【人教A版】高中數(shù)學(xué)選修11同步輔導(dǎo)與檢測 章末復(fù)習(xí)課

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1、（人教版）精品數(shù)學(xué)教學(xué)資料章末復(fù)習(xí)課整合整合網(wǎng)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建絡(luò)構(gòu)建警示警示易錯提醒易錯提醒1關(guān)注圓錐曲線關(guān)注圓錐曲線“定義定義”的三點應(yīng)用的三點應(yīng)用(1)在求軌跡方程時在求軌跡方程時，若所求軌跡符合某種圓錐曲線的定義若所求軌跡符合某種圓錐曲線的定義，則則根據(jù)圓錐曲線定義根據(jù)圓錐曲線定義，寫出所求的軌跡方程寫出所求的軌跡方程(2)涉及橢圓、雙曲線上的點與兩個定點構(gòu)成三角形問題時涉及橢圓、雙曲線上的點與兩個定點構(gòu)成三角形問題時，常常用定義結(jié)合解三角形的知識來解決用定義結(jié)合解三角形的知識來解決(3)在求有關(guān)拋物線的最值問題時在求有關(guān)拋物線的最值問題時，常利用定義把焦點的距離轉(zhuǎn)常利用定義把焦點的距離轉(zhuǎn)化為到

2、準(zhǔn)線的距離化為到準(zhǔn)線的距離，結(jié)合幾何圖形結(jié)合幾何圖形，利用幾何意義去解決利用幾何意義去解決2研究圓錐曲線幾何性質(zhì)的兩個注意點研究圓錐曲線幾何性質(zhì)的兩個注意點(1)應(yīng)把不是標(biāo)準(zhǔn)方程的化為標(biāo)準(zhǔn)方程形式；應(yīng)把不是標(biāo)準(zhǔn)方程的化為標(biāo)準(zhǔn)方程形式；(2)有字母的注意分類討論有字母的注意分類討論3.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系易錯點直線與圓錐曲線的位置關(guān)系易錯點(1)直線與圓錐曲線交點問題直線與圓錐曲線交點問題(或弦長問題或弦長問題)， 易忽視直線的斜率是易忽視直線的斜率是否存在否存在，以及以及是否大于是否大于 0.(2)中點弦問題使用中點弦問題使用“點差法點差法”，易忽視直線存在的條件易忽視直線存在的條件專題專

3、題 1圓錐曲線定義的應(yīng)用圓錐曲線定義的應(yīng)用圓錐曲線的定義是相應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)的圓錐曲線的定義是相應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)的“源源”， 對于圓錐對于圓錐曲線的有關(guān)問題曲線的有關(guān)問題，要有運用圓錐曲線定義解題的意識要有運用圓錐曲線定義解題的意識， “回歸定義回歸定義”是一種重要的解題策略是一種重要的解題策略在高考試題中在高考試題中， 有關(guān)圓錐曲線的問題很多都需要利用圓錐曲線的有關(guān)圓錐曲線的問題很多都需要利用圓錐曲線的定義求解在選擇題、填空題中應(yīng)用得更多一些定義求解在選擇題、填空題中應(yīng)用得更多一些例例 1一動圓與兩圓一動圓與兩圓： x2y21 和和 x2y26x50 相外切相外切 求求動圓圓心的軌跡

4、動圓圓心的軌跡解：解：x2y21 是以原點為圓心是以原點為圓心，半徑為半徑為 1 的圓；的圓；x2y26x50 化為標(biāo)準(zhǔn)方程為化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x3)2y24，是圓心為是圓心為 A(3，0)，半徑為半徑為 2 的的圓圓設(shè)所求動圓圓心為設(shè)所求動圓圓心為 P，動圓半徑為動圓半徑為 r，如圖如圖，則則|PO|r1，|PA|r2|PA|PO|1|AO|3，符合雙曲線的定義符合雙曲線的定義，結(jié)合圖形可知結(jié)合圖形可知，動圓圓心的軌跡為雙曲線的一支動圓圓心的軌跡為雙曲線的一支歸納升華歸納升華當(dāng)題設(shè)出現(xiàn)兩定點當(dāng)題設(shè)出現(xiàn)兩定點，設(shè)為設(shè)為 A、B，要通過平面幾何知識要通過平面幾何知識，找出動找出動點點 P 與它們的

