2019高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十章 概率、統(tǒng)計(jì)及統(tǒng)計(jì)案例 10.1 概率練習(xí) 文.doc

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10.1　概　率 考綱解讀 考點(diǎn) 內(nèi)容解讀 要求 高考示例 ?？碱}型 預(yù)測(cè)熱度 1.古典概型及事件概率 理解古典概型及其概率計(jì)算公式;會(huì)用列舉法計(jì)算一些隨機(jī)事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率 Ⅲ 2017山東,16; 2017天津,3; 2017課標(biāo)全國Ⅱ,11; 2016課標(biāo)全國Ⅱ,18; 2016課標(biāo)全國Ⅰ,3; 2016課標(biāo)全國Ⅲ,5 選擇題、 填空題、 解答題 ★★★ 2.幾何概型及概率綜合問題 了解幾何概型的意義,會(huì)解與幾何概型相交會(huì)的線性規(guī)劃、圓及其他圖形的概率 2017課標(biāo)全國Ⅰ,4; 2017江蘇,7; 2016課標(biāo)全國Ⅱ,8 分析解讀 本節(jié)內(nèi)容是高考的重點(diǎn)考查內(nèi)容之一,最近幾年的高考有以下特點(diǎn):1.古典概型主要考查等可能性事件發(fā)生的概率,也常與對(duì)立事件、互斥事件的概率及統(tǒng)計(jì)知識(shí)綜合起來考查;2.幾何概型試題也有所體現(xiàn),可能考查會(huì)有所增加,以選擇題、填空題為主.本節(jié)內(nèi)容在高考中分值為5分左右,屬容易題. 五年高考 考點(diǎn)一　古典概型及事件概率 1.(2017課標(biāo)全國Ⅱ,11,5分)從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張,放回后再隨機(jī)抽取1張,則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為(　　) A.110 B.15 C.310 D.25 答案　D　 2.(2017天津,3,5分)有5支彩筆(除顏色外無差別),顏色分別為紅、黃、藍(lán)、綠、紫.從這5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆,則取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的概率為(　　) A.45 B.35 C.25 D.15 答案　C　 3.(2016課標(biāo)全國Ⅲ,5,5分)小敏打開計(jì)算機(jī)時(shí),忘記了開機(jī)密碼的前兩位,只記得第一位是M,I,N中的一個(gè)字母,第二位是1,2,3,4,5中的一個(gè)數(shù)字,則小敏輸入一次密碼能夠成功開機(jī)的概率是(　　) A.815 B.18 C.115 D.130 答案　C　 4.(2016北京,6,5分)從甲、乙等5名學(xué)生中隨機(jī)選出2人,則甲被選中的概率為(　　) A.15 B.25 C.825 D.925 答案　B　 5.(2016天津,2,5分)甲、乙兩人下棋,兩人下成和棋的概率是12,甲獲勝的概率是13,則甲不輸?shù)母怕蕿?　　) A.56 B.25 C.16 D.13 答案　A　 6.(2015課標(biāo)Ⅰ,4,5分)如果3個(gè)正整數(shù)可作為一個(gè)直角三角形三條邊的邊長,則稱這3個(gè)數(shù)為一組勾股數(shù).從1,2,3,4,5中任取3個(gè)不同的數(shù),則這3個(gè)數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為(　　) A.310 B.15 C.110 D.120 答案　C　 7.(2016四川,13,5分)從2,3,8,9中任取兩個(gè)不同的數(shù)字,分別記為a,b,則logab為整數(shù)的概率是　　　　. 答案　16 8.(2014課標(biāo)Ⅰ,13,5分)將2本不同的數(shù)學(xué)書和1本語文書在書架上隨機(jī)排成一行,則2本數(shù)學(xué)書相鄰的概率為　　　. 答案　23 9.(2014課標(biāo)Ⅱ,13,5分)甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員各自等可能地從紅、白、藍(lán)3種顏色的運(yùn)動(dòng)服中選擇1種,則他們選擇相同顏色運(yùn)動(dòng)服的概率為　　　　. 答案　13 10.(2017山東,16,12分)某旅游愛好者計(jì)劃從3個(gè)亞洲國家A1,A2,A3和3個(gè)歐洲國家B1,B2,B3中選擇2個(gè)國家去旅游. (1)若從這6個(gè)國家中任選2個(gè),求這2個(gè)國家都是亞洲國家的概率; (2)若從亞洲國家和歐洲國家中各任選1個(gè),求這2個(gè)國家包括A1但不包括B1的概率. 解析　(1)由題意知,從6個(gè)國家中任選兩個(gè)國家,其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有:{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},{B1,B2},{B1,B3},{B2,B3},共15個(gè). 