2020高中數(shù)學(xué) 2.4用向量討論垂直與平行練習(xí) 北師大版選修21

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1、北師大版2019-2020學(xué)年數(shù)學(xué)精品資料 第二章　2.4用向量討論垂直與平行 一、選擇題 1．若平面α，β的一個(gè)法向量分別為(－1,2,4)，(x，－1，－2)，并且α⊥β，則x的值為(　　) A．　 B．－ C．10 D．－10 [答案]　D [解析]　∵α⊥β，∴它們的法向量也互相垂直， ∴(－1,2,4)·(x，－1，－2)＝0，解得x＝－10， 故選D． 2．(2014·四川省成都七中期末)已知直線l過點(diǎn)P(1,0，－1)且平行于向量a＝(2,1,1)，平面α過直線l與點(diǎn)M(1,2,3)，則平面α的法向量不可能是(　　) A．(1，－4,

2、2) B．(，－1，) C．(－，1，－) D．(0，－1,1) [答案]　D [解析]　因?yàn)椋?0,2,4)，直線l平行于向量a，若n是平面α的法向量，則必須滿足，把選項(xiàng)代入驗(yàn)證，只有選項(xiàng)D不滿足，故選D． 3．在如圖所示的坐標(biāo)系中，ABCD－A1B1C1D1為正方體，給出下列結(jié)論： ①直線DD1的一個(gè)方向向量為(0,0,1)． ②直線BC1的一個(gè)方向向量為(0,1,1)． ③平面ABB1A1的一個(gè)法向量為(0,1,0)． ④平面B1CD的一個(gè)法向量為(1,1,1)． 其中正確的個(gè)數(shù)為(　　) A．1個(gè)　　 B．2個(gè)　　 C．3個(gè)　　 D．4個(gè) [答案]　C [

3、解析]　DD1∥AA1，＝(0,0,1)；BC1∥AD1，＝(0,1,1)，直線AD⊥平面ABB1A1，＝(0,1,0)；C1點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1,1)，與平面B1CD不垂直，∴④錯(cuò)． 4．已知平面α內(nèi)有一點(diǎn)A(2，－1,2)，它的一個(gè)法向量為n＝(3,1,2)，則下列點(diǎn)P中，在平面α內(nèi)的是(　　) A．(1，－1,1)　　　　 B．(1,3，) C．(1，－3，) D．(－1,3，－) [答案]　B [解析]　要判斷點(diǎn)P是否在平面內(nèi)，只需判斷向量與平面的法向量n是否垂直，即判斷·n是否為0即可，因此，要對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐個(gè)檢驗(yàn)． 對(duì)于選項(xiàng)A，＝(1,0,1)， 則·

4、;n＝(1,0,1)·(3,1,2)＝5≠0，故排除A； 對(duì)于選項(xiàng)B，＝(1，－4，)， 則·n＝(1，－4，)·(3,1,2)＝0，故選B． 5．已知直線l1的方向向量a＝(2,4，x)，直線l2的方向向量為b＝(2，y,4)，且l1⊥l2，則x＋y＝(　　) A．－1 B．1 C．0 D．無(wú)法確定 [答案]　A [解析]　∵l1⊥l2，∴a⊥b，a·b＝0，∴4＋4y＋4x＝0，即x＋y＝－1. 6．若直線l的方向向量為a＝(1,1,1)，向量b＝(1，－1,0)和向量c＝(0,1，－1)所在的直線都與平面α平行，則(　　) A．l

5、⊥α B．l∥α C．lα D．以上都不對(duì) [答案]　A [解析]　∵(1,1,1)·(1，－1,0)＝0，(1,1,1)·(0,1，－1)＝0，∴a⊥b，a⊥c，又b與c不平行且b、c所在的直線都與平面α平行，∴l(xiāng)⊥α. 二、填空題 7．已知a＝(x,2，－4)，b＝(－1，y,3)，c＝(1，－2，z)，且a，b，c兩兩垂直，則實(shí)數(shù)x＝________________，y＝________________，z＝________________. [答案]?。?4?。?6?。?7 [解析]　因?yàn)閍，b，c兩兩垂直，所以a·b＝b·c＝c

6、·a＝0， 即，解得. 8．已知空間三點(diǎn)A(0,0,1)，B(－1,1,1)，C(1,2，－3)，若直線AB上一點(diǎn)M，滿足CM⊥AB，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為________________． [答案]　(－，，1) [解析]　設(shè)M(x，y，z)，又＝(－1,1,0)，＝(x，y，z－1)，＝(x－1，y－2，z＋3)， 由題意得∴x＝－，y＝，z＝1， ∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(－，，1)． 三、解答題 9．如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB于點(diǎn)F. (1)證明PA∥平面EDB； (2)證明PB⊥

7、平面EFD． [證明]　如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，D是坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)DC＝A． (1)連接AC、AC交BD于G，ABCD為正方形，∴G為AC中點(diǎn)，連接EG. 簡(jiǎn)解：又E為PC中點(diǎn)∴PA∥GE又GE平面BDE，PA?平面BDE∴PA∥平面BDE (2)依題意，得B(a，a,0)，P(0,0，a)，E(0，，)．∴＝(a，a，－a)． 又＝(0，，)，故·＝0＋－＝0. ∴PB⊥DE. 又EF⊥PB，且EF∩DE＝E. ∴PB⊥平面EFD． 10．如圖， 正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為4，E、F分別是棱AB、BC的中點(diǎn)，EF∩BD＝

