2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第二講 講明不等式的基本方法 一 比較法學(xué)案 新人教A版選修4-5.docx
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一比較法學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解比較法證明不等式的理論依據(jù).2.掌握利用比較法證明不等式的一般步驟.3.體會(huì)比較法所體現(xiàn)的轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法知識(shí)點(diǎn)一作差比較法思考比差法的理論依據(jù)是什么?答案abab0;abab0;abab0.梳理作差比較法(1)作差比較法的理論依據(jù):ab0ab;ab0ab;ab0ab.(2)作差比較法解題的一般步驟:作差;變形整理;判定符號(hào);得出結(jié)論其中變形整理是解題的關(guān)鍵,變形整理的目的是為了能夠直接判定與0的大小關(guān)系,常用的方法:因式分解,配方,通分,分子或分母有理化等知識(shí)點(diǎn)二作商比較法思考1對(duì)于兩個(gè)正數(shù)a,b,若1,能夠判斷a,b的大小嗎?答案能,根據(jù)不等式的性質(zhì)知,對(duì)于正數(shù)a,b,1ab.思考2類(lèi)比作差比較法,請(qǐng)談?wù)勛魃瘫容^法答案對(duì)于正數(shù)a,b,1ab;1ab;1ab.梳理(1)作商比較法:若a0,b0,要證明ab,只要證明1;要證明ba,只要證明1.這種證明不等式的方法,叫做作商比較法(2)作商比較法的理論依據(jù)是不等式的基本性質(zhì):b0,若1,則ab;若1,則ab;b0,若1,則ab;若1,則ab.(3)作商比較法解題的一般步驟:判定a,b符號(hào);作商;變形整理;判定與1的大小關(guān)系;得出結(jié)論.類(lèi)型一作差比較法證明不等式例1已知正數(shù)a,b,c成等比數(shù)列,求證:a2b2c2(abc)2.證明因?yàn)檎龜?shù)a,b,c成等比數(shù)列,所以b2ac,b,又(a2b2c2)(abc)2a2b2c2a2b2c22ab2ac2bc2ab4b22bc2b(a2bc)2b()20,所以a2b2c2(abc)2.反思與感悟作差比較法的關(guān)鍵是作差后的變形,一般通過(guò)分解因式或?qū)⒉钍睫D(zhuǎn)化為積商式,以便與0比較大小跟蹤訓(xùn)練1已知a1,求證:.證明()()0,.類(lèi)型二作商比較法證明不等式例2已知a0,b0,求證:aabb.證明因?yàn)閍abb0,0,所以.當(dāng)ab時(shí),顯然有1;當(dāng)ab0時(shí),1,0,所以由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知,1;當(dāng)ba0時(shí),01,0,所以由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知,1.綜上可知,對(duì)任意實(shí)數(shù)a,b,都有aabb.引申探究1若a0,b0,求證:abba.證明因?yàn)閍bba0,0,所以所以當(dāng)ab時(shí),顯然有當(dāng)ab0時(shí),1,0,由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,可得01;當(dāng)ba0時(shí),01,0,由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,可得01,綜上可知,對(duì)任意a0,b0,都有abba.2當(dāng)a0,b0時(shí),比較aabb與abba的大小解由例2和探究1知,aabbabba.反思與感悟作商比較法證明不等式的一般步驟(1)作商:將不等式左右兩邊的式子進(jìn)行作商(2)變形:化簡(jiǎn)商式到最簡(jiǎn)形式(3)判斷:判斷商與1的大小關(guān)系,也就是判斷商大于1或小于1或等于1.