5、關(guān)系與它們的關(guān)系，即即|PA|PB|為定值為定值，還是還是|PA|PB|為定值為定值，再根據(jù)圓錐曲線定義解決問題再根據(jù)圓錐曲線定義解決問題變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練F1，F(xiàn)2是橢圓是橢圓x2a2y2b21(ab0)的兩焦點的兩焦點，P 是橢是橢圓上任一點圓上任一點， 從任一焦點引從任一焦點引F1PF2的外角平分線的垂線的外角平分線的垂線， 垂足為垂足為 Q，則點則點 Q 的軌跡為的軌跡為()A圓圓B橢圓橢圓C雙曲線雙曲線D拋物線拋物線解析解析： 延長垂延長垂線線F1Q交交F2P的延長線于的延長線于點點A， 如圖所示如圖所示， 則則APF1是等腰是等腰三角形三角形，所以所以 |PF1|AP|，從而從而|A

6、F2|AP|PF2|PF1|PF2|2a.由題意知由題意知 O 是是 F1F2的中點的中點， Q 是是 AF1的中點的中點， 連接連接 OQ， 則則|OQ|12|AF2|a.所以所以 Q 點的軌跡是以原點點的軌跡是以原點 O 為圓心為圓心，半徑為半徑為 a 的圓的圓答案：答案：A專題專題 2求圓錐曲線方程求圓錐曲線方程圓錐曲線的軌跡與方程是本章命圓錐曲線的軌跡與方程是本章命題的重點題的重點， 解決此類問題解決此類問題， 一要一要準(zhǔn)確理解圓錐曲線的定義準(zhǔn)確理解圓錐曲線的定義， 熟練掌握標(biāo)準(zhǔn)方程的特征熟練掌握標(biāo)準(zhǔn)方程的特征； 二要熟練掌握二要熟練掌握求曲線方程的常用方法求曲線方程的常用方法定義法與

7、待定系數(shù)法定義法與待定系數(shù)法求曲線方程的一般步驟是求曲線方程的一般步驟是“先定位先定位，后定量后定量”， “定位定位”是指確是指確定焦點的位置及對稱軸定焦點的位置及對稱軸， “定量定量”是指確定參數(shù)的大小是指確定參數(shù)的大小例例 2已知中點在原點已知中點在原點，一焦點為一焦點為 F(0，5 2)的橢圓被直線的橢圓被直線 l：y3x2 截得的弦的中點的橫坐標(biāo)為截得的弦的中點的橫坐標(biāo)為12，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解：解：由題意可設(shè)所由題意可設(shè)所求橢圓方程為求橢圓方程為y2a2x2b21(ab0)，該橢圓與直線該橢圓與直線 l 交于兩點交于兩點 A(x1，y1)，B(x2，y2)由由y2a2

8、x2b21 及及 y3x2 得得(a29b2)x212b2xb2(4a2)0.則則 x1x212b2a29b2.由由已知得已知得x1x2212，即即12b2a29b21，所以所以 a23b2.又因為又因為 a2b2c250，則則 a275，b225.此時此時，方程方程根的判別式根的判別式0，方程方程有兩實根有兩實根 x1，x2，符合要求符合要求故所求橢圓的方程為故所求橢圓的方程為x225y2751.歸納升華歸納升華1當(dāng)焦點位置不確定時當(dāng)焦點位置不確定時，要分情況討論要分情況討論，也可以設(shè)為一般形式也可以設(shè)為一般形式：橢圓方程為橢圓方程為 Ax2By21(A0，B0，AB)；雙曲線方程為雙曲線方

9、程為 Ax2By21(AB0)；拋物線方程可設(shè)為；拋物線方程可設(shè)為 y22px(p0)或或 x22py(p0)2與已知雙曲線與已知雙曲線x2a2y2b21(a0，b0)共漸近線的雙曲線方程共漸近線的雙曲線方程可設(shè)為可設(shè)為x2a2y2b2(0)；已知所求雙曲線為等軸雙曲線已知所求雙曲線為等軸雙曲線，其方程可設(shè)其方程可設(shè)為為 x2y2(0)變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練已知雙曲線與橢圓已知雙曲線與橢圓 x24y264 共焦點共焦點，它的一條它的一條漸近線方程漸近線方程 x 3y0，求雙曲線的方程求雙曲線的方程解：解：法一法一：橢圓：橢圓 x24y264，即即x264y2161，其焦點是其焦點是(4 3，0)設(shè)雙

