高考數(shù)學(xué)浙江理科一輪【第九章】解析幾何 第九章 9.1

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1、 精品資料 §9.1　導(dǎo)數(shù)的概念及運算 1． 函數(shù)y＝f(x)從x1到x2的平均變化率 函數(shù)y＝f(x)從x1到x2的平均變化率為，若Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，則平均變化率可表示為. 2． 函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù) (1)定義 稱函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時變化率 ＝ 為函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝ . (2)幾何意義 函數(shù)f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義是在曲線y＝f(x)上點(x0，f(

2、x0))處的切線的斜率．相應(yīng)地，切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 3． 函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù) 稱函數(shù)f′(x)＝ 為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)有時也記作y′. 4． 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 原函數(shù) 導(dǎo)函數(shù) f(x)＝c (c為常數(shù)) f′(x)＝__0__ f(x)＝xα (α∈Q*) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x f(x)＝ax (a>0) f′(x)＝axln_a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(a>0，且a≠1)

3、 f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝　　 5． 導(dǎo)數(shù)的運算法則 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)′＝ (g(x)≠0)． 6． 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為y′x＝y(tǒng)′u·u′x，即y對x的導(dǎo)數(shù)等于y對u的導(dǎo)數(shù)與u對x的導(dǎo)數(shù)的乘積． 1． 判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”) (1)f′(x0)與(f(x0))′表示的意

4、義相同． (　×　) (2)求f′(x0)時，可先求f(x0)再求f′(x0)． (　×　) (3)曲線的切線不一定與曲線只有一個公共點． (　√　) (4)與曲線只有一個公共點的直線一定是曲線的切線． (　×　) (5)若f(x)＝a3＋2ax－x2，則f′(x)＝3a2＋2x. (　×　) (6)函數(shù)y＝的導(dǎo)數(shù)是y′＝. (　×　) 2． (2013·江西)設(shè)函數(shù)f(x)在(0，＋∞)內(nèi)可導(dǎo)，且f(ex)＝x＋ex，則f′(1)＝___

5、_____. 答案　2 解析　設(shè)ex＝t，則x＝ln t(t>0)， ∴f(t)＝ln t＋t ∴f′(t)＝＋1， ∴f′(1)＝2. 3． 已知曲線y＝x3在點(a，b)處的切線與直線x＋3y＋1＝0垂直，則a的值是 (　　) A．－1 B．±1 C．1 D．±3 答案　B 解析　由y＝x3知y′＝3x2，∴切線斜率k＝y(tǒng)′|x＝a＝3a2. 又切線與直線x＋3y＋1＝0垂直，∴3a2·(－)＝－1， ∴即a2＝1，a＝±1，故選B. 4． 如圖所示為函數(shù)y＝f(x)，y＝g(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，那么y

6、＝f(x)，y＝g(x)的圖象可能是(　　) 答案　D 解析　由y＝f′(x)的圖象知y＝f′(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減， 說明函數(shù)y＝f(x)的切線的斜率在(0，＋∞)上也單調(diào)遞減，故可排除A，C. 又由圖象知y＝f′(x)與y＝g′(x)的圖象在x＝x0處相交， 說明y＝f(x)與y＝g(x)的圖象在x＝x0處的切線的斜率相同，故可排除B.故選D. 5． 曲線y＝e－2x＋1在點(0,2)處的切線與直線y＝0和y＝x圍成的三角形的面積為________． 答案　 解析　y′＝－2e－2x，曲線在點(0,2)處的切線斜率k＝－2， ∴切線方程為y＝－2x＋2

7、，該直線與直線y＝0和y＝x圍成的 三角形如圖所示， 其中直線y＝－2x＋2與y＝x的交點為A(，)， 所以三角形的面積S＝×1×＝. 題型一　利用定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 例1　利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)f(x)＝x3在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)，并求曲線f(x)＝x3在x＝x0處的切線與曲線f(x)＝x3的交點． 思維啟迪　掌握導(dǎo)數(shù)的定義，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義是解決本題的關(guān)鍵． 解　f′(x0)＝ ＝ ＝ (x2＋xx0＋x)＝3x. 曲線f(x)＝x3在x＝x0處的切線方程為 y－x＝3x·(x－x0)， 即y＝3xx－2x，由 得(x－x0)2(x＋2

