新版高中數學北師大版選修44同步配套教學案：第一章 章末復習課

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1、新版數學北師大版精品資料章末復習課對應學生用書P18對應學生用書P19在平面直角坐標系內求曲線(軌跡)方程由于在平面直角坐標系求曲線(軌跡)方程是解析幾何非常重要的一類問題，在高考中常以解答題中關鍵的一問的形式出現(xiàn)，一般與平面解析幾何、向量、函數等知識交匯命題常用的方法有：(1)直接法：如果題目中的條件有明顯的等量關系或者可以推出某個等量關系，即可用求曲線方程的五個步驟直接求解(2)定義法：如果動點的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可依定義寫出軌跡方程(3)代入法：如果動點P(x，y)依賴于另一動點Q(x1，y1)，而Q(x1，y1)又在某已知曲線上，則可先列出關于x，y，y1，x1的方程組，利

2、用x，y表示x1，y1，把x1，y1代入已知曲線方程即為所求(4)參數法：動點P(x，y)的橫縱坐標用一個或幾個參數來表示，消去參數即得其軌跡方程例1如圖，圓O1和圓O2的半徑都是1，|O1O2|4，過動點P分別作圓O1和圓O2的切線PM，PN(M，N分別為切點)使得|PM|PN|，試建立適當的坐標系，并求動點P的軌跡方程解如圖，以直線O1O2為x軸，線段O1O2的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系，則兩圓心的坐標分別為O1(2,0)，O2(2,0)設P(x，y)，則|PM|2|PO1|2|MO1|2(x2)2y21.同理，|PN|2(x2)2y21.|PM|PN|，即|PM|22|PN|2

3、.即(x2)2y212(x2)2y21即x212xy230.即動點P的軌跡方程為(x6)2y233.求曲線的極坐標方程在極坐標系中求曲線的極坐標方程是高考考查極坐標系的一個重要考向，重點考查軌跡極坐標方程的探求及直線和圓的極坐標方程的確定與應用問題求曲線的極坐標的方法和步驟，和求直角坐標方程類似，就是把曲線看作適合某種條件的點的集合或軌跡，將已知條件用曲線上的極坐標，的關系式f(，)表示出來，就得到曲線的極坐標方程例2已知RtABO的直角頂點A在直線cos 9上移動(O為原點)，又AOB30，求頂點B的軌跡的極坐標方程解如圖，設B(，)，A(1，1)則cos 301，即1.又1cos 19，而

4、130，cos 30cos9，即cos6.若點B的位置如圖所示，同理得點B的軌跡方程為cos6.綜上所述，點B的軌跡方程為cos6.例3已知定點A(a,0)，動點P對極點O和點A的張角OPA.在OP的延長線上取點Q，使|PQ|PA|.當P在極軸上方運動時，求點Q的軌跡的極坐標方程解設Q，P的坐標分別是(，)，(1，1)，則1.在POA中，1sin，|PA|，又|OQ|OP|PA|，2acos.極坐標與直角坐標的互化極坐標與直角坐標的互化主要考查點的極坐標與直角坐標的互化以及曲線的極坐標方程與直角坐標方程的互化，將不熟悉的極坐標(方程)問題轉化為熟知的問題求解解決此類問題，要熟知：互化的前提依舊

5、是把直角坐標系的原點作為極點，x軸的正半軸作為極軸并在兩種坐標系下取相同的單位長度互化公式為直角坐標方程化極坐標方程可直接將xcos ，ysin 代入即可，而極坐標方程化為直角坐標方程通常將極坐標方程化為cos ，sin 的整體形式，然后用x，y代替較為方便，常常兩端同乘以即可達到目的，但要注意變形的等價性例4把下列極坐標方程化為直角坐標方程(1)2acos (a0)；(2)9(sin cos )；(3)4；(4)2cos 3sin 5.解(1)2acos ，兩邊同時乘以，得22acos ，即x2y22ax.整理得x2y22ax0，即(xa)2y2a2，是以(a,0)為圓心，以a為半徑的圓(2

6、)兩邊同時乘以得29(sin cos )，即x2y29x9y，又可化為22，是以為圓心，以為半徑的圓(3)將4兩邊平方得216，即x2y216，是以原點為圓心，以4為半徑的圓(4)2cos 3sin 5，即2x3y5，是一條直線例5將下列極坐標方程化為直角坐標方程(1)；(2)2；(3)2cos 7sin .解(1)tan ，tan.yx0.(2)2，0或1.x2y20或x2y21.(3)兩邊同乘以得：2cos 7sin .2x7y0.例6若兩圓的極坐標方程分別為2cos 和2sin ，求兩圓的公共弦長解法一：將兩圓方程化為直角坐標方程為：x2y22x0和x2y22y0.由得yx，即為公共弦所