10、曲線方程為設(shè)雙曲線方程為x2a2y2b21(a0， b0)， 其漸近線方程是其漸近線方程是 ybax.又因為雙曲線的一條漸近線方程為又因為雙曲線的一條漸近線方程為 x 3y0，所以所以ab 3.又由又由 a2b2c248，解得解得 a236，b212.所以所以 所求雙曲線方程為所求雙曲線方程為x236y2121.法二法二： 由雙曲線與橢圓共焦點由雙曲線與橢圓共焦點， 可設(shè)雙曲線方程為可設(shè)雙曲線方程為x264y2161(1664)因為雙曲線的一條漸近線方程為因為雙曲線的一條漸近線方程為 x 3y0，即即 y13x，所以所以166413，所以所以 28.故所求雙曲線方程為故所求雙曲線方程為x236

11、y2121.專題專題 3直線與圓錐曲線的關(guān)系直線與圓錐曲線的關(guān)系近幾年來直線與圓錐曲線的位置關(guān)系在高考中占據(jù)高考解答題近幾年來直線與圓錐曲線的位置關(guān)系在高考中占據(jù)高考解答題壓軸題的位置壓軸題的位置，且選擇題且選擇題、填空題也有涉及填空題也有涉及有關(guān)直線與圓錐曲線的有關(guān)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的題目可能會涉及線段中點位置關(guān)系的題目可能會涉及線段中點、弦長等弦長等，分析這類問題時分析這類問題時，往往往利用數(shù)形結(jié)合的思想往利用數(shù)形結(jié)合的思想、 設(shè)而不求的方法設(shè)而不求的方法、 對稱的方法以及根與系數(shù)對稱的方法以及根與系數(shù)的關(guān)系等的關(guān)系等例例 3(2016全國全國卷卷)在直角坐標(biāo)系在直角坐標(biāo)系 xOy

12、中中， 直線直線 l： yt(t0)交交 y 軸于點軸于點 M，交拋物線交拋物線 C：y22px(p0)于點于點 P，M 關(guān)于點關(guān)于點 P 的對的對稱點為稱點為 N，連接連接 ON 并延長交并延長交 C 于點于點 H.(1)求求|OH|ON|.(2)除除 H 以外以外，直線直線 MH 與與 C 是否有其他公共點？說明理由是否有其他公共點？說明理由解：解：(1)如圖如圖，由已知得由已知得 M(0，t)，Pt22p，t.又又 N 為為 M 關(guān)于點關(guān)于點 P 的對稱點的對稱點，故故 Nt2p，t，故直線故直線 ON 的方程為的方程為 yptx，將其代入將其代入 y22px 整理得整理得 px22t2

13、x0，解得解得 x10，x22t2p.因此因此 H2t2p，2t.所以所以 N 為為 OH 的中點的中點，即即|OH|ON|2.(2)直線直線 MH 與與 C 除除 H 以外沒有其他公共點理由如下：以外沒有其他公共點理由如下：直線直線 MH 的方程為的方程為 ytp2tx，即即 x2tp(yt)代入代入 y22px 得得 y24ty4t20，解得解得 y1y22t，即直線即直線 MH 與與 C 只有一個公共點只有一個公共點，所以除所以除 H 以外以外，直線直線 MH 與與 C 沒有其他公共點沒有其他公共點歸納升華歸納升華解決此類解析幾何題的關(guān)鍵解決此類解析幾何題的關(guān)鍵： 一是一是“對稱對稱”引

14、路引路， 利用線段中點利用線段中點的坐標(biāo)公式即可快速求出兩線段長的比值的坐標(biāo)公式即可快速求出兩線段長的比值； 二是二是“轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化”橋梁橋梁， 即會即會利用分析法利用分析法， 把判斷直線與拋物線是否有其他公共點的問題轉(zhuǎn)化為判把判斷直線與拋物線是否有其他公共點的問題轉(zhuǎn)化為判斷直線與斷直線與 C 的位置關(guān)系問題的位置關(guān)系問題變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練已知斜率為已知斜率為 1 的直線的直線 l 過橢圓過橢圓x24y21 的右焦點的右焦點，交橢圓于交橢圓于 A，B 兩點兩點，求弦求弦 AB 的長的長解：解：因為因為 a24，b21，所以所以 c a2b2 3，所以右焦點的坐標(biāo)為所以右焦點的坐標(biāo)為( 3，0)，所以