所選兩個(gè)國家都是亞洲國家的事件所包含的基本事件有:{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},共3個(gè), 則所求事件的概率為P=315=15. (2)從亞洲國家和歐洲國家中各任選一個(gè),其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有:{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},共9個(gè). 包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有:{A1,B2},{A1,B3},共2個(gè), 則所求事件的概率為P=29. 11.(2016課標(biāo)全國Ⅱ,18,12分)某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為a(單位:元),繼續(xù)購買該險(xiǎn)種的投保人稱為續(xù)保人,續(xù)保人本年度的保費(fèi)與其上年度出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下: 上年度出險(xiǎn)次數(shù) 0 1 2 3 4 ≥5 保費(fèi) 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 隨機(jī)調(diào)查了該險(xiǎn)種的200名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險(xiǎn)情況,得到如下統(tǒng)計(jì)表: 出險(xiǎn)次數(shù) 0 1 2 3 4 ≥5 頻數(shù) 60 50 30 30 20 10 (1)記A為事件:“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)不高于基本保費(fèi)”.求P(A)的估計(jì)值; (2)記B為事件:“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)但不高于基本保費(fèi)的160%”.求P(B)的估計(jì)值; (3)求續(xù)保人本年度平均保費(fèi)的估計(jì)值. 解析　(1)事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)小于2. 由所給數(shù)據(jù)知,一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)小于2的頻率為60+50200=0.55, 故P(A)的估計(jì)值為0.55.(3分) (2)事件B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于1且小于4. 由所給數(shù)據(jù)知,一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于1且小于4的頻率為30+30200=0.3, 故P(B)的估計(jì)值為0.3.(6分) (3)由所給數(shù)據(jù)得 保費(fèi) 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 頻率 0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05 (10分) 調(diào)查的200名續(xù)保人的平均保費(fèi)為 0.85a0.30+a0.25+1.25a0.15+1.5a0.15+1.75a0.10+2a0.05=1.192 5a元. 因此,續(xù)保人本年度平均保費(fèi)的估計(jì)值為1.192 5a元.(12分) 12.(2015天津,15,13分)設(shè)甲、乙、丙三個(gè)乒乓球協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員人數(shù)分別為27,9,18.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這三個(gè)協(xié)會(huì)中抽取6名運(yùn)動(dòng)員組隊(duì)參加比賽. (1)求應(yīng)從這三個(gè)協(xié)會(huì)中分別抽取的運(yùn)動(dòng)員的人數(shù); (2)將抽取的6名運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行編號(hào),編號(hào)分別為A1,A2,A3,A4,A5,A6.現(xiàn)從這6名運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)抽取2人參加雙打比賽. (i)用所給編號(hào)列出所有可能的結(jié)果; (ii)設(shè)A為事件“編號(hào)為A5和A6的兩名運(yùn)動(dòng)員中至少有1人被抽到”,求事件A發(fā)生的概率. 解析　(1)應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)協(xié)會(huì)中抽取的運(yùn)動(dòng)員人數(shù)分別為3,1,2. (2)(i)從6名運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)抽取2人參加雙打比賽的所有可能結(jié)果為{A1,A2},{A1,A3},{A1,A4},{A1,A5},{A1,A6},{A2,A3},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A4},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共15種. (ii)編號(hào)為A5和A6的兩名運(yùn)動(dòng)員中至少有1人被抽到的所有可能結(jié)果為{A1,A5},{A1,A6},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共9種. 