《圓周角定理》(第1課時(shí))教案設(shè)計(jì)拓展版

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1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn) 《圓周角定理》（第1課時(shí)）教案拓展版 一、教學(xué)目標(biāo) 知識(shí)與技能 1 .理解圓周角的概念. 2 .掌握?qǐng)A周角與圓心角的關(guān)系. 3 .掌握同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等. 數(shù)學(xué)思考與問(wèn)題解決 1 .通過(guò)觀察、猜想、驗(yàn)證、推理，培養(yǎng)學(xué)生探索數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力和方法. 2 .學(xué)會(huì)以特殊情況為基礎(chǔ)，通過(guò)轉(zhuǎn)化來(lái)解決一般問(wèn)題的方法，體會(huì)分類(lèi)的數(shù)學(xué)思想. 情感、態(tài)度 1 .通過(guò)定理證明的過(guò)程，體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)的探索性和創(chuàng)造性，感受證明的嚴(yán)謹(jǐn)性. 2 .通過(guò)小組活動(dòng)討論，體會(huì)在解決問(wèn)題的過(guò)程中與他人合作的重要性， 培養(yǎng)團(tuán)隊(duì)意識(shí). 3 .體驗(yàn)數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的緊密聯(lián)系. 二、教學(xué)重點(diǎn)、

2、難點(diǎn) 重點(diǎn)：圓周角的概念及圓周角定理. 難點(diǎn)：圓周角定理的證明. 三、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì) （一）復(fù)習(xí)引入 1 .圓心角的概念是什么？ 2 .前面我們學(xué)習(xí)了一個(gè)反映圓心角、弧、弦三個(gè)量之間關(guān)系的一個(gè)結(jié)論，這個(gè)結(jié)論是 什么？ 師生活動(dòng)：教師出示問(wèn)題，學(xué)生思考、回顧前面所學(xué)的內(nèi)容. 答：1.頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角； 2.在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所 對(duì)應(yīng)的其余各組量也都分別相等. 設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)復(fù)習(xí)前面學(xué)過(guò)的知識(shí)，為新內(nèi)容的學(xué)習(xí)做鋪墊. （二）探究新知 想一想 在射門(mén)游戲中（如圖），球員射中球門(mén)的難易程度與他所處的位置 B對(duì)球門(mén)AC

3、的張角（/ ABC）有關(guān).當(dāng)球員在 B, D, E處射門(mén)時(shí)，他所處的位置對(duì)球門(mén) AC分別形成 三個(gè)張角/ ABC, / ADC, /AEC.觀察圖中的/ ABC, / ADC, / AEC ,你能發(fā)現(xiàn)它們有 什么共同特征嗎？ 師生活動(dòng)：教師出示問(wèn)題，學(xué)生小組討論，最后教師引導(dǎo)學(xué)生得出圓周角的概念. 答：發(fā)現(xiàn)：（1）它們的頂點(diǎn)都在圓上；（2）兩邊分別與圓有一個(gè)交點(diǎn). 我們把頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角. 設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生通過(guò)觀察、思考、合作交流，探究得出圓周角的概念. 做一做 如圖，/ AOB=80°. （1）請(qǐng)你畫(huà)出幾個(gè)AB所對(duì)的圓周

4、角，這幾個(gè)圓周角有什么關(guān)系？與同伴進(jìn)行交流. （2）這些圓周角與圓心角/ AOB的大小有什么關(guān)系？你是怎樣發(fā)現(xiàn)的？與同伴進(jìn)行交 師生活動(dòng)：教師出示問(wèn)題，學(xué)生小組討論，教師引導(dǎo)學(xué)生得出結(jié)論. 答：（1）能畫(huà)出無(wú)數(shù)個(gè)，如下圖所示. 通過(guò)度量可以發(fā)現(xiàn)：/ ADB, /ACB, / AEB這幾個(gè)圓周角相等. (2)通過(guò)度量可以發(fā)現(xiàn)：這些圓周角都等于圓心角/ AOB的一半. 證明：如下圖所示，在以點(diǎn) A, B為端點(diǎn)的優(yōu)弧上任取一點(diǎn) C,連接AC, OC, BC,延 長(zhǎng) CO 交AB于點(diǎn) M. OB=OC, .../ 1 = Z2,又＜ OA=OC,，/4=/5. 又?? / 3+