8、x0)＝0，解得x＝x0，x＝－2x0. 若x0≠0，則交點坐標為(x0，x)，(－2x0，－8x)；若x0＝0，則交點坐標為(0,0)． 思維升華　求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)步驟： (1)求函數(shù)值的增量Δy＝f(x2)－f(x1)； (2)計算平均變化率＝； (3)計算導(dǎo)數(shù)f′(x)＝ . 　(1)函數(shù)y＝x＋在[x，x＋Δx]上的平均變化率＝________；該函數(shù)在x＝1 處的導(dǎo)數(shù)是________． (2)若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且x0∈(a，b)，則 的值為(　　) A．f′(x0) B．2f′(x0) C．－2f′(x0) D．

9、0 答案　(1)1－　0　(2)B 解析　(1)∵Δy＝(x＋Δx)＋－x－ ＝Δx＋－＝Δx＋. ∴＝1－. y′|x＝1＝ ＝0. (2) ＝2× ＝2f′(x0)． 題型二　導(dǎo)數(shù)的運算 例2　求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (1)y＝ex·ln x； (2)y＝x； (3)y＝sin2. 思維啟迪　求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，首先要搞清函數(shù)的結(jié)構(gòu)；若式子能化簡，可先化簡再求導(dǎo)． 解　(1)y′＝(ex·ln x)′＝exln x＋ex· ＝ex(ln x＋)． (2)∵y＝x3＋1＋， ∴y′＝3x2－. (3)y＝sin2(2x＋

10、) ＝－cos(4x＋π) 故設(shè)y＝－cos u u＝4x＋π， 則yx′＝y(tǒng)u′·ux′＝sin u·4 ＝2sin u＝2sin(4x＋π)． 思維升華　(1)求導(dǎo)之前，應(yīng)利用代數(shù)、三角恒等式等變形對函數(shù)進行化簡，然后求導(dǎo)，這樣可以減少運算量，提高運算速度，減少差錯； (2)有的函數(shù)雖然表面形式為函數(shù)的商的形式，但在求導(dǎo)前利用代數(shù)或三角恒等變形將函數(shù)先化簡，然后進行求導(dǎo)，有時可以避免使用商的求導(dǎo)法則，減少運算量； (3)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，要正確分析函數(shù)的復(fù)合層次，通過設(shè)中間變量，確定復(fù)合過程，然后求導(dǎo)． 　求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)． (1)y＝(x＋1)(x＋

11、2)(x＋3)； (2)y＝sin (1－2cos2)； (3)y＝ln(x2＋1)． 解　(1)方法一　∵y＝(x2＋3x＋2)(x＋3) ＝x3＋6x2＋11x＋6， ∴y′＝3x2＋12x＋11. 方法二　y′＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(x＋3)′ ＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)(x＋2) ＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2) ＝(2x＋3)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2) ＝3x2＋12x＋11. (2)∵y＝sin (－cos )＝－sin x， ∴y′＝(－sin

12、x)′＝－(sin x)′＝－cos x. (3)y′＝ln(x2＋1)′＝·(x2＋1)′＝. 題型三　導(dǎo)數(shù)的幾何意義 例3　已知函數(shù)f(x)＝x3－4x2＋5x－4. (1)求曲線f(x)在點(2，f(2))處的切線方程； (2)求經(jīng)過點A(2，－2)的曲線f(x)的切線方程． 思維啟迪　由導(dǎo)數(shù)的幾何意義先求斜率，再求方程，注意點是否在曲線上，是否為切點． 解　(1)∵f′(x)＝3x2－8x＋5，∴f′(2)＝1， 又f(2)＝－2， ∴曲線f(x)在點(2，f(2))處的切線方程為y－(－2)＝x－2， 即x－y－4＝0. (2)設(shè)切點坐標為(x0，x－

13、4x＋5x0－4)， ∵f′(x0)＝3x－8x0＋5， ∴切線方程為y－(－2)＝(3x－8x0＋5)(x－2)， 又切線過點(x0，x－4x＋5x0－4)， ∴x－4x＋5x0－2＝(3x－8x0＋5)(x0－2)， 整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或x0＝1， ∴經(jīng)過A(2，－2)的曲線f(x)的切線方程為x－y－4＝0，或y＋2＝0. 思維升華　導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用，需注意以下兩點： (1)當(dāng)曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線垂直于x軸時，函數(shù)在該點處的導(dǎo)數(shù)不存在，切線方程是x＝x0； (2)注意區(qū)分曲線在某點處的切線和曲線過某點的切線．

