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1、人教版高中數(shù)學(xué)精品資料
2.2.1 條件概率
預(yù)習(xí)課本P51~53,思考并完成以下問題
1.條件概率的定義是什么?它的計算公式有哪些?
2.條件概率的特點是什么?它具有哪些性質(zhì)?
1.條件概率
(1)概念
設(shè)A,B為兩個事件,且P(A)>0,稱P(B|A)=為在事件A發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生的條件概率.P(B|A)讀作A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率.
(2)計算公式
①縮小樣本空間法:P(B|A)=;
②公式法:P(B|A)=.
[點睛]
(1)P(B|A)與P(A|B)意義不同,由條件概率的定義可知P(B|A)表示在事件A發(fā)生的條件下
2、事件B發(fā)生的條件概率;而P(A|B)表示在事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的條件概率.
(2)P(B|A)與P(B):在事件A發(fā)生的前提下,事件B發(fā)生的概率不一定是P(B),即P(B|A)與P(B)不一定相等.
2.條件概率的性質(zhì)
(1)有界性:0≤P(B|A)≤1.
(2)可加性:如果B和C是兩個互斥事件,則P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A).
[點睛] 對條件概率性質(zhì)的兩點說明
(1)前提條件:P(A)>0.
(2)P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A),必須B與C互斥,并且都是在同一個條件A下.
1.判斷下列命題是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“”)
3、
(1)若事件A,B互斥,則P(B|A)=1.( )
(2)事件A發(fā)生的條件下, 事件B發(fā)生,相當(dāng)于A, B同時發(fā)生.( )
答案:(1) (2)√
2.已知P(AB)=,P(A)=,則P(B|A)為( )
A. B.
C. D.
答案:B
3.下列式子成立的是( )
A.P(A|B)=P(B|A) B.0
4、
條件概率的計算
[典例] 拋擲紅、藍兩顆骰子,記事件A為“藍色骰子的點數(shù)為4或6”,事件B為“兩顆骰子的點數(shù)之和大于8”,求:(1)事件A發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生的概率.
(2)事件B發(fā)生的條件下,事件A發(fā)生的概率.
[解] [法一 定義法]
拋擲紅、藍兩顆骰子,事件總數(shù)為66=36,事件A的基本事件數(shù)為62=12,所以P(A)==.
由于3+6=6+3=4+5=5+4>8,4+6=6+4=5+5>8,5+6=6+5>8,6+6>8,所以事件B的基本事件數(shù)為4+3+2+1=10,所以P(B)==.在事件A發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生,即事件AB的基本事件數(shù)為6.
故P(AB)
5、==.由條件概率公式,得
(1)P(B|A)===,
(2)P(A|B)===.
[法二 縮減基本事件總數(shù)法]
n(A)=62=12.
由3+6=6+3=4+5=5+4>8,4+6=6+4=5+5>8,5+6=6+5>8,6+6>8知,n(B)=10,其中n(AB)=6.
所以(1)P(B|A)===,
(2)P(A|B)===.
計算條件概率的兩種方法
提醒:(1)對定義法,要注意P(AB)的求法.
(2)對第二種方法,要注意n(AB)與n(A)的求法.
[活學(xué)活用]
1.已知某產(chǎn)品的次品率為4%,其合格品中75%為一級品,則任選一件為一級品的概率
6、為( )
A.75% B.96%
C.72% D.78.125%
解析:選C 記“任選一件產(chǎn)品是合格品”為事件A,則P(A)=1-P()=1-4%=96%. 記“任選一件產(chǎn)品是一級品”為事件B.由于一級品必是合格品,所以事件A包含事件B,故P(AB)=P(B).由合格品中75%為一級品知P(B|A)=75%; 故P(B)=P(AB)=P(A)P(B|A)=96%75%=72%.
2.一個盒子中有6只好晶體管,4只壞晶體管,任取兩次,每次取一只,每一次取后不放回.若已知第一只是好的,求第二只也是好的概率.
