高考數(shù)學 一輪復習學案訓練課件北師大版理科： 第5章 數(shù)列 第4節(jié) 數(shù)列求和學案 理 北師大版

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1、 第四節(jié)　數(shù)列求和 [考綱傳真]　(教師用書獨具)1.掌握等差、等比數(shù)列的前n項和公式.2.掌握特殊的非等差、等比數(shù)列的幾種常見的求和方法． (對應學生用書第87頁) [基礎知識填充] 1．公式法 (1)等差數(shù)列的前n項和公式： Sn＝＝na1＋d； (2)等比數(shù)列的前n項和公式： Sn＝ 2．幾種數(shù)列求和的常用方法 (1)分組求和法：一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差或等比或可求和的數(shù)列組成的，則求和時可用分組求和法，分別求和而后相加減． (2)裂項相消法：把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得前n項和．裂項時常用的三種變形：

2、①＝－； ②＝； ③＝－. (3)錯位相減法：如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應項之積構成的，那么求這個數(shù)列的前n項和即可用錯位相減法求解． (4)倒序相加法：如果一個數(shù)列{an}與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前n項和即可用倒序相加法求解． (5)并項求和法：一個數(shù)列的前n項和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項求和．形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項合并求解． 例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12 ＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. [基本能力自測] 1．(

3、思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“”) (1)如果數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且公比不等于1，則其前n項和Sn＝.(　　) (2)當n≥2時，＝.(　　) (3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan之和時只要把上式等號兩邊同時乘以a即可根據(jù)錯位相減法求得．(　　) (4)如果數(shù)列{an}是周期為k(k為大于1的正整數(shù))的周期數(shù)列，那么Skm＝mSk.(　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)　(4)√ 2．(教材改編)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若an＝，則S5等于(　　) A．1　　　　　 B. C. D． B　[∵an＝＝－， ∴S5＝a1＋

4、a2＋…＋a5＝1－＋－＋…－＝.] 3．數(shù)列{an}的通項公式是an＝，前n項和為9，則n等于(　　) A．9 B．99 C．10 D．100 B　[∵an＝＝－，∴Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(－)＋(－)＋…＋(－)＋(－)＝－1，令－1＝9，得n＝99，故選B.] 4．數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1n，則S17＝________. 9　[S17＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋15－16＋17＝1＋(－2＋3)＋(－4＋5)＋(－6＋7)＋…＋(－14＋15)＋(－16＋17)＝1＋1＋1＋…＋1＝9.] 5．若數(shù)列{an}的通項公

5、式為an＝2n＋2n－1，則數(shù)列{an}的前n項和Sn＝__________. 2n＋1－2＋n2　[Sn＝＋＝2n＋1－2＋n2.] (對應學生用書第87頁) 分組轉(zhuǎn)化求和 　(20xx北京高考)已知{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4. (1)求{an}的通項公式； (2)設cn＝an＋bn，求數(shù)列{cn}的前n項和． [解]　(1)設等比數(shù)列{bn}的公比為q， 則q＝＝＝3， 所以b1＝＝1，b4＝b3q＝27，所以bn＝3n－1(n＝1,2,3，…)． 設等差數(shù)列{an}的公差為d. 因為a1＝b

6、1＝1，a14＝b4＝27， 所以1＋13d＝27，即d＝2. 所以an＝2n－1(n＝1,2,3，…)． (2)由(1)知an＝2n－1，bn＝3n－1. 因此cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1. 從而數(shù)列{cn}的前n項和 Sn＝1＋3＋…＋(2n－1)＋1＋3＋…＋3n－1 ＝＋＝n2＋. [規(guī)律方法]　分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型 (1)若an ＝bncn，且{bn}，{cn}為等差或等比數(shù)列，則可采用分組求和法求{an}的前n項和． (2)通項公式為an＝的數(shù)列，其中數(shù)列{bn}，{cn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組求和法求和． 易錯警示：注意在含有字母的數(shù)列

7、中對字母的分類討論． [跟蹤訓練]　(20xx南昌一模)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1＝1，S3＋S4＝S5. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)令bn＝(－1)n－1an，求數(shù)列{bn}的前2n項和T2n. [解]　(1)設等差數(shù)列{an}的公差為d， 由S3＋S4＝S5可得a1＋a2＋a3＝a5，即3a2＝a5， ∴3(1＋d)＝1＋4d，解得d＝2. ∴an＝1＋(n－1)2＝2n－1. (2)由(1)可得bn＝(－1)n－1(2n－1)． ∴T2n＝1－3＋5－7＋…＋(2n－3)－(2n－1) ＝(－2)n＝－2n. 裂項相消法求和

