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1、
一、選擇題
1．用與球心距離為1的平面去截球，所得截面面積為π，則球的體積為( )
A.π B.
C．8π D.π
2．若三個球的表面積之比是1∶2∶3，則它們的體積之比是( )
A．1∶2∶3 B．1∶∶
C．1∶2∶3 D．1∶4∶7
3．平面α截球O的球面所得圓的半徑為1，球心O到平面α的距離為，則此球的體積為( )
A.π B．4π
C．4π D．6π
4．設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱的長都為a，頂點都在一個球面上，則該球的表面積為( )
A．πa2 B
2、.πa2
C.πa2 D．5πa2
5．(新課標全國卷Ⅰ)如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8 cm，將一個球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當球面恰好接觸水面時測得水深為6 cm，如果不計容器的厚度，則球的體積為( )
A. cm3 B. cm3
C. cm3 D. cm3
二、填空題
6．一個平面截一球得到直徑為6 cm的圓面，球心到這個平面的距離為4 cm，則球的體積為________ cm3.
7．一個底面直徑是32 cm的圓柱形水桶裝入一些水，將一個球放入桶內(nèi)完全淹沒，水面上升了9 cm，則這個球的表面積是________．
8．
3、如圖所示，正四棱錐SABCD的底面邊長和各側(cè)棱長都為，點S，A，B，C，D都在同一個球面上，則該球的體積為________．
三、解答題
9．如圖，ABCD是正方形，是以A為圓心的弧，將正方形ABCD以AB為軸旋轉(zhuǎn)一周，求圖中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積之比．
10．如圖，半徑為R的半圓O的直徑為直角梯形垂直于兩底的腰，且半圓O分別切AB，BC，CD于點A、E、D.將半圓與梯形繞AD所在直線旋轉(zhuǎn)一周，得到一個球和一個圓臺，若球的表面積與圓臺的側(cè)面積的比為3∶4，求圓臺的體積．
答 案
1. 解析：選D 所得截面圓的半徑為r＝1，因此球的半徑R＝＝，球的體
4、積為πR3＝π.
2. 解析：選C ∵三個球的表面積之比是1∶2∶3，
即r∶r∶r＝1∶2∶3.∴r1∶r2∶r3＝1∶∶，
∴V1∶V2∶V3＝1∶2∶3.
3. 解析：選B 設(shè)球的半徑為R，由球的截面性質(zhì)得R＝＝，所以球的體積V＝πR3＝4π.
4. 解析：選B 正三棱柱內(nèi)接于球，則球心在正三棱柱兩底面中心連線的中點處，在直角三角形中可得R＝＝a，
∴S＝4πR2＝4π＝a2.
5. 解析：選A 解題時，先根據(jù)已知條件分析出正方體的上底面到球心的距離為(R－2) cm(其中R為球半徑)，再利用球半徑、球心距、和截面圓半徑構(gòu)成的直角三角形求出球半徑，進而計算出球的體積．設(shè)球半
5、徑為R cm，根據(jù)已知條件知正方體的上底面與球相交所得截面圓的半徑為4 cm，球心到截面的距離為(R－2) cm，所以由42＋(R－2)2＝R2，得R＝5，所以球的體積V＝πR3＝π53＝ cm3，選擇A.
6. 解析：如圖所示，
由已知：O1A＝3，OO1＝4，從而R＝OA＝5.
∴V球＝53＝ (cm3)．
答案：
7. 解析：球的體積等于以16 cm為底面半徑，高為9 cm的圓柱的體積，設(shè)球的半徑為R，所以πR3＝π1629，
解得R＝12(cm)，所以S球＝4πR2＝576π cm2.
答案：576π cm2
8. 解析：∵正四棱錐的底面邊長和側(cè)棱長都為，
∴
6、其高為1，由對稱性可知，棱長為的正八面體也內(nèi)接于此球，∴球的半徑為1，體積為π.
答案：π
9. 解：Ⅰ生成圓錐，Ⅱ生成的是半球去掉圓錐Ⅰ，Ⅲ生成的是圓柱去掉扇形ABD生成的半球．
設(shè)正方形的邊長為a，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積分別為VⅠ、VⅡ和VⅢ，則VⅠ＝πa3，VⅡ＝πa32－πa3＝πa3，VⅢ＝πa3－πa32＝πa3.
三部分所得旋轉(zhuǎn)體的體積之比為1∶1∶1.
10. 解：設(shè)圓臺的上、下底的半徑分別為r1、r2，母線長為l.
由題意知，圓臺的高h＝2R，DC＝CE＝r1，AB＝BE＝r2，OE＝R，∠BOC＝90.OE⊥BC.
∵在Rt△COB中，CEBE＝OE2，BC＝CE＋BE，
∴r1r2＝R2，l＝r1＋r2.
又∵S球＝4πR2，S圓臺側(cè)＝π(r1＋r2)l
且S球∶S圓臺側(cè)＝3∶4，
∴4πR2∶πl(wèi)(r1＋r2)＝3∶4.
∴(r1＋r2)2＝R2，
∴V臺＝πh(r＋r＋r1r2)＝2R[(r1＋r2)2－r1r2]
＝2R＝πR3.
故圓臺的體積為πR3.
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