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1 變化的快慢與變化率
學習目標 1.了解函數(shù)的平均變化率和瞬時變化率的概念.2.會求物體運動的平均速度并估計瞬時速度．
知識點一 函數(shù)的平均變化率
1．定義：對一般的函數(shù)y＝f(x)來說，當自變量x從x1變?yōu)閤2時，函數(shù)值從f(x1)變?yōu)閒(x2)，它的平均變化率為.
其中自變量的變化x2－x1稱作自變量的改變量，記作Δx，函數(shù)值的變化f(x2)－f(x1)稱作函數(shù)值的改變量，記作Δy.這樣，函數(shù)的平均變化率就可以表示為函數(shù)值的改變量與自變量的改變量之比，即＝.
2．作用：刻畫函數(shù)值在區(qū)間[x1，x2]上變化的快慢．
知識點二 瞬時變化率
1．定義：對于一般的函數(shù)y＝f(x)，在自變量x從x0變到x1的過程中，若設Δx＝x1－x0，Δy＝f(x1)－f(x0)，則函數(shù)的平均變化率是＝＝.而當Δx趨于0時，平均變化率就趨于函數(shù)在x0點的瞬時變化率．
2．作用：刻畫函數(shù)在一點處變化的快慢．
對于函數(shù)y＝f(x)，當x從x1變?yōu)閤2時，函數(shù)值從f(x1)變?yōu)閒(x2)，若記Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，則
1．Δx可正，可負，可為零．( )
2．函數(shù)y＝f(x)的平均變化率為＝＝.( √ )
3．函數(shù)y＝f(x)的平均變化率為＝＝.( √ )
4．當Δx趨于0時，就趨于函數(shù)在x1處的瞬時變化率．( √ )
題型一 函數(shù)的平均變化率
例1 求函數(shù)y＝f(x)＝x2在x分別從1到1＋Δx,2到2＋Δx,3到3＋Δx的平均變化率，當Δx都為時，哪一點附近的平均變化率最大？
考點 平均變化率的概念
題點 求平均變化率
解 在x＝1附近的平均變化率為
k1＝＝
＝2＋Δx；
在x＝2附近的平均變化率為
k2＝＝
＝4＋Δx；
在x＝3附近的平均變化率為
k3＝＝
＝6＋Δx.
當Δx＝時，k1＝2＋＝，
k2＝4＋＝，k3＝6＋＝.
由于k1
0)豎直上拋的物體，t秒時的高度s與t的函數(shù)關系為s＝v0t－gt2，求物體在t0時刻處的瞬時速度．
考點 瞬時變化率的概念
題點 瞬時速度
解 因為Δs＝v0(t0＋Δt)－g(t0＋Δt)2－
＝(v0－gt0)Δt－g(Δt)2，
所以＝v0－gt0－gΔt.
當Δt趨于0時，趨于v0－gt0，
故物體在t0時刻處的瞬時速度為v0－gt0.
反思感悟 1.求瞬時速度的步驟
(1)求位移改變量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)．
(2)求平均速度v＝.
(3)當Δt趨于0時，平均速度趨于瞬時速度．
2．求當Δx無限趨近于0時，的值
(1)在表達式中，可把Δx作為一個數(shù)來參加運算．
(2)求出的表達式后，Δx無限趨近于0，就是令Δx＝0，求出結果即可．
跟蹤訓練2 一質點M按運動方程s(t)＝at2＋1做直線運動(位移單位：m，時間單位：s)，若質點M在t＝2s時的瞬時速度為8m/s，求常數(shù)a的值．
考點 瞬時變化率的概念
題點 瞬時速度
解 質點M在t＝2時的瞬時速度即為函數(shù)s(t)在t＝2處的瞬時變化率．
∵質點M在t＝2附近的平均變化率
＝＝＝4a＋aΔt，
當Δt趨于0時，趨于4a，
∴4a＝8，得a＝2.