8、 　(20xx全國卷Ⅲ)設數(shù)列{an}滿足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n. (1)求{an}的通項公式； (2)求數(shù)列的前n項和． [解]　(1)因為a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，故當n≥2時， a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)， 兩式相減得(2n－1)an＝2， 所以an＝(n≥2)． 又由題設可得a1＝2，滿足上式， 所以{an}的通項公式為an＝. (2)記的前n項和為Sn. 由(1)知＝＝－， 則Sn＝－＋－＋…＋－＝. [規(guī)律方法]　利用裂項相消法求和的注意事項,(1)抵消后并不一定只剩下第一項和最后一項，也

9、有可能前面剩兩項，后面也剩兩項.,(2)消項規(guī)律：消項后前邊剩幾項，后邊就剩幾項，前邊剩第幾項，后邊就剩倒數(shù)第幾項.,(3)將通項裂項后，有時需要調(diào)整前面的系數(shù)，使裂開的兩項之差和系數(shù)之積與原通項相等.如：若{an}是等差數(shù)列，則＝，＝. [跟蹤訓練]　(20xx石家莊一模)已知等差數(shù)列{an}中，2a2＋a3＋a5＝20，且前10項和S10＝100. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)若bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項和. 【導學號：79140181】 [解]　(1)由已知得 解得 所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝1＋2(n－1)＝2n－1. (2)bn＝＝， 所以

10、Tn＝ ＝＝. 錯位相減法求和 　(20xx山東高考)已知{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且a1＋a2＝6，a1a2＝a3. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2){bn}為各項非零的等差數(shù)列，其前n項和為Sn.已知S2n＋1＝bnbn＋1，求數(shù)列的前n項和Tn. [解]　(1)設{an}的公比為q， 由題意知a1(1＋q)＝6，aq＝a1q2， 又an>0，由以上兩式聯(lián)立方程組解得a1＝2，q＝2， 所以an＝2n. (2)由題意知S2n＋1＝＝(2n＋1)bn＋1， 又S2n＋1＝bnbn＋1，bn＋1≠0， 所以bn＝2n＋1. 令cn＝，則cn

11、＝. 因此Tn＝c1＋c2＋…＋cn ＝＋＋＋…＋＋， 又Tn＝＋＋＋…＋＋， 兩式相減得 Tn＝＋－， 所以Tn＝5－. [規(guī)律方法]　(1)錯位相減法求和的適用范圍 如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{anbn}的前n項和時，可采用錯位相減法求和. (2)錯位相減法求和的注意事項 ①在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準確寫出“Sn－qSn”的表達式. ②在應用錯位相減法求和時，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應分公比等于1和不等于1兩種情況求解. [跟蹤訓練]　(20xx石家莊質(zhì)檢(二))已知等差數(shù)列{an}的前

12、n項和為Sn，若Sm－1＝－4，Sm＝0，Sm＋2＝14(m≥2，且m∈N＋). 【導學號：79140182】 (1)求m的值； (2)若數(shù)列{bn}滿足＝log2bn(n∈N＋)，求數(shù)列{(an＋6)bn}的前n項和． [解]　(1)由已知得am＝Sm－Sm－1＝4， 且am＋1＋am＋2＝Sm＋2－Sm＝14， 設數(shù)列{an}的公差為d，則2am＋3d＝14， ∴d＝2. 由Sm＝0，得ma1＋2＝0，即a1＝1－m， ∴am＝a1＋(m－1)2＝m－1＝4， ∴m＝5. (2)由(1)知a1＝－4，d＝2，∴an＝2n－6， ∴n－3＝log2bn，得bn＝2n－3. ∴(an＋6)bn＝2n2n－3＝n2n－2. 設數(shù)列{(an＋6)bn}的前n項和為Tn， ∴Tn＝12－1＋220＋…＋(n－1)2n－3＋n2n－2，?、? 2Tn＝120＋221＋…＋(n－1)2n－2＋n2n－1，?、? ①－②，得－Tn＝2－1＋20＋…＋2n－2－n2n－1 ＝－n2n－1 ＝2n－1－－n2n－1， ∴Tn＝(n－1)2n－1＋(n∈N＋)．