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1、【高考A計劃】2014高考數(shù)學第一輪復習 第83課時 導數(shù)的應用學
案新人教A版
課題：導數(shù)的應用
導數(shù)的應用
一.復習目標：
1. 了解可導函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的關系；
2. 了解可導函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件(導數(shù)在極值點兩側(cè)異號) ，會求一
些實際問題的最大值和最小值.
二.知識要點：
1 .函數(shù)的單調(diào)性：
設函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)可導，則 f (x) .0= f(x)在該區(qū)間上單調(diào)遞增；
f (x):二0= f (x)在該區(qū)間上單調(diào)遞減.
反之，若f(x)在某區(qū)間上單調(diào)遞增，則在該區(qū)間上有 「(x)之0恒成立(但不恒等于 0);
若f(x)在某區(qū)間上單調(diào)遞
2、減，則在該區(qū)間上有 「(x) M0恒成立(但不恒等于 0).
2 .函數(shù)的極值：
(1)概念：函數(shù)f(x)在點x0附近有定義，且若對 飛附近的所有點都有 f(x)
3、f(b)比較，其中最
大的一個就是最大值，最小的一個就是最小值.
三.課前預習：
1.在下列結(jié)論中，正確的結(jié)論有 ( A )
①單調(diào)增函數(shù)的導函數(shù)也是單調(diào)增函數(shù)； ②單調(diào)減函數(shù)的導函數(shù)也是單調(diào)減函數(shù)；
③單調(diào)函數(shù)的導函數(shù)也是單調(diào)函數(shù)； ④導函數(shù)是單調(diào)，則原函數(shù)也是單調(diào)的.
(A)0 個
(B)2 個
(C)3 個
(D)4 個
2.如果函數(shù)y二x
4 -8x2 +c在［-1,3］上的最小值是 -14,那么c =
(B )
(A)1
(B)2
(C) -1
(D) -2
4 一， 4
2.右函數(shù)y =
3
3
x +bx后二個單調(diào)區(qū)間，則
b的取值
4、范圍是
(A )
(A) b 0
(B)b ： 0
(C)b<0
(D) b-0
4
3 .函數(shù)f(x)=x -px—qx的圖象與x軸切于點(1,0),則f (x)的極大值為―,極小值為0.
4 .函數(shù) f (x) = x3 + ax2 +bx -1,當 x =1 時，有極值 1,則函數(shù) g (x) = x3 + ax2 + bx 的單
5
調(diào)減區(qū)間為(1,5).
3 1 2
5 .函數(shù)f(x)=x --x —2x+5,若對于任意xw[_1,2],都有f(x)
5、(x —1)(x —a)有絕對值相等，符號相反的極大值和極小值，試確定 常數(shù)a的值.
3 2
斛：f (x) =x(x—1)(x—a) =x —(a+1)x +ax , _ . 2
??? f (x) =3x —2(a+1)x+a ,
令 f (x) =0 ,得 3x2 -2( a +1)x + a = 0 ,
由題意，該方程必定有不相等兩實根，可分別設為 m,n,
… 2 a
則 m+n=-(a+1), mn=一,
3 3
一 、 3 3, /、，2 2、 / 、
■- f (m n) = m n -(a 1)(m n ) a(m n)
, 、3 2
=(m n) —
6、3mn(m n) —(a 1)[(m n) —2mn] a(m n)
27(a 1)(a-2)(2a-1) = 0
2 , … …一 ，、一
… … 1
? . a = -1 或 a = 2 或 a =—
2
已知在速度為每小時 10公里時
96元，問此輪船以何種速度航
例2. 一艘輪船在航行中的燃料費和它的速度的立方成正比，
的燃料費是每小時 6元，而其他與速度無關的費用是每小時
行時，能使行駛每公里的費用總和最??？
工 3- 3
由6 =卜父10可得k = ——
- Q _ax3
)??Q - x ,
解：設船速度為x(x>0)時，燃料費用為 Q元，則Q =
7、kx3,
500 500
3 3 1 3 2 96
. ?心費用 y —( x 96) 1 — x , 500 x 500 x
6 96 人. 『
y =——,令 y =0得 x =20, 500 x
當x w (0,20)時，y <0 ,此時函數(shù)單調(diào)遞減，
當xW(20,收)時，y>0,此時函數(shù)單調(diào)遞增，
，當x =20時，y取得最小值，
.??此輪船以20公里/小時的速度使行駛每公里的費用總和最小.
3 . 3
例3.如圖，已知曲線 G： y =x (x之0)與曲線C2 ： y = -2x +3x (x之0)交于點O, A ,
直線x=t (0
8、C1、C2交于點B,D,
(1)寫出四邊形 ABOD的面積S與t的函數(shù)關系S = f(t);
(2)討論f(t)的單調(diào)性，并求f(t)的最大值.
二y 二 x3
解：(1)由/
y = -2x2
得交點O, A坐標分別是(0,0), (1,1),
‘ 3x
1 1 1 3
- 3 3
f(t) =--(t3 -t) (0 0 ,此時函數(shù)在
3
(0,
—
9、函數(shù)在 3
(0,
2
亞
3 ,3,
3
)單調(diào)遞增;
)單調(diào)遞減.
=-，|BD|.|1—1|+2 |BD| dt-0|=-(-3t3+3t),
3
所以，當t
、.3」 『 ,、3
—時，f⑴的取大值為—
3 3
五.課后作業(yè)： 班級 學號 姓名
1 .設函數(shù)f(x) =3x4-4x3則下列結(jié)論中，正確的是 ( )
(A) f (x)有一個極大值點和一個極小值點 (B) f (x)只有一個極大值點
(C) f (x)只有一個極小值點 (D) f(x)有二個極小值點
2 .若函數(shù)f (x) =ax3+bx2+cx+d(a >0)在R上無極值，則必有
10、( )
(A) b2 -3ac 0 (B) a2 -3bc 0 (C)b2 -3ac ：： 0 (D) a2 -3bc ：：： 0
一一 一… 1 3 8.
3 .已知曲線y=—x3上一點P(2,-),則點P處的切線方程是 ；過點P的切線 3 3
方程是.
答：點P處的切線方程是y=4x—16,過點P的切線方程是丫=4*-16或丫 = *十2.
3 3 3
4 .拋物線y =x2 +4x上一點P處的切線的傾斜角為 45,,切線與x, y軸的交點分別是 A, B , 則MOB的面積為.
5 .已知xWR,奇函數(shù)f (x) = x3 - ax2 - bx+c在［1,+=)上單調(diào)，則
11、字母 a,b,c應滿足的
條件是.
6 .已知函數(shù)f (x) = x3—3ax2+2bx在點x=1處有極小值一1,試確定a,b的值，并求出f (x) 的單調(diào)區(qū)間.
7 .已知函數(shù) f(x)=kx3 -3(k 1)x2 -k2 1(k 0).
(1)若f (x)的單調(diào)減區(qū)間為(0,4),求k的值；
(2)當 x〉k 時，求證：2Jx>3—1.
x
5
8 .已知 a 為實數(shù),f(x) =(x2 —4)(x —a), (1)求 f (x);
⑵若f (_1) =0 ,求f(x)在［-2,2］上的最大值和最小值;
(3)若f(x)在(_8，—2］和［2, +望)上都是遞增的，求 a的取值范圍.
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