解:令A(yù)={第1只是好的},B={第2只是好的},
法一
7、:n(A)=CC,n(AB)=CC,
故P(B|A)===.
法二:因事件A已發(fā)生(已知),故我們只研究事件B發(fā)生便可,在A發(fā)生的條件下,盒中僅剩9只晶體管,其中5只好的,所以P(B|A)==.
條件概率的應(yīng)用
[典例] 在一個袋子中裝有10個球,設(shè)有1個紅球,2個黃球,3個黑球,4個白球,從中依次摸2個球,求在第一個球是紅球的條件下,第二個球是黃球或黑球的概率.
[解] 法一:設(shè)“摸出第一個球為紅球”為事件A,“摸出第二個球為黃球”為事件B,“摸出第二個球為黑球”為事件C,則
P(A)=,P(AB)==,P(AC)==.
∴P(B|A)====,P(C|A)===.
8、∴P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)=+=.
∴所求的條件概率為.
法二:∵n(A)=1C=9,n(B∪C|A)=C+C=5,
∴P(B∪C|A)=.∴所求的條件概率為.
利用條件概率性質(zhì)的解題策略
(1)分析條件,選擇公式:首先看事件B,C是否互斥,若互斥,則選擇公式P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A).
(2)分解計算,代入求值:為了求比較復(fù)雜事件的概率,一般先把它分解成兩個(或若干個)互不相容的較簡單的事件之和,求出這些簡單事件的概率,再利用加法公式即得所求的復(fù)雜事件的概率.
[活學(xué)活用]
在某次考試中,要從20道題中隨機地抽出6道題,
9、若考生至少能答對其中4道題即可通過,至少能答對其中5道題就獲得優(yōu)秀.已知某考生能答對其中10道題,并且知道他在這次考試中已經(jīng)通過,求他獲得優(yōu)秀成績的概率.
解:記事件A為“該考生6道題全答對”,事件B為“該考生答對了其中5道題,另一道答錯”,事件C為“該考生答對了其中4道題,另2道題答錯”,事件D為“該考生在這次考試中通過”,事件E為“該考生在這次考試中獲得優(yōu)秀”,則A,B,C兩兩互斥,且D=A∪B∪C,E=A∪B,可知P(D)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)
=++=,P(AD)=P(A),P(BD)=P(B),
P(E|D)=P(A|D)+P(B|D)
=+=+=.
10、
故所求的概率為.
層級一 學(xué)業(yè)水平達標(biāo)
1.已知P(B|A)=,P(A)=,則P(AB)等于( )
A. B.
C. D.
解析:選C P(AB)=P(B|A)P(A)==.
2.4張獎券中只有1張能中獎,現(xiàn)分別由4名同學(xué)無放回地抽?。粢阎谝幻瑢W(xué)沒有抽到中獎券,則最后一名同學(xué)抽到中獎券的概率是( )
A. B.
C. D.1
解析:選B 因為第一名同學(xué)沒有抽到中獎券,所以問題變?yōu)?張獎券,1張能中獎,最后一名同學(xué)抽到中獎券的概率顯然是.
3.甲、乙、丙三人到三個景點旅游,每人只去一個景點,設(shè)事件A為“三個人去的景點不相同”,B為“甲
11、獨自去一個景點”,則概率P(A|B)等于( )
A. B.
C. D.
解析:選C 由題意可知,n(B)=C22=12,n(AB)=A=6.
∴P(A|B)===.
4.甲、乙兩市都位于長江下游,根據(jù)一百多年來的氣象記錄,知道一年中下雨天的比例甲市占20%,乙市占18%,兩地同時下雨占12%,記P(A)=0.2,P(B)=0.18,P(AB)=0.12,則P(A|B)和P(B|A)分別等于( )
A., B. ,
C., D. ,
解析:選C P(A|B)===,P(B|A)===.
