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8＋6分項練10 直線與圓
1．(2018襄陽調(diào)研)已知點P(1,2)和圓C：x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，過點P作圓C的切線有兩條，則k的取值范圍是( )
A．R B.
C. D.
答案 C
解析 圓C：2＋2＝1－k2，
因為過P 有兩條切線，
所以P在圓外，從而
解得－
1，則圓上一點P到直線l：x－2y－5＝0的距離的最小值是－1.
10．(2018湖南師大附中月考)與圓x2＋(y－2)2＝2相切，且在兩坐標軸上截距相等的直線共有________條．
答案 3
解析 直線過原點時，設方程為y＝kx，利用點到直線的距離等于半徑可求得k＝1，即直線方程為y＝x；直線不過原點時，設其方程為＋＝1(a≠0)，同理可求得a＝4，直線方程為x＋y＝4，所以符合題意的直線共3條．
11．設直線l1：(a＋1)x＋3y＋2－a＝0，直線l2：2x＋(a＋2)y＋1＝0.若l1⊥l2，則實數(shù)a的值為________，若l1∥l2，則實數(shù)a的值為________．
答案?。。?
解析 若l1⊥l2，則2(a＋1)＋3＝0，
整理可得5a＋8＝0，
求解關于實數(shù)a的方程可得a＝－.
若l1∥l2，則＝≠，
據(jù)此可得a＝－4.
12．(2018贛州適應性考試)以拋物線y2＝8x的焦點為圓心且與直線kx－y＋2＝0相切的圓中，最大面積的圓的方程為________________．
答案 (x－2)2＋y2＝8
解析 由題意可知，圓的圓心為F(2,0)，
直線是過定點M(0,2)的動直線，
當滿足直線和FM垂直時，其圓心到直線的距離最大，即圓的半徑最大，
此時滿足圓的面積最大，
且半徑為r＝＝2，
所以面積最大的圓的方程是(x－2)2＋y2＝8.
13．在平面直角坐標系xOy中，圓M：x2＋y2－6x－4y＋8＝0與x軸的兩個交點分別為A，B，其中A在B的右側(cè)，以AB為直徑的圓記為圓N，過點A作直線l與圓M，圓N分別交于C，D兩點．若D為線段AC的中點，則直線l的方程為________．
答案 x＋2y－4＝0
解析 由題意得圓M的方程為(x－3)2＋(y－2)2＝5，
令y＝0，得x＝2或x＝4，所以A(4,0)，B(2,0)．
則圓N的方程為(x－3)2＋y2＝1，
由題意得直線l的斜率存在，所以設直線l：y＝k(x－4)．
聯(lián)立直線l的方程和圓M的方程消去y，
得(1＋k2)x2－(8k2＋4k＋6)x＋16k2＋16k＋8＝0，
所以4＋xC＝，①
聯(lián)立
得(1＋k2)x2－(8k2＋6)x＋16k2＋8＝0，
所以4＋xD＝，②
依題意得xC＋4＝2xD，③
解①②③得k＝－.
所以直線l的方程為x＋2y－4＝0.
14．已知圓C1：(x－2cos θ)2＋(y－2sin θ)2＝1與圓C2：x2＋y2＝1，下列說法中：
①對于任意的θ，圓C1與圓C2始終外切；
②對于任意的θ，圓C1與圓C2始終有四條公切線；
③當θ＝時，圓C1被直線l：x－y－1＝0截得的弦長為；
④若點P，Q分別為圓C1與圓C2上的動點，則|PQ|的最大值為4.
正確命題的序號為________．
答案?、佗邰?
解析 對于①，我們知道兩個圓外切等價于兩個圓的圓心距剛好等于兩個圓的半徑之和，
由題意，得圓C1的半徑為1，圓心坐標為(2cos θ，2sin θ)，圓C2的半徑為1，圓心坐標為(0,0)，
所以兩個圓的圓心距為
＝＝2.
又因為兩圓的半徑之和為1＋1＝2，
所以對于任意θ，圓C1和圓C2始終外切，所以①正確；
對于②，由①得，兩圓外切，所以兩圓只有三條公切線，所以②錯誤；
對于③，此時圓C1的方程為：(x－)2＋(y－1)2＝1，
故圓C1的圓心坐標為(，1)，
所以圓心到直線l的距離為＝.
又因為圓C1的半徑為1，
所以其所截的弦長為2＝，所以③正確；
對于④，由①得，兩圓外切，所以兩圓上的點的最大距離就是兩圓的直徑之和，
因為C1的直徑為2，C2的直徑也為2，
故|PQ|的最大值為2＋2＝4.所以④正確．
故正確命題的序號為①③④.
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