因此,事件A發(fā)生的概率P(A)=915=35. 教師用書專用(13—32) 13.(2015廣東,7,5分)已知5件產(chǎn)品中有2件次品,其余為合格品.現(xiàn)從這5件產(chǎn)品中任取2件,恰有一件次品的概率為(　　) A.0.4 B.0.6 C.0.8 D.1 答案　B　 14.(2014江西,3,5分)擲兩顆均勻的骰子,則點(diǎn)數(shù)之和為5的概率等于(　　) A.118 B.19 C.16 D.112 答案　B　 15.(2014陜西,6,5分)從正方形四個(gè)頂點(diǎn)及其中心這5個(gè)點(diǎn)中,任取2個(gè)點(diǎn),則這2個(gè)點(diǎn)的距離小于該正方形邊長的概率為(　　) A.15 B.25 C.35 D.45 答案　B　 16.(2014湖北,5,5分)隨機(jī)擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子,它們向上的點(diǎn)數(shù)之和不超過5的概率記為p1,點(diǎn)數(shù)之和大于5的概率記為p2,點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)的概率記為p3,則(　　) A.p1516, 所以小亮獲得水杯的概率大于獲得飲料的概率. 23.(2015山東,16,12分)某中學(xué)調(diào)查了某班全部45名同學(xué)參加書法社團(tuán)和演講社團(tuán)的情況,數(shù)據(jù)如下表:(單位:人) 參加書法社團(tuán) 未參加書法社團(tuán) 參加演講社團(tuán) 8 5 未參加演講社團(tuán) 2 30 (1)從該班隨機(jī)選1名同學(xué),求該同學(xué)至少參加上述一個(gè)社團(tuán)的概率; (2)在既參加書法社團(tuán)又參加演講社團(tuán)的8名同學(xué)中,有5名男同學(xué)A1,A2,A3,A4,A5,3名女同學(xué)B1,B2,B3.現(xiàn)從這5名男同學(xué)和3名女同學(xué)中各隨機(jī)選1人,求A1被選中且B1未被選中的概率. 解析　(1)由調(diào)查數(shù)據(jù)可知,既未參加書法社團(tuán)又未參加演講社團(tuán)的有30人, 故至少參加上述一個(gè)社團(tuán)的共有45-30=15人, 所以從該班隨機(jī)選1名同學(xué),該同學(xué)至少參加上述一個(gè)社團(tuán)的概率為P=1545=13. (2)從這5名男同學(xué)和3名女同學(xué)中各隨機(jī)選1人,其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有: {A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2}, {A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},{A4,B1}, {A4,B2},{A4,B3},{A5,B1},{A5,B2},{A5,B3}, 共15個(gè).根據(jù)題意,這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的. 事件“A1被選中且B1未被選中”所包含的基本事件有: {A1,B2},{A1,B3},共2個(gè). 因此A1被選中且B1未被選中的概率為P=215. 24.(2015北京,17,13分)某超市隨機(jī)選取1 000位顧客,記錄了他們購買甲、乙、丙、丁四種商品的情況,整理成如下統(tǒng)計(jì)表,其中“√”表示購買,“”表示未購買. 商品顧客人數(shù) 甲 乙 丙 丁 100 √ √ √ 217 √ √ 200 √ √ √ 300 √ √ 85 √ 98 √ (1)估計(jì)顧客同時(shí)購買乙和丙的概率; (2)估計(jì)顧客在甲、乙、丙、丁中同時(shí)購買3種商品的概率; (3)如果顧客購買了甲,則該顧客同時(shí)購買乙、丙、丁中哪種商品的可能性最大? 解析　(1)從統(tǒng)計(jì)表可以看出,在這1 000位顧客中有200位顧客同時(shí)購買了乙和丙,所以顧客同時(shí)購買乙和丙的概率可以估計(jì)為2001 000=0.2. (2)從統(tǒng)計(jì)表可以看出,在這1 000位顧客中,有100位顧客同時(shí)購買了甲、丙、丁,另有200位顧客同時(shí)購買了甲、乙、丙,其他顧客最多購買了2種商品. 所以顧客在甲、乙、丙、丁中同時(shí)購買3種商品的概率可以估計(jì)為100+2001 000=0.3. (3)與(1)同理,可得: 顧客同時(shí)購買甲和乙的概率可以估計(jì)為2001 000=0.2, 顧客同時(shí)購買甲和丙的概率可以估計(jì)為100+200+3001 000=0.6, 顧客同時(shí)購買甲和丁的概率可以估計(jì)為1001 000=0.1. 所以,如果顧客購買了甲,則該顧客同時(shí)購買丙的可能性最大. 25.