1．已知函數(shù)f(x)，當自變量由x0變化到x1時，函數(shù)值的增量與相應的自變量的增量之比是函數(shù)( )
A．在x0處的變化率
B．在區(qū)間[x0，x1]上的平均變化率
C．在x1處的變化率
D．以上結論都不對
考點 平均變化率的概念
題點 平均變化率概念的理解
答案 B
解析 ＝，由平均變化率的定義可知，故選B.
2．一物體的運動方程是s(t)＝3＋2t，則在[2,2.1]這段時間內的平均速度是( )
A．0.4 B．2
C．0.3 D．0.2
考點 平均變化率的概念
題點 求平均速度
答案 B
解析?。剑?.
3．物體運動時位移s與時間t的函數(shù)關系是s(t)＝－4t2＋16t，此物體在某一時刻的瞬時速度為零，則相應的時刻為( )
A．t＝1 B．t＝2
C．t＝3 D．t＝4
考點 瞬時變化率的概念
題點 瞬時速度
答案 B
解析 設此物體在t0時刻的瞬時速度為0，
＝＝－8t0＋16－4Δt，
當Δt趨于0時，趨于－8t0＋16，
令－8t0＋16＝0，解得t0＝2.
4．球的半徑從1增加到2時，球的體積平均膨脹率為________．
考點 平均變化率的概念
題點 平均變化率的應用
答案
解析 ∵Δy＝π23－π13＝，
∴球的體積平均膨脹率為＝.
5．設函數(shù)f(x)＝3x2＋2在x0＝1,2,3附近Δx取時的平均變化率分別為k1，k2，k3，比較k1，k2，k3的大小．
考點 平均變化率的概念
題點 求平均變化率
解 函數(shù)在[x0，x0＋Δx]上的平均變化率為6x0＋3Δx.
當x0＝1，Δx＝時，函數(shù)在[1,1.5]上的平均變化率為
k1＝61＋30.5＝7.5；
當x0＝2，Δx＝時，函數(shù)在[2,2.5]上的平均變化率為
k2＝62＋30.5＝13.5；
當x0＝3，Δx＝時，函數(shù)在[3,3.5]上的平均變化率為
k3＝63＋30.5＝19.5，所以k1k2
C．k1＝k2 D．無法確定
考點 平均變化率的概念
題點 平均變化率概念的理解
答案 D
解析 k1＝＝2x0＋Δx，k2＝＝2x0－Δx，而Δx可正可負，故k1，k2大小關系不確定．
7．如果函數(shù)y＝f(x)＝ax＋b在區(qū)間[1,2]上的平均變化率為3，則( )
A．a＝－3 B．a＝3
C．a＝2 D．a的值不能確定
考點 平均變化率的概念
題點 平均變化率的應用
答案 B
解析 ＝＝a＝3.
8．一個物體的運動方程是s＝2t2＋at＋1，該物體在t＝1時的瞬時速度為3，則a等于( )
A．－1 B．0
C．1 D．7
考點 瞬時變化率的概念
題點 瞬時速度
答案 A
解析?。?
＝
＝a＋4＋2Δt，
當Δt趨于0時，a＋4＋2Δt趨于a＋4，
由題意知a＋4＝3，得a＝－1.
二、填空題
9．汽車行駛的路程s和時間t之間的函數(shù)圖像如圖所示，在時間段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分別為1，2，3，則三者的大小關系為________________．
考點 平均變化率的概念
題點 平均變化率的應用
答案 1<2<3
解析 1＝kOA，2＝kAB，3＝kBC，
由圖像知，kOA0)上的平均變化率不大于－1，求Δx的取值范圍．
考點 平均變化率的概念
題點 平均變化率的應用
解 ∵函數(shù)f(x)在[2,2＋Δx]上的平均變化率為
＝
＝
＝－3－Δx，
∴由－3－Δx≤－1，得Δx≥－2.
又∵Δx>0，∴Δx的取值范圍是(0，＋∞)．
15．物體的運動方程是s＝(位移單位：m，時間單位：s)，求物體在t＝1s時的瞬時速度．
解 ∵Δs＝－＝－，
＝＝
＝，
當Δt趨于0時，趨于.
∴物體在t＝1s時的瞬時速度為m/s.
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