2020高中數(shù)學 1.3全稱量詞與存在量詞練習 北師大版選修21

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1、北師大版2019-2020學年數(shù)學精品資料 第一章　1.3全稱量詞與存在量詞 一、選擇題 1．下列命題中全稱命題的個數(shù)為(　　) ①平行四邊形的對角線互相平分；②梯形有兩邊平行；③存在一個菱形，它的四條邊不相等． A．0　 B．1 C．2 D．3 [答案]　C [解析]?、佗谑侨Q命題，③是特稱命題． 2．下列命題： (1)至少有一個x，使x2＋2x＋1＝0成立． (2)對任意的x，都有x2＋2x＋1＝0成立． (3)對任意的x，都有x2＋2x＋1＝0不成立． (4)存在x，使x2＋2x＋1＝0成立． 其中是全稱命題的有(　　) A．1個 B．2個 C．4個

2、 D．0個 [答案]　B [解析]　(1)中的量詞“至少有一個”和(4)中的量詞“存在”都不是全稱量詞，故這兩個命題不是全稱命題．(2)、(3)中的量詞“任意的”是全稱量詞，所以這兩個命題是全稱命題．故選B． 3．下列命題中的假命題是(　　) A．存在x∈R，lgx＝0 B．存在x∈R，tanx＝1 C．任意x∈R，x3＞0 D．任意x∈R,2x＞0 [答案]　C [解析]　本題主要考查全稱命題和特稱命題真假的判斷．對于選項C，當x<0時，x3<0，故C是假命題． 4．命題“存在實數(shù)x，使x>1”的否定是(　　) A．對任意實數(shù)x，都有x>1 B．不

3、存在實數(shù)x，使x≤1 C．對任意實數(shù)x，都有x≤1 D．存在實數(shù)x，使x≤1 [答案]　C [解析]　本題考查了全稱、存在命題及命題的否定． “存在實數(shù)x，使x>1”的否定是“對任意實數(shù)x，都有x≤1”． 這類題目應遵循“存在變任意(任意變存在)，再否定結論”的原則． 5．下列四個命題中，其中為真命題的是(　　) A．任意x∈R，x2＋3<0 B．任意x∈N，x2≥1 C．存在x∈Z，使x5<1 D．存在x∈Q，x2＝3 [答案]　C [解析]　由于任意x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋3≥3，所以命題“任意x∈R，x2＋3<0”為假命題； 由于

4、0∈N，當x＝0時，x2≥1不成立， 所以命題“任意x∈N，x2≥1”是假命題； 由于－1∈Z，當x＝－1時，x5<1， 所以命題“存在x∈Z，使x5<1”為真命題； 由于使x2＝3成立的數(shù)只有±，而它們都不是有理數(shù)，因此沒有任何一個有理數(shù)的平方能等于3，所以命題“存在x∈Q，x2＝3”是假命題．故選C． 6．命題“存在x0∈?RQ，x∈Q”的否定是(　　) A．存在x0??RQ，x∈Q B．存在x0∈?RQ，x?Q C．任意x??RQ，x3∈Q D．任意x∈?RQ，x3?Q [答案]　D [解析]　本題考查量詞命題的否定改寫． 任意x0∈?RQ，x?

5、Q，注意量詞一定要改寫． 二、填空題 7．給出下列命題： ①任意x∈R，是無理數(shù)； ②任意x、y∈R，若xy≠0，則x、y至少有一個不為0； ③存在實數(shù)既能被3整除又能被19整除； ④x>1是<1的充要條件． 其中真命題為________________． [答案]　②③ [解析]?、偈羌倜}，例如是有理數(shù)；②是真命題，若xy≠0，則x，y全都不為0；③是真命題；④x>1是<1的充分不必要條件． 8．填上適當?shù)牧吭~，使下列命題為真命題． (1)_________x∈R，使x2＋2x＋1≥0. (2)_________α，β∈R，使cos(α－β)

6、＝cosα－cosβ. (3)__________a，b∈R，使方程組有唯一解． (4)__________m∈R，___________n∈R，使mn＝n. [答案]　(1)任意　(2)存在　(3)存在　(4)任意，存在或填存在，任意或存在，存在均可． 三、解答題 9．寫出下列命題的否定并判斷真假： (1)不論m取何實數(shù)，方程x2＋x－m＝0必有實數(shù)根； (2)每一個非負數(shù)的平方都是正數(shù)； (3)有的四邊形沒有外接圓； (4)某些梯形的對角線互相平分． (5)有些質數(shù)是奇數(shù)； (6)對任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1. [解析]　(1)這一命題可以表述為p：“

7、對所有的實數(shù)m，方程x2＋x－m＝0有實數(shù)根”，其否定是非p：“存在實數(shù)m，使得x2＋x－m＝0沒有實數(shù)根”，注意到當Δ＝1＋4m<0，即m<－時，一元二次方程沒有實根，因此非p是真命題． (2)命題的否定：存在一個非負數(shù)的平方不是正數(shù)，是真命題． (3)命題的否定：所有的四邊形都有外接圓，是假命題． (4)命題的否定：任一個梯形的對角線都不互相平分，是真命題． (5)命題的否定為：所有的質數(shù)不是奇數(shù)．很明顯，質數(shù)3就是奇數(shù)，所以命題的否定是假命題． (6)命題的否定為：存在α∈R，使sin2α＋cos2α≠1.因為原命題是真命題，所以命題的否定為假命題． 10．若命題