(2014陜西,19,12分)某保險(xiǎn)公司利用簡單隨機(jī)抽樣方法,對(duì)投保車輛進(jìn)行抽樣,樣本車輛中每輛車的賠付結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下: 賠付金額(元) 0 1 000 2 000 3 000 4 000 車輛數(shù)(輛) 500 130 100 150 120 (1)若每輛車的投保金額均為2 800元,估計(jì)賠付金額大于投保金額的概率; (2)在樣本車輛中,車主是新司機(jī)的占10%,在賠付金額為4 000元的樣本車輛中,車主是新司機(jī)的占20%,估計(jì)在已投保車輛中,新司機(jī)獲賠金額為4 000元的概率. 解析　(1)設(shè)A表示事件“賠付金額為3 000元”,B表示事件“賠付金額為4 000元”,以頻率估計(jì)概率得 P(A)=1501 000=0.15,P(B)=1201 000=0.12. 由于投保金額為2 800元,賠付金額大于投保金額對(duì)應(yīng)的情形是3 000元和4 000元,所以其概率為P(A)+P(B)=0.15+0.12=0.27. (2)設(shè)C表示事件“投保車輛中新司機(jī)獲賠4 000元”,由已知,知樣本車輛中車主為新司機(jī)的有0.11 000=100輛,而賠付金額為4 000元的車輛中,車主為新司機(jī)的有0.2120=24輛,所以樣本車輛中新司機(jī)車主獲賠金額為4 000元的頻率為24100=0.24,由頻率估計(jì)概率得P(C)=0.24. 26.(2014四川,16,12分)一個(gè)盒子里裝有三張卡片,分別標(biāo)記有數(shù)字1,2,3,這三張卡片除標(biāo)記的數(shù)字外完全相同.隨機(jī)有放回地抽取3次,每次抽取1張,將抽取的卡片上的數(shù)字依次記為a,b,c. (1)求“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a+b=c”的概率; (2)求“抽取的卡片上的數(shù)字a,b,c不完全相同”的概率. 解析(1)由題意知,(a,b,c)所有可能的結(jié)果為(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),(1,3,1), (1,3,2),(1,3,3),(2,1,1),(2,1,2),(2,1,3),(2,2,1),(2,2,2),(2,2,3),(2,3,1),(2,3,2),(2,3,3),(3,1,1),(3,1,2),(3,1,3),(3,2,1),(3,2,2),(3,2,3),(3,3,1),(3,3,2),(3,3,3),共27種. 設(shè)“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a+b=c”為事件A, 則事件A包括(1,1,2),(1,2,3),(2,1,3),共3種. 所以P(A)=327=19. 因此,“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a+b=c”的概率為19. (2)設(shè)“抽取的卡片上的數(shù)字a,b,c不完全相同”為事件B, 則事件B包括(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),共3種. 所以P(B)=1-P(B)=1-327=89. 因此,“抽取的卡片上的數(shù)字a,b,c不完全相同”的概率為89. 27.(2014天津,15,13分)某校夏令營有3名男同學(xué)A,B,C和3名女同學(xué)X,Y,Z,其年級(jí)情況如下表: 一年級(jí) 二年級(jí) 三年級(jí) 男同學(xué) A B C 女同學(xué) X Y Z 現(xiàn)從這6名同學(xué)中隨機(jī)選出2人參加知識(shí)競賽(每人被選到的可能性相同). (1)用表中字母列舉出所有可能的結(jié)果; (2)設(shè)M為事件“選出的2人來自不同年級(jí)且恰有1名男同學(xué)和1名女同學(xué)”,求事件M發(fā)生的概率. 解析(1)從6名同學(xué)中隨機(jī)選出2人參加知識(shí)競賽的所有可能結(jié)果為{A,B},{A,C},{A,X},{A,Y}, {A,Z},{B,C},{B,X},{B,Y},{B,Z},{C,X},{C,Y},{C,Z},{X,Y},{X,Z},{Y,Z},共15種. (2)選出的2人來自不同年級(jí)且恰有1名男同學(xué)和1名女同學(xué)的所有可能結(jié)果 為{A,Y},{A,Z},{B,X},{B,Z},{C,X},{C,Y},共6種. 因此,事件M發(fā)生的概率P(M)=615=25. 28.(2013天津,15,13分)某產(chǎn)品的三個(gè)質(zhì)量指標(biāo)分別為x,y,z,用綜合指標(biāo)S=x+y+z評(píng)價(jià)該產(chǎn)品的等級(jí).若S≤4,則該產(chǎn)品為一等品.現(xiàn)從一批該產(chǎn)品中,隨機(jī)抽取10件產(chǎn)品作為樣本,其質(zhì)量指標(biāo)列表如下: 產(chǎn)品編號(hào) A1 A2 A3 A4 A5 質(zhì)量指標(biāo)(x,y,z) (1,1,2) (2,1,1) (2,2,2) (1,1,1) (1,2,1) 產(chǎn)品編號(hào) A6 A7 A8 A9 A10 質(zhì)量指標(biāo)(x,y,z) (1,2,2) (2,1,1) (2,2,1) (1,1,1) (2,1,2) (1)利用上表提供的樣本數(shù)據(jù)估計(jì)該批產(chǎn)品的一等品率; (2)在該樣本的一等品中,隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品, (i)用產(chǎn)品編號(hào)列出所有可能的結(jié)果; (ii)設(shè)事件B為“在取出的2件產(chǎn)品中,每件產(chǎn)品的綜合指標(biāo)S都等于4”,求事件B發(fā)生的概率. 