5.用“0”“1”“2”組成的三位數(shù)碼組中,若用A表示“第二位數(shù)字為0”
12、的事件,用B表示“第一位數(shù)字為0”的事件,則P(A|B)=( )
A. B.
C. D.
解析:選B 法一:∵P(B)==,P(AB)==,∴P(A|B)==,故選B.
法二:在B發(fā)生的條件下,問題轉(zhuǎn)化為:用“0”“1”“2”組成三位數(shù)碼,其中第二位數(shù)字為0,則P(A|B)為在上述條件下,第一位數(shù)字為0的概率,∴P(A|B)==.
6.投擲兩顆均勻的骰子,已知點數(shù)不同,設(shè)兩顆骰子點數(shù)之和為ξ,則ξ≤6的概率為________.
解析:設(shè)A=“投擲兩顆骰子,其點數(shù)不同”,B=“ξ≤6”,則P(A)==,P(AB)=,∴P(B|A)==.
答案:
7.一個家庭中有兩個小孩
13、.假定生男、生女是等可能的,已知這個家庭有一個是女孩,則這時另一個小孩是男孩的概率是________.
解析:設(shè)A=“其中一個是女孩”,B=“其中一個是男孩”,則P(A)=,P(AB)=,∴P(B|A)==.
答案:
8.盒中裝有6件產(chǎn)品,其中4件一等品,2件二等品,從中不放回地取產(chǎn)品,每次1件,取兩次,已知第二次取得一等品,則第一次取得的是二等品的概率是________.
解析:令第二次取得一等品為事件A,第一次取得二等品為事件B,則P(AB)==,P(A)==.
所以P(B|A)===.
答案:
9.五個乒乓球,其中3個新的,2個舊的,每次取一個,不放回的取兩次,求:
(1
14、)第一次取到新球的概率;
(2)第二次取到新球的概率;
(3)在第一次取到新球的條件下,第二次取到新球的概率.
解:設(shè)第一次取到新球為事件A,第二次取到新球為事件B.
(1)P(A)==.
(2)P(B)===.
(3)法一:P(AB)==,
P(B|A)===.
法二:n(A)=34=12,n(AB)=32=6,
P(B|A)===.
10.某校高三(1)班有學(xué)生40人,其中共青團員15人.全班平均分成4個小組,其中第一組有共青團員4人.從該班任選一人作學(xué)生代表.
(1)求選到的是第一組的學(xué)生的概率;
(2)已知選到的是共青團員,求他是第一組學(xué)生的概率.
解:設(shè)事件
15、A表示“選到第一組學(xué)生”,
事件B表示“選到共青團員”.
(1)由題意,P(A)==.
(2)法一:要求的是在事件B發(fā)生的條件下,事件A發(fā)生的條件概率P(A|B).不難理解,在事件B發(fā)生的條件下(即以所選到的學(xué)生是共青團員為前提),有15種不同的選擇,其中屬于第一組的有4種選擇.因此,P(A|B)=.
法二:P(B)==,P(AB)==,
∴P(A|B)==.
層級二 應(yīng)試能力達標(biāo)
1.一個盒子里有20個大小形狀相同的小球,其中5個紅的,5個黃的,10個綠的,從盒子中任取一球,若它不是紅球,則它是綠球的概率是( )
A. B.
C. D.
解析:選C
16、 在已知取出的小球不是紅球的條件下,問題相當(dāng)于從5黃10綠共15個小球中任取一個,求它是綠球的概率,∴P==.
2.從1,2,3,4,5中任取2個不同的數(shù),事件A=“取到的2個數(shù)之和為偶數(shù)”,事件B=“取到的2個數(shù)均為偶數(shù)”,則P(B|A)=( )
A. B.
C. D.
解析:選B ∵P(A)==,P(AB)==,
∴P(B|A)==.