7、在直線方程由得交點坐標為(0,0)，(1,1)弦長為.法二：設除極點外的公共點坐標為P(，cos )(0)則2cos 2sin ，tan 1.由于0，.2cos.公共弦長為.一、選擇題1在極坐標系中，已知兩點A，B，則A，B兩點間的距離是()A1B2C3 D4解析：選D設極點為O，AOB，A，O，B三點共線A，B兩點間的距離|AB|OA|OB|314.2在極坐標系中，與點關于極點對稱的點的一個坐標是()A. B.C. D.解析：選A點(，)關于極點對稱的點為(，)，故關于極點對稱的點的一個坐標為，即.3在極坐標系中，已知一個圓的方程為12sin，則過圓心與極軸垂直的直線的極坐標方程是()Asi

8、n 3 Bsin 3Ccos 3 Dcos 3解析：選C圓12sin()化為x2y26x6y0，其圓心為(3,3)，所求直線方程為x3化為極坐標方程：cos 3.4直線和直線sin()1的位置關系是()A垂直 B平行C相交但不垂直 D重合解析：選B直線化為直角坐標方程為yxtan，sin()1化為sin cos cos sin 1，即yxtan.所以兩直線平行二、填空題5已知一條直線的極坐標方程為sin，則極點到該直線的距離是_解析：sinsin cos cos sin sin cos ，sin cos 1，即xy1.則極點到該直線的距離d.答案：6(上海高考)在極坐標系中，曲線cos 1與c

9、os 1的公共點到極點的距離為_解析：聯(lián)立得(1)1，又0，故兩曲線的公共點到極點的距離為.答案：7極坐標方程52cos 22240表示的曲線焦點的極坐標為_解析：極坐標方程52cos 22240化為52(cos2sin2)2240，即3x22y212.得標準方程為1.所以a24，b26，c.所以兩焦點的極坐標為(，0)，(，)答案：(，0)，(，)8如圖，在極坐標系中，過點M(2,0)的直線l與極軸的夾角.若將l的極坐標方程寫成f()的形式，則f()_.解析：在直線l上任取點P(，)，在OPM中，由正弦定理得，即，化簡得，故f().答案：三、解答題9在極坐標系中P是曲線12sin 上的動點，

10、Q是曲線12cos上的動點，試求PQ的最大值解：以極點O為原點，極軸為x軸建立直角坐標系xOy，將方程12sin 化為直角坐標方程為x2y212y，它表示圓心為(0,6)，半徑為6的圓將12cos化為直角坐標方程為(x3)2(y3)236，它表示以(3，3)為圓心，6為半徑的圓由圓的位置關系可知，當P，Q所在直線為連心線所在直線時，PQ長度可取最大值，且最大值為6618.10已知A(1,0)，B(1,4)，在平面上動點P滿足4，點Q是點P關于直線l：y2(x4)的對稱點，求動點Q的軌跡方程解：法一：設P(x，y)，則(1x，y)，(1x,4y)，故由4(x1)(1x)(y)(4y)4，即x2(

11、y2)232.P的軌跡是以C(0,2)為圓心，以3為半徑的圓點Q是點P關于直線y2(x4)的對稱點，動點Q的軌跡是一個以C0(x0，y0)為圓心，半徑為3的圓，其中C0(x0，y0)是點C(0,2)關于直線y2(x4)的對稱點，即直線y2(x4)與CC0垂直，且過CC0的中點，于是有即故動點Q的軌跡方程為(x8)2(y2)29.法二：設P(x，y)，則(1x，y)，(1x,4y)，故由4(x1)(1x)(y)(4y)4，即x2(y2)232(*)設點Q的坐標為Q(u，v)，Q，P關于直線l：y2(x4)對稱，PQ與直線l垂直，于是有.PQ的中點在l上，有2(4).由可解得代入方程(*)得(3u

12、4v32)2(4u3v26)2(35)2，化簡得u2v216u4v590(u8)2(v2)29.故動點Q的軌跡方程為(x8)2(y2)29.對應學生用書P41(時間：90分鐘，滿分：120分)一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分在每小題給出的四個選項中只有一個是正確的)1在極坐標中有如下三個結論：點P在曲線C上，則點P的極坐標滿足曲線C的極坐標方程；tan 1與(0)表示同一條曲線；3與3表示同一條曲線在這三個結論中正確的是()ABC D解析：選D在直角坐標系內，曲線上每一點的坐標一定適合它的方程，但在極坐標系內，曲線上一點的所有坐標不一定適合方程，故是錯誤的；tan 1不僅表示