8、“對任意x∈R，關于x的不等式(a2－1)x2＋(a－1)x－1<0都成立”為真命題，求a的取值范圍． [解析]　當a＝－1時，不等式不成立； 當a＝1時，原不等式恒成立． 當a2－1≠0時， 所以－<a<1.所以a的取值范圍是(－，1]． 一、選擇題 1．下列命題是真命題的是(　　) A．所有的實數(shù)x都能使x2－3x＋6>0成立 B．存在一個實數(shù)x使不等式x2－3x＋6<0成立 C．存在一條直線與兩個相交平面都垂直 D．存在實數(shù)x使x2<0成立 [答案]　A [解析]　因為x2－3x＋6＝(x－)2＋≥，所以對于任意的x∈R，x

9、2－3x＋6>0恒成立，因此A中的命題為真命題． 2．命題“所有奇數(shù)的立方是奇數(shù)”的否定是(　　) A．所有奇數(shù)的立方不是奇數(shù) B．不存在一個奇數(shù)，它的立方是偶數(shù) C．存在一個奇數(shù)，它的立方是偶數(shù) D．不存在一個奇數(shù)，它的立方是奇數(shù) [答案]　C [解析]　全稱命題的否定是特稱命題． 3．下列命題中的假命題是(　　) A．存在實數(shù)α和β，使cos(α＋β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ B．不存在無窮多個α和β，使cos(α＋β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ C．對任意α和β，使cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ D．不存在這樣的α

10、和β，使cos(α＋β)≠cosαcosβ－sinαsinβ [答案]　B [解析]　cos(α＋β)＝cosα·cosβ－sinα·sinβ，顯然選項C，D為真；sinα·sinβ＝0時，選項A為真；選項B為假．故選B． 4．已知a＞0，函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c，若x0滿足關于x的方程2ax＋b＝0，則下列選項的命題中為假命題的是(　　) A．存在x∈R，f(x)≤f(x0) B．存在x∈R，f(x)≥f(x0) C．任意x∈R，f(x)≤f(x0) D．任意x∈R，f(x)≥f(x0) [答案]　C [解析]　由x0＝－(a>0)

11、及拋物線的相關性質可得C選項是錯誤的． 二、填空題 5．下列特稱命題是真命題的序號是________________． ①有些不相似的三角形面積相等； ②存在一實數(shù)x0，使x＋x0＋1<0； ③存在實數(shù)a，使函數(shù)y＝ax＋b的值隨x的增大而增大； ④有一個實數(shù)的倒數(shù)是它本身． [答案]?、佗邰? [解析]　①為真命題，只要找出等底等高的兩個三角形，面積就相等，但不一定相似；②中對任意x∈R，x2＋x＋1＝(x＋)2＋>0，所以不存在實數(shù)x0，使x＋x0＋1<0，故②為假命題；③中當實數(shù)a大于0時，結論成立，為真命題；④中如1的倒數(shù)是它本身，為真命題，故選①③④.

12、 6．下列語句：①能被7整除的數(shù)都是奇數(shù)；②|x－1|<2；③存在實數(shù)a使方程x2－ax＋1＝0成立；④等腰梯形對角線相等且不互相平分． 其中是全稱命題且為真命題的序號是________________． [答案]　④ [解析]?、偈侨Q命題，但為假命題； ②不是命題； ③是特稱命題 三、解答題 7．為使下列p(x)為真命題，求x的取值范圍： (1)p(x)：x＋1>x； (2)p(x)：x2－5x＋6>0； (3)p(x)：sinx>cosx. [解析]　(1)∵對任意實數(shù)x，都有(x＋1)－x＝1>0，∴x＋1>x，∴x∈R.

13、(2)由x2－5x＋6＝(x－2)(x－3)>0得x<2或x>3，∴使p(x)成立的x的取值范圍是x<2或x>3. (3)sinx－cosx＝sin>0， ∴2kπ<x－<2kπ＋π　(k∈Z)， ∴2kπ＋<x<2kπ＋，∴使p(x)：sinx>cosx成立的x的取值范圍是，k∈Z. 8．(1)已知關于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，求實數(shù)a的取值范圍； (2)令p(x)：ax2＋2x＋1＞0，若對所有的x∈R，p(x)是真命題，求實數(shù)a的取值范圍． [解析]　(1)關于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，∴Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即4a－7≥0，解得a≥，∴實數(shù)a的取值范圍為. (2)∵對所有的x∈R，p(x)是真命題．∴對?x∈R，ax2＋2x＋1＞0恒成立，當a＝0時，不等式為2x＋1＞0不恒成立，當a≠0時，若不等式恒成立，則∴a＞1.