解析　(1)計(jì)算10件產(chǎn)品的綜合指標(biāo)S,如下表: 產(chǎn)品編號(hào) A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 S 4 4 6 3 4 5 4 5 3 5 其中S≤4的有A1,A2,A4,A5,A7,A9,共6件,故該樣本的一等品率為610=0.6,從而可估計(jì)該批產(chǎn)品的一等品率為0.6. (2)(i)在該樣本的一等品中,隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品的所有可能結(jié)果為{A1,A2},{A1,A4},{A1,A5},{A1,A7},{A1,A9}, {A2,A4},{A2,A5},{A2,A7},{A2,A9},{A4,A5},{A4,A7},{A4,A9},{A5,A7},{A5,A9},{A7,A9},共15種. (ii)在該樣本的一等品中,綜合指標(biāo)S等于4的產(chǎn)品編號(hào)分別為A1,A2,A5,A7,則事件B發(fā)生的所有可能結(jié)果為{A1,A2},{A1,A5},{A1,A7},{A2,A5},{A2,A7},{A5,A7},共6種. 所以P(B)=615=25. 29.(2013江西,18,12分)小波以游戲方式?jīng)Q定是去打球、唱歌還是去下棋.游戲規(guī)則為:以O(shè)為起點(diǎn),再從A1,A2,A3,A4,A5,A6(如圖)這6個(gè)點(diǎn)中任取兩點(diǎn)分別為終點(diǎn)得到兩個(gè)向量,記這兩個(gè)向量的數(shù)量積為X,若X>0就去打球,若X=0就去唱歌,若X<0就去下棋. (1)寫出數(shù)量積X的所有可能取值; (2)分別求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率. 解析　(1)X的所有可能取值為-2,-1,0,1. (2)數(shù)量積為-2的有OA2OA5,共1種; 數(shù)量積為-1的有OA1OA5,OA1OA6,OA2OA4,OA2OA6,OA3OA4,OA3OA5,共6種; 數(shù)量積為0的有OA1OA3,OA1OA4,OA3OA6,OA4OA6,共4種; 數(shù)量積為1的有OA1OA2,OA2OA3,OA4OA5,OA5OA6,共4種. 故所有可能的情況有15種. 所以小波去下棋的概率為P1=715; 因?yàn)槿コ璧母怕蕿镻2=415,所以小波不去唱歌的概率P=1-P2=1-415=1115. 30.(2013山東,17,12分)某小組共有A,B,C,D,E五位同學(xué),他們的身高(單位:米)及體重指標(biāo)(單位:千克/米2)如下表所示: A B C D E 身高 1.69 1.73 1.75 1.79 1.82 體重指標(biāo) 19.2 25.1 18.5 23.3 20.9 (1)從該小組身高低于1.80的同學(xué)中任選2人,求選到的2人身高都在1.78以下的概率; (2)從該小組同學(xué)中任選2個(gè),求選到的2人的身高都在1.70以上且體重指標(biāo)都在[18.5,23.9)中的概率. 解析(1)從身高低于1.80米的同學(xué)中任選2人,其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有(A,B), (A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D),共6個(gè). 由于每個(gè)人被選到的機(jī)會(huì)均等,因此這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的.選到的2人身高都在1.78米以下的事件有(A,B),(A,C),(B,C),共3個(gè).因此選到的2人身高都在1.78米以下的概率為P=36=12. (2)從該小組同學(xué)中任選2人,其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有(A,B),(A,C),(A,D),(A,E), (B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E),共10個(gè). 由于每個(gè)人被選到的機(jī)會(huì)均等,因此這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的.選到的2人身高都在1.70米以上且體重指標(biāo)都在[18.5,23.9)中的事件有(C,D),(C,E),(D,E),共3個(gè). 因此選到的2人的身高都在1.70米以上且體重指標(biāo)都在[18.5,23.9)中的概率為P1=310. 31.(2013遼寧,19,12分)現(xiàn)有6道題,其中4道甲類題,2道乙類題,張同學(xué)從中任取2道題解答.試求: (1)所取的2道題都是甲類題的概率; (2)所取的2道題不是同一類題的概率. 解析 (1)將4道甲類題依次編號(hào)為1,2,3,4;2道乙類題依次編號(hào)為5,6.