3.根據(jù)歷年氣象統(tǒng)計資料,某地四月份吹東風(fēng)的概率為,下雨的概率為,既吹東風(fēng)又下雨的概率為.則在吹東風(fēng)的條件下下雨的概率為( )
A. B.
C. D.
解析:選D 設(shè)事件A表示“該地區(qū)四月份下雨”,B表示“四月份吹東風(fēng)”,則
17、P(A)=,P(B)=,P(AB)=,從而在吹東風(fēng)的條件下下雨的概率為P(A|B)===.
4.從混有5張假鈔的20張百元鈔票中任意抽出2張,將其中1張放到驗鈔機上檢驗發(fā)現(xiàn)是假鈔,則第2張也是假鈔的概率為( )
A. B.
C. D.
解析:選D 設(shè)事件A表示“抽到2張都是假鈔”,事件B為“2張中至少有一張假鈔”,所以為P(A|B). 而P(AB)==,P(B)==.∴P(A|B)==.
5.100件產(chǎn)品中有5件次品,不放回地抽取兩次,每次抽1件,已知第一次抽出的是次品,則第2次抽出正品的概率為________.
解析:設(shè)“第一次抽到次品”為事件A,“第二次抽到正品”為事件B
18、,則P(A)==,P(AB)==,
所以P(B|A)==.
答案:
6.從1~100這100個整數(shù)中,任取一數(shù),已知取出的一數(shù)是不大于50的數(shù),則它是2或3的倍數(shù)的概率為________.
解析:法一:根據(jù)題意可知取出的一個數(shù)是不大于50的數(shù),則這樣的數(shù)共有50個,其中是2或3的倍數(shù)的數(shù)共有33個,故所求概率為.
法二:設(shè)A=“取出的球不大于50”,B=“取出的數(shù)是2或3的倍數(shù)”,則P(A)==,P(AB)=,
∴P(B|A)==.
答案:
7.現(xiàn)有6個節(jié)目準(zhǔn)備參加比賽,其中4個舞蹈節(jié)目,2個語言類節(jié)目,如果不放回地依次抽取2個節(jié)目,求:
(1)第1次抽到舞蹈節(jié)目的概率;
19、(2)第1次和第2次都抽到舞蹈節(jié)目的概率;
(3)在第1次抽到舞蹈的條件下,第2次抽到舞蹈節(jié)目的概率.
解:設(shè)“第1次抽到舞蹈節(jié)目”為事件A,“第2次抽到舞蹈節(jié)目”為事件B,則“第1次和第2次都抽到舞蹈節(jié)目”為事件AB.
(1)從6個節(jié)目中不放回地依次抽取2次的事件數(shù)為n(Ω)=A=30,
根據(jù)分步計數(shù)原理n(A)=AA=20,
于是P(A)===.
(2)因為n(AB)=A=12,于是
P(AB)===.
(3)法一:由(1)(2)可得,在第1次抽到舞蹈節(jié)目的條件下,第2次抽到舞蹈節(jié)目的概率為P(B|A)===.
法二:因為n(AB)=12,n(A)=20,
所以P(B|
20、A)===.
8.有外形相同的球分裝在三個盒子中,每盒10個.其中,第一個盒子中有7個球標(biāo)有字母A,3個球標(biāo)有字母B;第二個盒子中有紅球和白球各5個;第三個盒子中則有紅球8個,白球2個.試驗按如下規(guī)則進行:先在第一個盒子中任取一個球,若取得標(biāo)有字母A的球,則在第二個盒子中任取一個球;若第一次取得標(biāo)有字母B的球,則在第三個盒子中任取一個球.如果第二次取出的是紅球,則稱試驗成功,求試驗成功的概率.
解:設(shè)A={從第一個盒子中取得標(biāo)有字母A的球},
B={從第一個盒子中取得標(biāo)有字母B的球},
R={第二次取出的球是紅球},
則容易求得P(A)=,P(B)=,
P(R|A)=,P(R|B)=.
事件“試驗成功”表示為RA∪RB,又事件RA與事件RB互斥,
故由概率的加法公式,得
P(RA∪RB)=P(RA)+P(RB)
=P(R|A)P(A)+P(R|B)P(B)
=+=0.59.