5、/6=/1+/2+/4+/5, .?/ 3+/6=2(/1 + /5),即/AOB=2/ACB. / ACB= 1 / AOB= 1 X80 =40。 2 2 結(jié)論：這樣的圓周角有許多個(gè)，只要在ACB上任取一點(diǎn)且與點(diǎn) A, B分別相連即可得到, 這些角都相等，且等于/ AOB的一半. 設(shè)計(jì)意圖：這里把直觀操作與邏輯推理有機(jī)結(jié)合，使將要進(jìn)行的推理論證成為學(xué)生觀 察、實(shí)驗(yàn)、探究得出結(jié)論的自然延續(xù). 議一議 在下圖中，改變/ AOB的度數(shù)，你得到的結(jié)論還成立嗎？怎樣證明你的猜想？ 師生活動(dòng)：教師出示問(wèn)題，學(xué)生小組討論，教師引導(dǎo)學(xué)生得出結(jié)果. 答：改變/ AOB的度數(shù)

6、，上面的結(jié)論仍然成立.證明過(guò)程如下： 已知：如圖，/ C是AB所對(duì)的圓周角，/ AOB是AB所對(duì)的圓心角. 求證：/ C=1 / AOB. 2 分析：根據(jù)圓周角和圓心的位置關(guān)系，分三種情況討論： (1)圓心O在/C的一條邊上，如下圖(1); (2)圓心O在/C的內(nèi)部，如下圖(2); (3)圓心O在/C的外部，如下圖(3). ■ 2 t 在三種位置關(guān)系中，我們選擇（1）給出證明，其他情況可以轉(zhuǎn)化為（1）的情況進(jìn)行證 明. 證明：（1）圓心O在/C的一條邊上，如圖（1）. ?. /AOB 是△ AOC 的外角，AOB=/A+/C. / OA=OC,，/A=/C. ，/AO

7、B=2/C,即 / C=1/AOB. 2 情況（2）和情況（3）可以轉(zhuǎn)化為情況（1）來(lái)證明. 圓周角定理 圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧上的圓心角度數(shù)的一半. 設(shè)計(jì)意圖：向?qū)W生滲透解決問(wèn)題的策略以及轉(zhuǎn)化、分類(lèi)、歸納等數(shù)學(xué)思想方法. 想一想 在本節(jié)課開(kāi)始提出的射門(mén)游戲中，當(dāng)球員在 B, D, E處射門(mén)時(shí)，所形成的三 個(gè)張角/ ABC, / ADC, / AEC的大小有什么關(guān)系？你能用圓周角定理證明你的結(jié)論嗎？ 師生活動(dòng)：教師出示問(wèn)題，學(xué)生獨(dú)立完成. 答：/ ABC=/ADC = /AEC;能，因?yàn)? ABC, / ADC 和/ AEC 都是同?。ˋC）所對(duì) 的圓周角，根據(jù)圓周角

8、定理，它們都等于 AC所對(duì)圓心角度數(shù)的一半，所以這幾個(gè)圓周角相 等. 結(jié)論：推論 同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等. 設(shè)計(jì)意圖：利用圓周角定理解決本節(jié)課開(kāi)始提出的問(wèn)題并得出圓周角定理的推論，提 高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力及歸納總結(jié)能力. （三）典例精析 例 如圖，在。。中，Z ACB=Z BDC=60° , AC=2s/3cm. （1）求/ BAC的度數(shù)；（2）求。O的周長(zhǎng). 師生活動(dòng)：教師出示例題，學(xué)生思考、討論，師生共同完成解題過(guò)程. 解：（1） BC = BC, BAC = /BDC=60°. （2） / BAC=ZACB=60° , .

9、. / ABC=60° . ABC是等邊三角形. 連接OC, OA,作OE^AC于點(diǎn)E. ?. OA=OC, OEXAC, CE=EA. 1 一. ? ? AE= — AC= ^3 cm. 2 ?. /AOC=2/ABC=120° , OEXAC, / AOE=60° , / OAE=30° . 八 1八 .?.OE=-OA. 2 在RtAAOE中，由勾股定理，得 OA2 -OE2 =AE2 ,即 3OA2 =3 . 4 OA=2 cm .，OO 的周長(zhǎng)為 4兀 cm. 設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生加深對(duì)本節(jié)課所學(xué)知識(shí)的理解，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)