(4)得出結(jié)論跟蹤訓(xùn)練2已知a0,b0,求證:.證明.又a2b22ab,1,當(dāng)且僅當(dāng)ab0時(shí)取等號(hào),.類(lèi)型三比較法的應(yīng)用例3證明:若a,b,m都是正數(shù),并且ab,則(糖水不等式)證明.a,b,m都是正數(shù),且ab,ba0,b(bm)0,0,即0,.反思與感悟比較法理論上便于理解,實(shí)用時(shí)便于操作,故應(yīng)用比較廣泛跟蹤訓(xùn)練3甲、乙二人同時(shí)同地沿同一路線走到同一地點(diǎn),甲有一半時(shí)間以速度m行走,另一半以速度n行走;乙有一半路程以速度m行走,另一半路程以速度n行走如果mn,問(wèn)甲、乙二人誰(shuí)先到達(dá)指定地點(diǎn)?解設(shè)從出發(fā)地點(diǎn)至指定地點(diǎn)的路程為s,甲、乙二人走完這段路程所用的時(shí)間分別為t1,t2,依題意有mns,t2.t1,t2,t1t2.其中s,m,n都是正數(shù),且mn,t1t20,即t1t2.從而知甲比乙先到達(dá)指定地點(diǎn)1已知不等式:x232x(xR);a5b5a3b2a2b3(a,bR);a2b22(ab1)其中正確的個(gè)數(shù)為()A0B1C2D3答案C解析x232x(x1)220,故正確;取ab1,則a5b52,a3b2a2b32,故不正確;a2b22(ab1)(a1)2(b1)20,故正確2.1成立的充要條件是()Aa1Ba0Ca0Da1或a0答案D解析1100a0或a1.3若x,yR,記wx23xy,u4xyy2,則()AwuBwuCwuD無(wú)法確定答案C解析wux2xyy220,wu.4a,b都是正數(shù),P,Q,則P,Q的大小關(guān)系是()APQBPQCPQDPQ答案D解析a,b都是正數(shù),P0,Q0,P2Q22()20.(當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào))P2Q20,PQ.5設(shè)ab0,求證:.證明方法一0(ab0),原不等式成立方法二ab0,a2b20.左邊0,右邊0.11.原不等式成立1作差比較法證明不等式的技巧(1)作差比較法中,變形具有承上啟下的作用,變形的目的在于判斷差的符號(hào),而不用考慮差能否化簡(jiǎn)或值是多少(2)變形所用的方法要具體情況具體分析,可以配方,可以因式分解,可以運(yùn)用一切有效的恒等變形的方法(3)因式分解是常用的變形手段,為了便于判斷差式的符號(hào),常將差式變形為一個(gè)常數(shù),或幾個(gè)因式積的形式,當(dāng)所得的差式是某字母的二次三項(xiàng)式時(shí),常用判別式法判斷符號(hào)2適用作商比較法證明的不等式的特點(diǎn)適合欲證的不等式兩端是乘積形式、冪指數(shù)的不等式或某些不同底數(shù)對(duì)數(shù)值的大小比較一、選擇題1設(shè)a,bR,且ab,若P,Qab,則()APQBPQCPQDPQ答案B解析PQab.因?yàn)閍,bR,且ab,所以PQ0.2已知ab1,則與的大小關(guān)系為()A.B.C.D.答案B解析0,.3已知ab0,cd0,m,n,則m與n的大小關(guān)系是()AmnBmnCmnDmn答案C解析m2n2(ac2bd)(acbdadbc)ad2bc()20,m2n2.又m0,n0,mn.4當(dāng)ab0時(shí),下列關(guān)系式中成立的是()A.Blgb2lga2C.1D.答案B解析方法一取特殊值a4,b1,則選項(xiàng)A,C,D不正確,選項(xiàng)B正確,故選B.方法二ab0,a2b2.而函數(shù)ylgx(x0)為增函數(shù),lgb2lga2,B項(xiàng)正確5已知a0,且a1,Ploga(a31),Qloga(a21),則P,Q的大小關(guān)系是()APQBPQCPQD大小不確定答案A解析PQloga(a31)loga(a21)loga.當(dāng)0a1時(shí),0a31a21,則01,loga0,即PQ0.PQ.