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1、2019人教版精品教學(xué)資料高中選修數(shù)學(xué)
第三章 統(tǒng)計案例
3.1 回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用
第2課時 線性回歸分析
A級 基礎(chǔ)鞏固
一、選擇題
1.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)各自對A,B兩變量的線性相關(guān)性做實驗,并用回歸分析方法分別求得相關(guān)系數(shù)r與殘差平方和m如下表所示:
分類
甲
乙
丙
丁
r
0.82
0.78
0.69
0.85
m
106
115
124
103
則哪位同學(xué)的試驗結(jié)果體現(xiàn)A、B兩變量有更強(qiáng)的線性相關(guān)性( )
A.甲 B.乙
C.丙 D.丁
解析:r越接近1,相關(guān)性越強(qiáng),殘差平方和m越小
2、,相關(guān)性越強(qiáng),所以選D正確.
答案:D
2.已知具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個變量x,y之間的一組數(shù)據(jù)如下,且回歸方程是=0.95x+a,則當(dāng)x=6時,y的預(yù)測值為( )
x
0
1
2
3
4
y
2.2
4.3
4.5
4.8
6.7
A.8.4 B.8.3 C.8.2 D.8.1
解析:由已知可得x==2,y==4.5,
所以4.5=0.952+a,所以a=2.6,
所以回歸方程是=0.95x+2.6,
所以當(dāng)x=6時,y的預(yù)測值=0.956+2.6=8.3.
答案:B
3.若某地財政收入x與支出y滿足線性回歸模型y=bx+a+e(單位:億元
3、),其中b=0.8,a=2,|e|<0.5,如果今年該地區(qū)財政收入10億元,年支出預(yù)計不會超過( )
A.10億元 B.9億元 C.10.5億元 D.9.5億元
解析:x=10時,=0.810+2=10.
因為|e|<0.5,所以年支出預(yù)計不會超過10.5億元.
答案:C
4.通過殘差圖我們發(fā)現(xiàn)在采集樣本點過程中,樣本點數(shù)據(jù)不準(zhǔn)確的是( )
A.第四個 B.第五個
C.第六個 D.第八個
解析:由題圖可知,第六個的數(shù)據(jù)偏差最大,所以第六個數(shù)據(jù)不準(zhǔn)確.
答案:C
5.如圖所示,5個(x,y)數(shù)據(jù),去掉D(3,10)后,下列說法錯誤的是( )
A.
4、相關(guān)系數(shù)r變大
B.殘差平方和變大
C.相關(guān)指數(shù)R2變大
D.解釋變量x與預(yù)報變量y的相關(guān)性變強(qiáng)
解析:由散點圖知,去掉D后,x與y的相關(guān)性變強(qiáng),且為正相關(guān),所以r變大,R2變大,殘差平方和變?。?
答案:B
二、填空題
6.若一組觀測值(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)之間滿足yi=bxi+a+ei(i=1,2,…,n),且ei恒為0,則R2為________.
解析:由ei恒為0,知yi=i,即yi-i=0,
答案:1
7.x,y滿足如下表的關(guān)系:
x
0.2
0.6
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
2.2
y
5、0.04
0.36
1
1.4
1.9
2.5
3.2
3.98
4.82
則x,y之間符合的函數(shù)模型為________.
解析:通過數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)y的值與x的平方值比較接近,所以x,y之間的函數(shù)模型為y=x2.
答案:y=x2
8.關(guān)于x與y,有如下數(shù)據(jù):
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
有如下的兩個模型:(1)=6.5x+17.5;(2)=7x+17.通過殘差分析發(fā)現(xiàn)第(1)個線性回歸模型比第(2)個擬合效果好.則R________R,Q1________Q2(用大于,小于號填空,R,Q分別是相關(guān)指數(shù)和殘差平方和).
6、解析:根據(jù)相關(guān)指數(shù)和殘差平方和的意義知R>R,Q1<Q2.
答案:>?。?