10、用意識(shí). （四）課堂練習(xí) ,ZC=60 2.如圖，點(diǎn)A, B, C在OO上，點(diǎn)D在AC上，且ODLAC.已知/ A=36 則/BOD的度數(shù)為（ ）. A. 132° B. 144° C. 156° D. 168° 師生活動(dòng)：教師先找?guī)酌麑W(xué)生代表回答，然后講解出現(xiàn)的問(wèn)題. 參考答案 1. C. 2. C. 設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)本環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生鞏固所學(xué)知識(shí). (五)拓展例題 例 如圖，△ ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在。。上，并且點(diǎn)C是優(yōu)弧AmB上一點(diǎn)(點(diǎn)C不與A, (1)當(dāng)行35°時(shí)，求3的度數(shù)； (2)猜想“與

11、3之間的關(guān)系，并給予證明. 師生活動(dòng)：教師出示例題，分析、引導(dǎo)，學(xué)生完成解題過(guò)程. 解：(1)如圖，連接 OB,貝U OA=OB.OBA= Z OAB=35° . / AOB=180° - / OAB- / OBA=110° . 3=ZC=- ZAOB=55°. (2) a與3之間的關(guān)系是廿戶90°. 證法一：如圖，連接 OB,則OA=OB . OBA=/ OAB= a. AOB=180°-2a. 1 1 爐/C=_ / AOB=_ （180 -2 c）=90 - a. 2 2 ???沫 3=90

12、6; . 證法二：如圖，連接 OB,則OA=OB. AOB=2 / C=2 3. 過(guò)點(diǎn)O作ODLAB于點(diǎn)D, 則OD平分/ AOB. ,_ 1 , _ AOD= — / AOB= 3. 2 在 RtAAOD 中，?. / OAD+Z AOD=90° , ???沫 3=90° . 設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力. （六）拓展練習(xí) 如圖，A, B, C三點(diǎn)都在。。上，點(diǎn)D是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)， 若/AOC=140°,則/ CBD 的度數(shù)是. 師生活動(dòng)：教師先找?guī)酌麑W(xué)生代表回答，然后講解出現(xiàn)的問(wèn)題. 參考答案 70&

13、#176;. 設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固所學(xué)知識(shí). （七）課堂小結(jié) 1 .圓周角的定義是什么？ 答：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角. 2 .圓周角定理的內(nèi)容是什么？ 答：圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧上的圓心角度數(shù)的一半. 3 .圓周角定理的推論的內(nèi)容是什么？ 答：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等. 師生活動(dòng)：教師出示問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容. 設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)總結(jié)使學(xué)生梳理本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，掌握本節(jié)課的核心內(nèi)容. (A)布置作業(yè) 1.如圖, OA, OB, OC 都是。O 的半徑，/ AOB=2/BOC, / ACB 與/ BAC 的大小 有什么關(guān)系？

14、為什么? 文檔大全 2.如圖，A, B, C, D是。。上的四點(diǎn)，且/ C=100°,求/BOD和/A的度數(shù). 參考答案 1. /ACB=2/BAC. 2. / BOD=160°, / A=80°. 四、課堂檢測(cè)設(shè)計(jì) 1 .下列說(shuō)法正確的是( ). A.頂點(diǎn)在圓上的角是圓周角 B.兩邊都和圓相交的角是圓周角 C.圓心角是圓周角的 2倍 D.圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧上的圓心角度數(shù)的一半 2 .如圖，已知CD是。O的直徑，過(guò)點(diǎn)D的弦DE平行于半徑 OA.若/ D=50°,則/ C= ( ).

15、A. 50° B. 40° C. 30° D. 3 .如圖，以原點(diǎn)O為圓心的圓交x軸于A, B兩點(diǎn)，交 一象限內(nèi)。。上的一點(diǎn).若/ DAB=20° ,則/ OCD= 4 .如圖，正方形ABCD內(nèi)接于。O,P是劣弧AD上任『盧 5 .如圖，AB是。。的直徑，弦 CD與AB相交十點(diǎn) 巳 ZCEB的度數(shù). 金 25 y軸的正半軸于點(diǎn) C, D為第 :,貝U / ABP+ / DCP = /ACD=60 °, /ADC=50 °.求 參考答案 1 . D. 2, D . 3. 65°. 4. 45°. 5.解：連接 BD, .「/AOB 是平角，ADB=90°. ?. /ADC=50°, . EDB=90° - 50 =40° . 又?. / ABD=Z ACD=60° , ??.Z CEB= / ABD + / EDB =60° +40° =100° .