13、這條射線，還表示這條射線，故亦不對；3與3差別僅在于方向不同，但都表示一個半徑為3的圓，故正確2原點與極點重合，x軸正半軸與極軸重合，則點(5，5)的極坐標是()A. B.C. D.解析：選B設點(5，5)的極坐標為(，)，則tan ，x0，.48cos ，cos .0，.點P的球坐標為.7在極坐標系中，與圓4sin 相切的一條直線方程為()Asin 2 Bcos 2Ccos 4 Dcos 4解析：選B如圖，C的極坐標方程為4sin ，COOx，OA為直徑，|OA|4，sin 2表示直線y2，cos 4表示直線x4，cos 4表示直線x4，均不與圓相切，只有B符合8在極坐標系中，圓4cos 4

14、sin 的圓心坐標是()A. B.C. D.解析：選A將原方程化成直角坐標方程，得(x2)2(y2)28，圓心坐標為(2,2)，化成極坐標為.9在極坐標系中，設圓3上的點到直線(cos sin )2的距離為d，則d的最大值為()A5 B6C4 D3解析：選C極坐標方程3轉化成直角坐標方程為x2y29，所以圓心為(0,0)，半徑為3，(cos sin )2轉化成直角坐標方程為xy2.則圓心到直線xy2的距離d1.圓上的點到直線的最大距離為d3134.10在極坐標系中，過點A(6，)作圓4cos 的切線，則切線長為()A2 B6C2 D2解析：選C圓4cos 化為(x2)2y24，點(6，)化為(

15、6,0)，所以切線長2.二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分把答案填在題中橫線上)11已知曲線C1，C2的極坐標方程分別為cos 3，4cos ，則曲線C1與C2交點的極坐標為_解析：由得4cos23.2(1cos 2)3，cos 2.又020)的一個交點在極軸上，則a_.解析：曲線C1的直角坐標方程為xy1，曲線C2的直角坐標方程為x2y2a2，C1與x軸的交點坐標為，此點也在曲線C2上，代入解得a.答案：三、解答題(本大題共4小題，共50分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)15(本小題滿分12分)(廣東高考改編)在極坐標系中，曲線C1和C2的方程分別為sin2cos 和s

16、in 1.以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標系，求曲線C1和C2的交點的直角坐標解析：由sin2cos 2sin2cos y2x，又由sin 1y1，聯(lián)立故曲線C1和C2交點的直角坐標為(1,1)16(本小題滿分12分)極坐標方程cos 與cos1表示的兩個圖形的位置關系是什么？解：cos 可變?yōu)?cos ，化為普通方程為x2y22x，即(x1)2y21，它表示圓，圓心為(1,0)，半徑為1.將cos1化為普通方程為xy20.圓心(1,0)到直線的距離為1，直線與圓相離17(本小題滿分12分)在平面直角坐標系中，以原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，設橢圓

17、的長軸長為10，中心為(3,0)，一個焦點在直角坐標原點(1)求橢圓的直角坐標方程，并化為極坐標方程；(2)當橢圓過直角坐標原點的弦長為時，求弦所在直線的直角坐標方程解：(1)由已知，得a5，c3，故b4，所以橢圓的直角坐標方程為1.由于xcos ，ysin ，代入上式，得1，即252(163cos )2，即5163cos .所以橢圓的極坐標方程為.(2)設過直角坐標原點的弦的傾斜角為，弦的兩端點分別為P1(1，)，P2(2，)，則有1，2.由于12，所以，則cos2cos 或.所以所求直線的直角坐標方程為yx或yx.18.(本小題滿分14分)如圖所示，點P為直線xy1上的動點，O為原點，求正方形OPQR的頂點R，Q軌跡的極坐標方程，并化成直角坐標方程解：以Ox為極軸建立極坐標系，則直線xy1的極坐標方程為(cos sin )1.設點P(0，0)，Q(1，1)，R(2，2)，由題意由得0(cos 0sin 0)1，點Q的軌跡方程為11，化簡得1sin 11或1cos 11.化為直角坐標方程為y1或x1.由得代入0(cos 0sin 0)1得21，化簡得點R的軌跡方程為2(sin 2cos 2)1或2(cos 2sin 2)1.化為直角坐標方程為：xy10或xy10.