15、直線所以直線 l 的方程為的方程為 yx 3.由由yx 3，x24y21，消去消去 y 并整理并整理，得得 5x28 3x80.設(shè)直線設(shè)直線 l 與橢圓的交點為與橢圓的交點為 A(x1，y1)，B(x2，y2)，則則 x1x28 35，x1x285，所以所以|AB| 1k2（x1x2）24x1x2 28 35248585，即弦即弦 AB 的長為的長為85.專題專題 4分類討論思想分類討論思想分類討論思想是高中數(shù)學(xué)中解題的重要思想分類討論思想是高中數(shù)學(xué)中解題的重要思想， 解析幾何中許多問解析幾何中許多問題都涉及分類討論題都涉及分類討論，如軌跡方程中軌跡類型的確定如軌跡方程中軌跡類型的確定、最值問

16、題最值問題、參數(shù)參數(shù)問題等都可能遇到因為變量范圍不同而結(jié)果不同的情形問題等都可能遇到因為變量范圍不同而結(jié)果不同的情形， 因此要對因此要對變變量分類討論，才能確定量分類討論，才能確定在圓錐曲線的問題中在圓錐曲線的問題中， 有很多由公式有很多由公式、 運算等引起的分類討論運算等引起的分類討論 分分類的原則是標(biāo)準(zhǔn)一致、不重不漏類的原則是標(biāo)準(zhǔn)一致、不重不漏例例 4當(dāng)當(dāng) m1 時時，討論方程討論方程 mx2(2m)y21 表示的曲線形表示的曲線形狀狀解解：(1)當(dāng)當(dāng) m0 時時，方程表示焦點在方程表示焦點在 y 軸上的雙曲線軸上的雙曲線y212mx21m1；(2)當(dāng)當(dāng) m0 時時，方程表示兩條平行于方程

17、表示兩條平行于 x 軸的直線軸的直線 y22；(3)當(dāng)當(dāng) 0m1 時時， 方程表示焦點在方程表示焦點在 x 軸上的橢圓軸上的橢圓x21my212m1； (4)當(dāng)當(dāng) m1 時時，方程表示圓方程表示圓 x2y21.歸納升華歸納升華在解決圓錐曲線問題時在解決圓錐曲線問題時， 常將某一對象劃分為若干既有聯(lián)系又有常將某一對象劃分為若干既有聯(lián)系又有區(qū)別的部分區(qū)別的部分，然后分別解決然后分別解決，從而達到解決問題的目的從而達到解決問題的目的分類討論思分類討論思想的應(yīng)用主要表現(xiàn)在想的應(yīng)用主要表現(xiàn)在： (1)直線斜率存在或不存在引起的分類討論直線斜率存在或不存在引起的分類討論 (2)曲線類型不確定引起的分類討論

18、曲線類型不確定引起的分類討論(3)已知條件不確定引起的分類討已知條件不確定引起的分類討論論(4)字母參數(shù)的不確定性引起的分類討論等解決此類問題的關(guān)字母參數(shù)的不確定性引起的分類討論等解決此類問題的關(guān)鍵是鍵是“化整為零化整為零， 各個擊破各個擊破”， 即將即將“整體問題整體問題”化為化為“部分問題部分問題”變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練設(shè)設(shè) F1，F(xiàn)2為橢圓為橢圓x29y241 的兩個焦點的兩個焦點，P 是橢圓是橢圓上的一點上的一點，已知已知 P，F(xiàn)1，F(xiàn)2是一個直角三角形的三個頂點是一個直角三角形的三個頂點，且且|PF1|PF2|，求求|PF1|PF2|的值的值解：解：由已知得由已知得|PF1|PF2|6，|F1F2|2 5，根據(jù)直角的不同位置根據(jù)直角的不同位置，分兩種情況：分兩種情況：(1)若若 P 是直角頂點是直角頂點，則則|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，即即|PF1|2(6|PF1|)220，化簡得化簡得|PF1|26|PF1|80，解得解得|PF1|4或或|PF1|2(舍舍)所以所以 |PF2|642，得得|PF1|PF2|2.(2)若若 F2是直角頂點是直角頂點，則則|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，即即|PF1|2(6|PF1|)220，解得解得|PF1|143.所以所以 |PF2|614343，得得|PF1|PF2|72.