三、解答題
9.某服裝店經(jīng)營某種服裝,在某周內(nèi)純獲利y(單位:元)與該周每天銷售這種服裝件數(shù)x之間的一組數(shù)據(jù)如下表:
x
3
4
5
6
7
8
9
y
66
69
73
81
89
90
91
(1)求樣本點的中心;
(2)畫出散點圖;
(3)求純獲利y與每天銷售件數(shù)x之間的回歸方程.
解:(1)x=6,y≈79.86,即樣本點的中心為(6,79.86).
(2)散點圖如圖所示:
(3)因為=≈4.75,
=-x≈51.36,所以=4.75x+51.36.
7、10.關(guān)于x與y有以下數(shù)據(jù):
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
已知x與y線性相關(guān),由最小二乘法得=6.5.
(1)求y與x的線性回歸方程;
(2)現(xiàn)有第二個線性模型:=7x+17,且R2=0.82.若與(1)的線性模型比較,哪一個線性模型擬合效果比較好,請說明理由.
解:(1)依題意設(shè)y與x的線性回歸方程為=6.5x+.
==5,==50,因為=6.5x+經(jīng)過(,),所以y與x的線性回歸方程為=6.5x+17.5 .所以50=6.55+.所以=17.5.
(2)由(1)的線性模型得yi-yi與yi-的關(guān)系如下表所示:
yi
8、-yi
-0.5
-3.5
10
-6.5
0.5
yi-
-20
-10
10
0
20
由于R=0.845,R2=0.82知R>R2,所以(1)的線性模型擬合效果比較好.
B級 能力提升
1.根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù):
x
3
4
5
6
7
y
4.0
2.5
-0.5
0.5
-2.0
得到的回歸方程為=bx+a,若a=7.9,則x每增加 1個單位,y就( )
A.增加1.4個單位 B.減少1.4個單位
C.增加1.2個單位 D.減少1.2個單位
解析:易知x=(3+4+5+6+7)=5,
y=(4+2.5-0.5
9、+0.5-2)=0.9,
所以樣本點中心為(5,0.9),
所以0.9=5b+7.9,所以b=-1.4,
所以x每增加1個單位,y就減少1.4個單位.故選B.
答案:B
2.若某函數(shù)型相對一組數(shù)據(jù)的殘差平方和為89,其相關(guān)指數(shù)為0.95,則總偏差平方和為________,回歸平方和為________.
解析:因為R2=1-,
0.95=1-,所以總偏差平方和為1 780;回歸平方和=總偏差平方和-殘差平方和=1 780-89=1 691.
答案:1 780 1 691
3.某運動員訓(xùn)練次數(shù)與成績之間的數(shù)據(jù)關(guān)系如下:
次數(shù)x
30
33
35
37
39
44
10、
46
50
成績y
30
34
37
39
42
46
48
51
(1)作出散點圖;
(2)求出回歸方程;
(3)作出殘差圖;
(4)計算相關(guān)指數(shù)R2;
(5)試預(yù)測該運動員訓(xùn)練47次及55次的成績.
解:(1)作出該運動員訓(xùn)練次數(shù)(x)與成績(y)之間的散點圖,如圖所示,由散點圖可知,它們之間具有線性相關(guān)關(guān)系.
(2)=39.25,=40.875, =13 180,
=-=-0.003 88.
所以回歸方程為=1.0415x-0.003 88.
(3)作殘差圖如圖所示,由圖可知,殘差點比較均勻地分布在水平帶狀區(qū)域中,說明選用的模型比較合適.
(4)計算得相關(guān)指數(shù)R2=0.985 5,說明了該運動員的成績的差異有98.55%是由訓(xùn)練次數(shù)引起的.
(5)由上述分析可知,我們可用回歸方程=1.041 5x-0.003 88作為該運動員成績的預(yù)報值.
將x=47和x=55分別代入該方程可得y≈49和y≈57.
故預(yù)測該運動員訓(xùn)練47次和55次的成績分別為49和57.