任取2道題,基本事件為{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{1,6},{2,3},{2,4},{2,5},{2,6},{3,4},{3,5},{3,6},{4,5},{4,6},{5,6},共15個(gè),而且這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的. 用A表示“都是甲類題”這一事件,則A包含的基本事件有{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},共6個(gè),所以P(A)=615=25.(6分) (2)基本事件同(1),用B表示“不是同一類題”這一事件,則B包含的基本事件有{1,5},{1,6},{2,5},{2,6}, {3,5},{3,6},{4,5},{4,6},共8個(gè),所以P(B)=815.(12分) 32.(2013湖南,18,12分)某人在如圖所示的直角邊長為4米的三角形地塊的每個(gè)格點(diǎn)(指縱、橫直線的交叉點(diǎn)以及三角形的頂點(diǎn))處都種了一株相同品種的作物.根據(jù)歷年的種植經(jīng)驗(yàn),一株該種作物的年收獲量Y(單位:kg)與它的“相近”作物株數(shù)X之間的關(guān)系如下表所示: X 1 2 3 4 Y 51 48 45 42 這里,兩株作物“相近”是指它們之間的直線距離不超過1米. (1)完成下表,并求所種作物的平均年收獲量; Y 51 48 45 42 頻數(shù) 4 (2)在所種作物中隨機(jī)選取一株,求它的年收獲量至少為48 kg的概率. 解析　(1)所種作物的總株數(shù)為1+2+3+4+5=15,其中“相近”作物株數(shù)為1的作物有2株,“相近”作物株數(shù)為2的作物有4株,“相近”作物株數(shù)為3的作物有6株,“相近”作物株數(shù)為4的作物有3株.列表如下: Y 51 48 45 42 頻數(shù) 2 4 6 3 所種作物的平均年收獲量為 512+484+456+42315 =102+192+270+12615=69015=46. (2)由(1)知,P(Y=51)=215,P(Y=48)=415. 故在所種作物中隨機(jī)選取一株,它的年收獲量至少為48 kg的概率為P(Y≥48)=P(Y=51)+P(Y=48)=215+415=25. 考點(diǎn)二　幾何概型及概率綜合問題 1.(2017課標(biāo)全國Ⅰ,4,5分)如圖,正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖.正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱.在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是(　　) A.14 B.π8 C.12 D.π4 答案　B　 2.(2016課標(biāo)全國Ⅱ,8,5分)某路口人行橫道的信號(hào)燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn),紅燈持續(xù)時(shí)間為40秒.若一名行人來到該路口遇到紅燈,則至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為(　　) A.710 B.58 C.38 D.310 答案　B　 3.(2015福建,8,5分)如圖,矩形ABCD中,點(diǎn)A在x軸上,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0),且點(diǎn)C與點(diǎn)D在函數(shù)f(x)=x+1,　　x≥0,-12x+1,x<0的圖象上.若在矩形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自陰影部分的概率等于(　　) A.16 B.14 C.38 D.12 答案　B　 4.(2017江蘇,7,5分)記函數(shù)f(x)=6+x-x2的定義域?yàn)镈.在區(qū)間[-4,5]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x,則x∈D的概率是　　　　. 答案　59 5.(2014重慶,15,5分)某校早上8:00開始上課,假設(shè)該校學(xué)生小張與小王在早上7:30~7:50之間到校,且每人在該時(shí)間段的任何時(shí)刻到校是等可能的,則小張比小王至少早5分鐘到校的概率為　　　　.(用數(shù)字作答) 答案　932 教師用書專用(6—9) 6.(2014遼寧,6,5分)若將一個(gè)質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)投入如圖所示的長方形ABCD中,其中AB=2,BC=1,則質(zhì)點(diǎn)落在以AB為直徑的半圓內(nèi)的概率是(　　) A.π2 B.π4 C.π6 D.π8 答案　B　 7.(2014福建,13,4分)如圖,在邊長為1的正方形中隨機(jī)撒1 000粒豆子,有180粒落到陰影部分,據(jù)此估計(jì)陰影部分的面積為　　　　. 答案　0.18 8.(2013福建,14,5分)利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生0~1之間的均勻隨機(jī)數(shù)a,則事件“3a-1<0”發(fā)生的概率為　　　　. 答案　13 9.(2013湖北,15,5分)在區(qū)間[-2,4]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x,若x滿足|x|≤m的概率為56,則m=　　　　. 