14、曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；求過某點的切線方程，需先設(shè)出切點坐標，再依據(jù)已知點在切線上求解． 　已知拋物線y＝ax2＋bx＋c通過點P(1,1)，且在點Q(2，－1)處與直線y＝x－3相切，求實數(shù)a、b、c的值． 解　∵y′＝2ax＋b， ∴拋物線在點Q(2，－1)處的切線斜率為 k＝y(tǒng)′|x＝2＝4a＋b. ∴4a＋b＝1. ① 又∵點P(1,1)、Q(2，－1)在拋物線上， ∴a＋b＋c＝1， ② 4a＋2b＋c＝－1.

15、 ③ 聯(lián)立①②③解方程組，得 ∴實數(shù)a、b、c的值分別為3、－11、9. 一審條件挖隱含 典例：(14分)設(shè)函數(shù)y＝x2－2x＋2的圖象為C1，函數(shù)y＝－x2＋ax＋b的圖象為C2，已知過C1與C2的一個交點的兩切線互相垂直． (1)求a，b之間的關(guān)系； (2)求ab的最大值．  C1與C2有交點 ↓(可設(shè)C1與C2的交點為(x0，y0)) 過交點的兩切線互相垂直 ↓(切線垂直隱含著斜率間的關(guān)系) 兩切線的斜率互為負倒數(shù) ↓(導(dǎo)數(shù)的幾何意義) 利用導(dǎo)數(shù)求兩切線的斜率： k1＝2x0－2，k2＝－2x0＋a ↓(等價轉(zhuǎn)換) (2x0－2)(－2

16、x0＋a)＝－1 ① ↓(交點(x0，y0)適合解析式) ，即2x－(a＋2)x0＋2－b＝0　 ② ↓(注意隱含條件方程①②同解) a＋b＝ ↓(消元) ab＝a＝－2＋ ↓當(dāng)a＝時，ab最大且最大值為. 規(guī)范解答 解　(1)對于C1：y＝x2－2x＋2，有y′＝2x－2， [1分] 對于C2：y＝－x2＋ax＋b，有y′＝－2x＋a， [2分] 設(shè)C1與C2的一個交點為(x0，y0)， 由題意知過交點(x0，y0)的兩切線互相垂直． ∴(2x0－2)(－2x0＋a)＝－1， 即4x－2(a＋2)x

17、0＋2a－1＝0 ① 又點(x0，y0)在C1與C2上， 故有 ?2x－(a＋2)x0＋2－b＝0 ② 由①②消去x0，可得a＋b＝. [8分] (2)由(1)知：b＝－a， ∴ab＝a＝－2＋. [11分] ∴當(dāng)a＝時，(ab)最大值＝. [14分] 溫馨提醒　審題包括兩方面內(nèi)容：題目信息的挖掘、整合以及解題方法的選擇；本題切入點是兩條曲線有交點P(x0，y0)，交點處的切線互相垂直，通過審題路線可以清晰看到審題的思維過程. 方法與技巧 1． f′(x0)代表函

18、數(shù)f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)值；(f(x0))′是函數(shù)值f(x0)的導(dǎo)數(shù)，而函數(shù)值f(x0)是一個常量，其導(dǎo)數(shù)一定為0，即(f(x0))′＝0. 2． 對于函數(shù)求導(dǎo)，一般要遵循先化簡再求導(dǎo)的基本原則．求導(dǎo)時，不但要重視求導(dǎo)法則的應(yīng)用，而且要特別注意求導(dǎo)法則對求導(dǎo)的制約作用，在實施化簡時，首先必須注意變換的等價性，避免不必要的運算失誤． 失誤與防范 1． 利用公式求導(dǎo)時要特別注意除法公式中分子的符號，防止與乘法公式混淆．復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要正確分解函數(shù)的結(jié)構(gòu)，由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)． 2． 求曲線切線時，要分清在點P處的切線與過P點的切線的區(qū)別，前者只有一條，而后者包括了前者． 3． 曲線的切線