當(dāng)a1時(shí),a31a210,1,loga0,即PQ0.PQ.綜上可知,PQ.6已知ab0且ab1,設(shè)c,Plogca,Nlogcb,Mlogc(ab),則()APMNBMPNCNPMDPNM答案A解析令a2,b,則c,則Mlogc(ab)0,Plog20,Nlog0,PMN.二、填空題7設(shè)abc0,x,y,z,則x,y,z的大小關(guān)系為_(kāi)答案xyz解析abc0,x0,y0,z0.而x2y2a2b22bcc2(b2c22aca2)2bc2ac2c(ba)0,x2y2,即xy;又y2z2b2(ca)2c2(ab)22ac2ab2a(cb)0,yz.xyz.8已知a0,0b1,abab,則與的大小關(guān)系是_答案解析a0,0b1,abab,(1a)(1b)1abab1.從而1,.9某家電廠家為了打開(kāi)市場(chǎng),促進(jìn)銷(xiāo)售,準(zhǔn)備對(duì)其生產(chǎn)的某種型號(hào)的彩電進(jìn)行降價(jià)銷(xiāo)售,現(xiàn)有四種降價(jià)方案:(1)先降價(jià)a%,再降價(jià)b%;(2)先降價(jià)b%,再降價(jià)a%;(3)先降價(jià)%,再降價(jià)%;(4)一次性降價(jià)(ab)%.其中a0,b0,且ab,則上述四種方案中,降價(jià)幅度最小的是_答案方案(3)解析設(shè)降價(jià)前彩電的價(jià)格為1,按四種方案降價(jià)后彩電的價(jià)格依次為x1,x2,x3,x4,則x1(1a%)(1b%)1(ab)%a%b%;x2(1b%)(1a%)x1;x31(ab)%2;x41(ab)%1(ab)%a%b%x1x2.又x3x12a%b%0,x3x1x2x4.故降價(jià)幅度最小的是方案(3)三、解答題10設(shè)a,b為非負(fù)實(shí)數(shù),求證:a3b3(a2b2)證明由a,b是非負(fù)實(shí)數(shù),作差得a3b3(a2b2)a2()b2()()()5()5當(dāng)ab時(shí),從而()5()5,則()()5()50;當(dāng)ab時(shí),從而()5()5,則()()5()50,所以a3b3(a2b2)11已知b,m1,m2都是正數(shù),ab,m1m2,求證:.證明.因?yàn)閎0,m10,m20,所以(bm1)(bm2)0.又ab,m1m2,所以ab0,m2m10,從而(ab)(m2m1)0.于是0,所以.12已知函數(shù)f(x)|x1|x1|,P為不等式f(x)4的解集(1)求P;(2)證明:當(dāng)m,nP時(shí),|mn4|2|mn|.(1)解f(x)|x1|x1|由f(x)4,得x2或x2.所以不等式f(x)4的解集Px|x2或x2(2)證明由(1)可知|m|2,|n|2,所以m24,n24,(mn4)24(mn)2(m24)(n24)0,所以(mn4)24(mn)2,所以|mn4|2|mn|.13若實(shí)數(shù)x,y,m滿(mǎn)足|xm|ym|,則稱(chēng)x比y接近m.對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)a,b,證明:a2bab2比a3b3接近2ab.證明因?yàn)閍0,b0,且ab,所以a2bab22ab,a3b32ab.所以a2bab22ab0,a3b32ab0.所以|a2bab22ab|a3b32ab|a2bab22aba3b32aba2bab2a3b3a2(ba)b2(ab)(ab)(b2a2)(ab)2(ab)0,所以|a2bab22ab|a3b32ab|,所以a2bab2比a3b3接近2ab.四、探究與拓展14已知a2,求證:loga(a1)log(a1)a.證明a2,a11,loga(a1)0,log(a1)a0.由于loga(a1)loga(a1)22.a2,0loga(a21)logaa22.221.即1.log(a1)a0,loga(a1)log(a1)a.- 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