答案　3 三年模擬 A組　2016—2018年模擬基礎(chǔ)題組 考點(diǎn)一　古典概型及事件概率 1.(2018廣東汕頭金山中學(xué)期中,5)每年三月為學(xué)雷鋒活動(dòng)月,某班有青年志愿者男生3人,女生2人,現(xiàn)需選出2名青年志愿者到社區(qū)做公益宣傳活動(dòng),則選出的2名志愿者性別相同的概率為(　　) A.35 B.25 C.15 D.310 答案　B　 2.(2017山西一模,12)現(xiàn)有2名女教師和1名男教師參加說題比賽,共有2道備選題目,若每位選手從中有放回地隨機(jī)選出一道題進(jìn)行說題,其中恰有一男一女抽到同一道題的概率為(　　) A.13 B.23 C.12 D.34 答案　C　 3.(2017安徽江淮十校第一次聯(lián)考,6)從{1,2,3,4,5}中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)為a,從{1,2,3}中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)為b,則b>a的概率是(　　) A.45 B.35 C.25 D.15 答案　D　 4.(2017河南新鄉(xiāng)調(diào)研,10)某車間共有6名工人,他們某日加工零件個(gè)數(shù)的莖葉圖如圖所示,其中莖為十位數(shù),葉為個(gè)位數(shù),日加工零件個(gè)數(shù)大于樣本平均數(shù)的工人為優(yōu)秀工人,從該車間的6名工人中任取2名,則恰有1名優(yōu)秀工人的概率為(　　) A.19 B.13 C.815 D.715 答案　C　 考點(diǎn)二　幾何概型及概率綜合問題 5.(2018山東師大附中12月模擬,9)在區(qū)間-π6,π2上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x,則sin x+cos x∈[1,2]的概率是(　　) A.23 B.34 C.12 D.13 答案　B　 6.(2018廣東惠州一調(diào),8)三國時(shí)代吳國數(shù)學(xué)家趙爽所注《周髀算經(jīng)》中給出了勾股定理的絕妙證明.下面是趙爽的弦圖及注文,弦圖是一個(gè)以勾股形之弦為邊的正方形,其面積稱為弦實(shí).圖中包含四個(gè)全等的勾股形及一個(gè)小正方形,分別涂成紅(朱)色及黃色,其面積稱為朱實(shí)、黃實(shí),利用2勾股+(股-勾)2=4朱實(shí)+黃實(shí)=弦實(shí),化簡得勾2+股2=弦2.設(shè)勾股形中勾股比為1∶3,若向弦圖內(nèi)隨機(jī)拋擲1 000顆圖釘(大小忽略不計(jì)),則落在黃色圖形內(nèi)的圖釘顆數(shù)大約為(3≈1.732)(　　) A.866 B.500 C.300 D.134 答案　D　 7.(2017陜西榆林二模,4)已知函數(shù)f(x)=ex,0≤x<1,lnx+e,1≤x≤e,在區(qū)間[0,e]上隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)x,則f(x)的值不小于常數(shù)e的概率是(　　) A.1e B.1-1e C.e1+e D.11+e 答案　B　 8.(2017江西贛中南五校第一次聯(lián)考,4)如圖所示,墻上掛有邊長為a的正方形木板,它的四個(gè)角的空白部分都是以正方形的頂點(diǎn)為圓心,a2為半徑的扇形,某人向此板投鏢,假設(shè)每次都能擊中木板,且擊中木板上每個(gè)點(diǎn)的可能性都一樣,則他擊中陰影部分的概率是(　　) A.1-π4 B.π4 C.1-π8 D.與a的取值有關(guān) 答案　A　 9.(2017山西大學(xué)附中第二次模擬,10)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a1=-20,在區(qū)間(3,5)內(nèi)任取一個(gè)實(shí)數(shù)作為數(shù)列{an}的公差,則Sn的最小值僅為S6的概率為(　　) A.15 B.16 C.314 D.13 答案　D　 B組　2016—2018年模擬提升題組 (滿分:55分　時(shí)間:45分鐘) 一、選擇題(共5分) 1.(2017江西一模,3)向面積為S的平行四邊形ABCD中任投一點(diǎn)M,則△MCD的面積小于S3的概率為(　　) A.13 B.35 C.23 D.34 答案　C　 二、填空題(共5分) 2.(2017北師大附中期中,14)已知菱形ABCD的邊長為4,∠ABC=150,若在菱形內(nèi)任取一點(diǎn),則該點(diǎn)到菱形的四個(gè)頂點(diǎn)的距離均不小于1的概率為　　　　. 答案　1-π8 三、解答題(每小題15分,共45分) 3.(2018福建廈門調(diào)研,18)某汽車美容公司為吸引顧客,推出優(yōu)惠活動(dòng):對(duì)首次消費(fèi)的顧客,按200元/次收費(fèi),并注冊(cè)成為會(huì)員,對(duì)會(huì)員逐次消費(fèi)給予相應(yīng)優(yōu)惠,標(biāo)準(zhǔn)如下表: 消費(fèi)次數(shù) 第1次 第2次 第3次 第4次 5次及以上 收費(fèi)比例 1 0.95 0.90 0.85 0.80 該公司從注冊(cè)的會(huì)員中隨機(jī)抽取了100位進(jìn)行統(tǒng)計(jì),得到統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表: 消費(fèi)次數(shù) 第1次 第2次 第3次 第4次 5次及以上 頻數(shù) 60 20 10 5 5 假設(shè)汽車美容一次,公司成本為150元,根據(jù)所給數(shù)據(jù),解答下列問題: (1)估計(jì)該公司一位會(huì)員至少消費(fèi)兩次的概率; (2)某會(huì)員僅消費(fèi)兩次,求這兩次消費(fèi)中,公司獲得的平均利潤; (3)該公司要從這100位里至少消費(fèi)兩次的顧客中按消費(fèi)次數(shù)用分層抽樣方法抽出8人,再從這8人中抽出2人發(fā)放紀(jì)念品,求抽出的2人中恰有1人消費(fèi)兩次的概率. 