19、與曲線的交點個數(shù)不一定只有一個，這和研究直線與二次曲線相切時有差別. A組　專項基礎(chǔ)訓(xùn)練 一、選擇題 1． 設(shè)f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，則x0的值為 (　　) A．e2 B．e C. D．ln 2 答案　B 解析　由f(x)＝xln x得f′(x)＝ln x＋1. 根據(jù)題意知ln x0＋1＝2，所以ln x0＝1，因此x0＝e. 2． 若函數(shù)f(x)＝ax4＋bx2＋c滿足f′(1)＝2，則f′(－1)等于 (　　) A．－1 B．－2 C．2 D．0 答案　B 解析　f′(x)＝4ax3＋2b

20、x， ∵f′(x)為奇函數(shù)且f′(1)＝2，∴f′(－1)＝－2. 3． 若曲線y＝x4的一條切線l與直線x＋4y－8＝0垂直，則l的方程為 (　　) A．4x－y－3＝0 B．x＋4y－5＝0 C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y＋3＝0 答案　A 解析　切線l的斜率k＝4，設(shè)y＝x4的切點的坐標為(x0，y0)，則k＝4x＝4，∴x0＝1，∴切點為(1,1)， 即y－1＝4(x－1)，整理得l的方程為4x－y－3＝0. 4． 曲線y＝x3在點(1,1)處的切線與x軸及直線x＝1所圍成的三角形的面積為 (　　) A. B. C. D.

21、 答案　B 解析　求導(dǎo)得y′＝3x2，所以y′＝3x2|x＝1＝3， 所以曲線y＝x3在點(1,1)處的切線方程為y－1＝3(x－1)， 結(jié)合圖象易知所圍成的三角形是直角三角形， 三個交點的坐標分別是(，0)，(1,0)，(1,1)， 于是三角形的面積為×(1－)×1＝，故選B. 5． 已知f1(x)＝sin x＋cos x，fn＋1(x)是fn(x)的導(dǎo)函數(shù)，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…， fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，則f2 015(x)等于 (　　) A．－sin x－cos x B．sin

22、 x－cos x C．－sin x＋cos x D．sin x＋cos x 答案　A 解析　∵f1(x)＝sin x＋cos x， ∴f2(x)＝f1′(x)＝cos x－sin x， ∴f3(x)＝f2′(x)＝－sin x－cos x， ∴f4(x)＝f3′(x)＝－cos x＋sin x， ∴f5(x)＝f4′(x)＝sin x＋cos x， ∴fn(x)是以4為周期的函數(shù)， ∴f2 015(x)＝f3(x)＝－sin x－cos x，故選A. 二、填空題 6． 已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且滿足f(x)＝3x2＋2x·f′(2)，則f′

23、(5)＝________. 答案　6 解析　對f(x)＝3x2＋2xf′(2)求導(dǎo)， 得f′(x)＝6x＋2f′(2)． 令x＝2，得f′(2)＝－12. 再令x＝5，得f′(5)＝6×5＋2f′(2)＝6. 7． 已知函數(shù)y＝f(x)及其導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象如圖所示，則曲線y＝ f(x)在點P處的切線方程是__________． 答案　x－y－2＝0 解析　根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及圖象可知，曲線y＝f(x)在點P處的切 線的斜率k＝f′(2)＝1，又過點P(2,0)， 所以切線方程為x－y－2＝0. 8． 若函數(shù)f(x)＝x2－ax＋ln x存在垂直于y軸

24、的切線，則實數(shù)a的取值范圍是________． 答案　[2，＋∞) 解析　∵f(x)＝x2－ax＋ln x，∴f′(x)＝x－a＋. ∵f(x)存在垂直于y軸的切線，∴f′(x)存在零點， x＋－a＝0，∴a＝x＋≥2. 三、解答題 9． 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)． (1)y＝xnlg x； (2)y＝＋＋； (3)y＝. 解　(1)y′＝nxn－1lg x＋xn· ＝xn－1(nlg x＋)． (2)y′＝()′＋()′＋()′ ＝(x－1)′＋(2x－2)′＋(x－3)′ ＝－x－2－4x－3－3x－4 ＝－－－. (3)y′＝()′＝ ＝ ＝. 1

25、0．已知曲線y＝x3＋. (1)求曲線在點P(2,4)處的切線方程； (2)求曲線過點P(2,4)的切線方程． 解　(1)∵P(2,4)在曲線y＝x3＋上，且y′＝x2， ∴在點P(2,4)處的切線的斜率為y′|x＝2＝4. ∴曲線在點P(2,4)處的切線方程為y－4＝4(x－2)， 即4x－y－4＝0. (2)設(shè)曲線y＝x3＋與過點P(2,4)的切線相切于點A，則切線的斜率為y′|x＝x0＝x. ∴切線方程為y－＝x(x－x0)， 即y＝x·x－x＋. ∵點P(2,4)在切線上，∴4＝2x－x＋， 即x－3x＋4＝0，∴x＋x－4x＋4＝0， ∴x(x0＋1