8、G.求證：平面B1EF⊥平面BDD1B1. [證明]　以D為原點(diǎn)，DA、DC、DD1分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，由題意知：D(0,0,0)，B1(2，2，4)，E(2，，0)，F(xiàn)(，2，0)， ＝(0，－，－4)，＝(－，，0)． 設(shè)平面B1EF的一個(gè)法向量為n＝(x，y，z)． 則n·＝－y－4z＝0，n·＝－x＋y＝0. 解得x＝y(tǒng)，z＝－y，令y＝1得n＝(1,1，－)， 又平面BDD1B1的一個(gè)法向量為＝(－2，2，0)， 而n·＝1×(－2)＋1×2＋(－)×0＝0， 即n⊥.∴平面B1EF

9、⊥平面BDD1B1. 一、選擇題 1．如圖，已知△ADB和△ADC都是以D為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且AD＝BD＝CD，∠BAC＝60°，E為AC的中點(diǎn)，那么以下向量為平面ACD的法向量的是(　　) A．　　　　　　 B． C．　　 D． [答案]　B [解析]　方法一：判斷平面ACD的法向量，可以從平面ACD中找出，，中的兩個(gè)向量，分別與選項(xiàng)中的向量求數(shù)量積，判斷垂直而得． 方法二：直接利用已知邊角關(guān)系判斷線面垂直． 設(shè)AD＝1，則BD＝CD＝1.因?yàn)椤鰽DB和△ADC都是以D為直角頂點(diǎn)的直角三角形，所以AB＝AC＝. 又因?yàn)椤螧AC＝60°，所以

10、BC＝.所以△BCD也是直角三角形，且BD⊥CD，從而可得BD⊥平面ACD． 2．已知a＝(1,2，－y)，b＝(x,1,2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，則(　　) A．x＝，y＝1 B．x＝，y＝－4 C．x＝2，y＝－ D．x＝1，y＝－1 [答案]　B [解析]　a＋2b＝(2x＋1,4,4－y)， 2a－b＝(2－x,3，－2y－2)， ∵(a＋2b)∥(2a－b)， ∴，∴ 3．若直線l1，l2的方向向量分別為a＝(1,2，－2)，b＝(－2，3,2)，則(　　) A．l1∥l2 B．l1⊥l2 C．l1，l2相交但不垂直 D．l1，l2的關(guān)系不能確定 [

11、答案]　B [解析]　a·b＝1×(－2)＋2×3＋(－2)×2＝0， ∴a⊥B．∴l(xiāng)1⊥l2. 4．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，則平面ABC的一個(gè)單位法向量是(　　) A．(，，－) B．(，－，) C．(－，，) D．(－，－，－) [答案]　D [解析]　＝(－1,1,0)，＝(－1,0,1)，＝(0，－1,1)．設(shè)平面ABC的一個(gè)單位法向量為u＝(x，y，z)，則u·＝0，u·＝0，得x，y，z之間的關(guān)系，且x2＋y2＋z2＝1，求值即可． 二、填空題 5．已知點(diǎn)P是平行四邊形A

12、BCD所在平面外一點(diǎn)，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)．對(duì)于結(jié)論：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥.其中正確的是________________． [答案]?、佗冖? [解析]　·＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝－2－2＋4＝0，則⊥. ·＝4×(－1)＋2×2＋0＝0，則⊥， ∵⊥，⊥，∩＝A， ∴⊥平面ABCD，故是平面ABCD的一個(gè)法向量． 6．如圖，已知矩形ABCD，PA＝AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一個(gè)點(diǎn)

13、Q滿足PQ⊥QD，則a的值等于________________． [答案]　2 [解析]　先建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)||＝b，則A(0,0,0)，Q(1，b,0)，P(0,0,1)，B(1,0,0)，D(0，a,0)，所以＝(1，b，－1)，＝(－1，a－b,0)． ∵⊥，∴b2－ab＋1＝0. ∵b只有一解，∴Δ＝0，可得a＝2. 三、解答題 7．如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E為CD中點(diǎn)． (1)求證：B1E⊥AD1； (2)在棱AA1上是否存在一點(diǎn)P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由． [

14、證明]　(1)以A為原點(diǎn)，、、的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)． 設(shè)AB＝a，則A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，E(，1,0)，B1(a,0,1)，故＝(0,1,1)，＝(－，1，－1)，＝(a,0,1)，＝(，1,0)． ∵·＝－×0＋1×1＋(－1)×1＝0， ∴B1E⊥ AD1. (2)假設(shè)在棱AA1上存在一點(diǎn)P(0,0，z0)， 使得DP∥平面B1AE.此時(shí)＝(0，－1，z0)． 又設(shè)平面B1AE的法向量n＝(x，y，z)． ∵n⊥平面B1AE，∴n⊥ ，n⊥，得 取x＝1

15、，得平面B1AE的一個(gè)法向量n＝(1，－，－a)．要使DP∥平面B1AE，只要n⊥，有－az0＝0，解得z0＝.又DP?平面B1AE， ∴存在點(diǎn)P，滿足DP∥平面B1AE，此時(shí)AP＝. 8．在正方體ABCD—A1B1C1D1中，棱DD1上是否存在點(diǎn)P，使得平面APC1⊥平面ACC1？證明你的結(jié)論． [解析]　假設(shè)點(diǎn)P存在，以D為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體邊長(zhǎng)為a，DP＝m(0≤m≤a)，則由正方體的性質(zhì)知，CC1⊥BD，AC⊥BD，CC1∩AC＝C，∴BD⊥平面ACC1， 因此，＝(a，a,0)是平面ACC1的一個(gè)法向量． ∵平面APC1⊥平面ACC1， ∴在平面APC1內(nèi)或與平面APC1平行， ∴存在實(shí)數(shù)x與y，使得＝x＋y. ∵＝(－a，a，a)，＝(－a,0，m)， ∴，解得. ∴點(diǎn)P存在，且當(dāng)點(diǎn)P為DD1的中點(diǎn)時(shí)，平面APC1⊥平面ACC1.