八年級數(shù)學下冊 12 解題技巧專題 正方形中特殊的證明（計算）方法測試題 （新版）新人教版.doc

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解題技巧專題：正方形中特殊的證明(計算)方法 ——解決正方形中的最值及旋轉(zhuǎn)變化模型問題 　　　　　　　　　　　　　　　　類型一　利用正方形的旋轉(zhuǎn)性質(zhì)解題 1． 如圖，在四邊形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90，AD＝CD，DP⊥AB于P，若四邊形ABCD的面積是18，則DP的長是__________． 2．如圖，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在BC，CD上，∠EAF＝45. 求證：S△AEF＝S△ABE＋S△ADF. 3．如圖，在正方形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，P為正方形ABCD外一點，且BP⊥CP. 求證：BP＋CP＝OP. 類型二　利用正方形的對稱性解題 4．如圖，正方形ABCD的面積為12，△ABE是等邊三角形，點E在正方形ABCD內(nèi)，在對角線AC上有一點P，使PD＋PE最小，則這個最小值為(　　) A. B．2 C．2 D. 第4題圖 第5題圖 5．如圖，正方形ABCD的邊長為4，E為BC上一點，BE＝1，F(xiàn)為AB上一點，AF＝2，P為AC上一點，則PF＋PE的最小值為________． 6．如圖，在正方形ABCD中，點E是CD的中點，AC，BE交于點F，MF∥AE交AB于M. 求證：DF＝MF. 參考答案與解析 1．3 2．證明：延長CB到點H，使得HB＝DF，連接AH.∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABH＝∠D＝90，AB＝AD.∴△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90后能和△ABH重合．∴AH＝AF，∠BAH＝∠DAF.∵∠HAE＝∠HAB＋∠BAE＝∠DAF＋∠BAE＝90－∠EAF＝90－45＝45，∴∠HAE＝∠EAF＝45.又∵AE＝AE，∴△AEF與△AEH關(guān)于直線AE對稱，∴S△AEF＝S△AEH＝S△ABE＋S△ABH＝S△ABE＋S△ADF. 3．證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴OB＝OC，∠BOC＝90.將△OCP順時針旋轉(zhuǎn)90至△OBE(如圖所示)，∴OE＝OP，BE＝CP，∠OBE＝∠OCP，∠BOE＝∠COP.∵BP⊥CP，∴∠BPC＝90.∵∠BOC＋∠OBP＋∠BPC＋∠OCP＝360，∴∠OBP＋∠OCP＝180，∴∠OBP＋∠OBE＝180，∴E，B，P在同一直線上．∵∠POC＋∠POB＝∠BOC＝90，∠BOE＝∠COP，∴∠BOE＋∠POB＝90，即∠EOP＝90.在Rt△EOP中，由勾股定理得PE＝＝＝OP.∵PE＝BE＋BP，BE＝CP，∴BP＋CP＝OP. 4．B　解析：連接PB.∵點P在正方形ABCD的對角線AC上，∴PD＝PB，∴PD＋PE的最小值就是PB＋PE的最小值，∴PD＋PE的最小值就是BE.∵△ABE是等邊三角形，∴BE＝AB.∵S正方形ABCD＝12，∴BE2＝AB2＝12，即BE＝2，故選B. 5. 6．證明：∵B，D關(guān)于AC對稱，點F在AC上，∴BF＝DF.∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝BC，∠ADE＝∠BCE.∵點E是CD的中點，∴DE＝CE.在△ADE和△BCE中，∵AD＝BC，∠ADE＝∠BCE，DE＝CE，∴△ADE≌△BCE，∴AE＝BE，∴∠BAE＝∠ABE.∵MF∥AE，∴∠BAE＝∠BMF，∴∠BMF＝∠ABE，∴MF＝BF.∵BF＝DF，∴DF＝MF.