數(shù)X的概率分布.2.超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型,其實質(zhì)是古典概型.2-1(2018北京東城期中,16)袋子里有完全相同的3個紅球和4個黑球,現(xiàn)從袋子里隨機取球;(1)若有放回地取3次,每次取一個球,求取出2個紅球1個黑球的概率;(2)若無放回地取3次,每次取一個球,取出1個紅球得2分,取出1個黑球得1分,求得分的分布列和數(shù)學期望.解析解析(1)從袋子里有放回地取3次球,相當于做了3次獨立重復試驗,每次試驗取出紅球的概率均為,取出黑球的概率均為,設(shè)事件A=“取出2個紅球1個黑球”,則P(A)=3=.(2)的取值有四個:3、4、5、6,P(=3)=,P(=4)=,P(=5)=,P(=6)=,隨機變量的分布列為374723C23747949471083433437CC435123437C CC1835213437C CC12353337CC1353456P43518351235135E=3+4+5+6=.43518351235135307