解析　(1)100位會(huì)員中,至少消費(fèi)兩次的會(huì)員有40位,所以估計(jì)一位會(huì)員至少消費(fèi)兩次的概率為40100=0.4. (2)該會(huì)員第1次消費(fèi)時(shí),公司獲得的利潤為200-150=50(元), 第2次消費(fèi)時(shí),公司獲得的利潤為2000.95-150=40(元), 所以,公司獲得的平均利潤為50+402=45(元). (3)因?yàn)?0∶10∶5∶5=4∶2∶1∶1,所以用分層抽樣方法抽出的8人中,消費(fèi)2次的有4人,分別設(shè)為A1,A2,A3,A4,消費(fèi)3次的有2人,分別設(shè)為B1,B2,消費(fèi)4次和5次及以上的各有1人,分別設(shè)為C,D,從中抽出2人,抽到A1的有A1A2,A1A3,A1A4,A1B1,A1B2,A1C,A1D,共7種; 去掉A1后,抽到A2的有A2A3,A2A4,A2B1,A2B2,A2C,A2D,共6種; 去掉A1,A2,A3,A4,B1,B2后,抽到C的有:CD,共1種,總的抽取方法有7+6+5+4+3+2+1=28種, 其中恰有1人消費(fèi)兩次的抽取方法有4+4+4+4=16種, 所以,抽出的2人中恰有1人消費(fèi)兩次的概率為1628=47. 4.(2018廣東深圳四校聯(lián)考,19)中國移動(dòng)通信公司早前推出“全球通”移動(dòng)電話資費(fèi)“個(gè)性化套餐”,具體方案如下: 方案代號(hào) 基本月租 (元) 免費(fèi)時(shí)間 (分鐘) 超過免費(fèi)時(shí)間 的話費(fèi)(元/分鐘) 1 30 48 0.60 2 98 170 0.60 3 168 330 0.50 4 268 600 0.45 5 388 1 000 0.40 6 568 1 700 0.35 7 788 2 588 0.30 (1)寫出“套餐”中方案1的月話費(fèi)y(元)與月通話量t(分鐘)(月通話量是指一個(gè)月內(nèi)每次通話用時(shí)之和)的函數(shù)關(guān)系式; (2)學(xué)生甲選用方案1,學(xué)生乙選用方案2,某月甲乙兩人的電話資費(fèi)相同,通話量也相同,求該月學(xué)生甲的電話資費(fèi); (3)某用戶的月通話量平均為320分鐘,則在表中所列出的七種方案中,選擇哪種方案更合算?說明理由. 解析　(1)y=30,0≤t≤48,30+0.6(t-48),t>48. 即y=30,0≤t≤48,0.6t-1.2,t>48. (2)設(shè)該月甲乙兩人的電話資費(fèi)均為a元,通話量均為b分鐘.當(dāng)0≤b≤48時(shí),甲乙兩人的電話資費(fèi)分別為30元,98元,不相等;當(dāng)b>170時(shí),甲乙兩人的電話資費(fèi)分別為y1=[30+0.6(b-48)]元,y2=[98+0.6(b-170)]元,y2-y1=-5.2<0,y2D2. (3)設(shè)“連續(xù)三天每天平均最高溫度值都在[27,30]之間”為事件A, 則基本事件空間Ω={(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),…,(29,30,31)},共29個(gè)基本事件, 由題圖可以看出,事件A中包含10個(gè)基本事件, ∴P(A)=1029,即所選3天每天平均最高溫度值都在[27,30]之間的概率為1029. C組　2016—2018年模擬方法題組 方法1　古典概型概率的求法 1.(2018黑龍江哈三中12月模擬,6)一次數(shù)學(xué)考試中,4位同學(xué)各自在第22題和第23題中任選一題作答,則第22題和第23題都有同學(xué)選答的概率為(　　) A.516 B.38 C.78 D.1516 答案　C　 2.(2017江西紅色七校第一次聯(lián)考,5)“序數(shù)”是指每個(gè)數(shù)字比其左邊的數(shù)字大的自然數(shù)(如1258),在兩位的“序數(shù)”中任取一個(gè)數(shù)比56大的概率是(　　) A.14 B.23 C.34 D.45 答案　A　 3.(2017安徽江南十校聯(lián)考,14)某學(xué)校高三年級(jí)共有11個(gè)班,其中1~4班為文科班,5~11班為理科班,現(xiàn)從該校文科班和理科班中各選一個(gè)班去參加學(xué)校組織的一項(xiàng)公益活動(dòng),則所選的兩個(gè)班的序號(hào)之積為3的倍數(shù)的概率為　　　　. 答案　1328 方法2　幾何概型概率的求法 4.(2017廣東韶關(guān)六校聯(lián)考,5)設(shè)函數(shù)f(x)=-x2+4x-3,若從區(qū)間[2,6]上任取一個(gè)實(shí)數(shù)x0,則所選取的實(shí)數(shù)x0滿足f(x0)≥0的概率為(　　) A.13 B.14 C.34 D.12 答案　B