26、)－4(x0＋1)(x0－1)＝0， ∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2， 故所求的切線方程為x－y＋2＝0或4x－y－4＝0. B組　專項能力提升 1． 在函數(shù)y＝x3－9x的圖象上，滿足在該點處的切線的傾斜角小于，且橫、縱坐標都為整數(shù)的點的個數(shù)是 (　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　A 解析　依題意得，y′＝3x2－9，令0≤y′<1得3≤x2<， 顯然滿足該不等式的整數(shù)x不存在，因此在函數(shù)y＝x3－9x的圖象上，滿足在該點處的切線的傾斜角小于，且橫、縱坐標都為整數(shù)的點的個數(shù)是0，選

27、A. 2． 若函數(shù)f(x)＝x2＋bx＋c的圖象的頂點在第四象限，則函數(shù)f′(x)的大致圖象是 (　　) 答案　A 解析　∵f(x)＝x2＋bx＋c＝2－＋c， 由f(x)的圖象的頂點在第四象限得－>0，∴b<0. 又f′(x)＝2x＋b，斜率為正，縱截距為負，故選A. 3． 已知曲線C：f(x)＝x3－ax＋a，若過曲線C外一點A(1,0)引曲線C的兩條切線，它們的傾斜角互補，則a的值為________． 答案　 解析　設(shè)切點坐標為(t，t3－at＋a)． 由題意知，f′(x)＝3x2－a， 切線的斜率為k＝y(tǒng)′|x＝t＝3t2－a，

28、① 所以切線方程為y－(t3－at＋a)＝(3t2－a)(x－t)． ② 將點(1,0)代入②式得，－(t3－at＋a)＝(3t2－a)(1－t)， 解之得，t＝0或t＝. 分別將t＝0和t＝代入①式，得k＝－a和k＝－a， 由題意得它們互為相反數(shù)得a＝. 4． 設(shè)函數(shù)f(x)＝ax－，曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處的切線方程為7x－4y－12＝0. (1)求f(x)的解析式； (2)曲線f(x)上任一點處的切線與直線x＝0和直線y＝x所圍成的三角形面積為定值，并求此定值． 解　(1)方程7x－4y－12＝0可化為y＝x－3. 當(dāng)x＝2時，y＝.又f′

29、(x)＝a＋， 于是　解得故f(x)＝x－. (2)設(shè)P(x0，y0)為曲線上任一點，由y′＝1＋知曲線在點P(x0，y0)處的切線方程為y－y0＝(x－x0)， 即y－＝(x－x0)． 令x＝0，得y＝－， 從而得切線與直線x＝0的交點坐標為. 令y＝x，得y＝x＝2x0， 從而得切線與直線y＝x的交點坐標為(2x0,2x0)． 所以點P(x0，y0)處的切線與直線x＝0，y＝x所圍成的三角形的面積為S＝|2x0|＝6. 故曲線y＝f(x)上任一點處的切線與直線x＝0，y＝x所圍成的三角形面積為定值，且此定值為6. 5． 設(shè)有拋物線C：y＝－x2＋x－4，過原點O作C的切

30、線y＝kx，使切點P在第一象限． (1)求k的值； (2)過點P作切線的垂線，求它與拋物線的另一個交點Q的坐標． 解　(1)設(shè)點P的坐標為(x1，y1)，則y1＝kx1， ① y1＝－x＋x1－4， ② ①代入②得x＋(k－)x1＋4＝0. ∵P為切點，∴Δ＝(k－)2－16＝0得k＝或k＝. 當(dāng)k＝時，x1＝－2，y1＝－17. 當(dāng)k＝時，x1＝2，y1＝1. ∵P在第一象限，∴所求的斜率k＝. (2)過P點作切線的垂線，其方程為y＝－2x＋5. ③ 將③代入拋物線方程得x2－x＋9＝0. 設(shè)Q點的坐標為(x2，y2)，即2x2＝9， ∴x2＝，y2＝－4. ∴Q點的坐標為(，－4)．