高考數(shù)學文二輪復習教師用書：第1部分 重點強化專題 專題3 突破點6 古典概型與幾何概型 Word版含答案

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1、 高考數(shù)學精品復習資料 2019.5 突破點6　古典概型與幾何概型 [核心知識提煉] 提煉1 古典概型問題的求解技巧 (1)直接列舉：涉及一些常見的古典概型問題時，往往把事件發(fā)生的所有結(jié)果逐一列舉出來，然后進行求解． (2)畫樹狀圖：涉及一些特殊古典概型問題時，直接列舉容易出錯，通過畫樹狀圖，列舉過程更具有直觀性、條理性，使列舉結(jié)果不重、不漏． (3)逆向思維：對于較復雜的古典概型問題，若直接求解比較困難，可利用逆向思維，先求其對立事件的概率，進而可得所求事件的概率． (4)活用對稱：對于一些具有一定對稱性

2、的古典概型問題，通過列舉基本事件個數(shù)結(jié)合古典概型的概率公式來處理反而比較復雜，利用對稱思維，可以快速解決. 提煉2 幾何度量法求解幾何概型 準確確定度量方式和度量公式是求解幾何概型的關鍵，常見的幾何度量涉及的測度主要包括長度、面積、體積、角度等. 提煉3 求概率的兩種常用方法 (1)將所求事件轉(zhuǎn)化成幾個彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率． (2)若一個較復雜的事件的對立面的分類較少，可考慮利用對立事件的概率公式，即“正難則反”．它常用來求“至少”或“至多”型事件的概率． [高考真題回訪] 回訪1　古典概型 1．(20xx全國卷Ⅱ)從分別寫有1,2,3,4,5的5張

3、卡片中隨機抽取1張，放回后再隨機抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為(　　) A.　　　 B．　　　 C.　　　 D． D　[從5張卡片中隨機抽取1張，放回后再隨機抽取1張的情況如圖： 基本事件總數(shù)為25，第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的事件數(shù)為10， ∴所求概率P＝＝. 故選D.] 2．(20xx全國卷Ⅰ)為美化環(huán)境，從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個花壇中，余下的2種花種在另一個花壇中，則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是(　　) A.　　 　 B.　　 　 C.　　 　 D. C　[從4種顏色的花中任選2

4、種顏色的花種在一個花壇中，余下2種顏色的花種在另一個花壇的種數(shù)有：紅黃—白紫、紅白—黃紫、紅紫—白黃、黃白—紅紫、黃紫—紅白、白紫—紅黃，共6種，其中紅色和紫色的花不在同一花壇的種數(shù)有：紅黃—白紫、紅白—黃紫、黃紫—紅白、白紫—紅黃，共4種，故所求概率為P＝＝，故選C.] 3.(20xx全國卷Ⅰ)將2本不同的數(shù)學書和1本語文書在書架上隨機排成一行，則2本數(shù)學書相鄰的概率為________． 　[兩本不同的數(shù)學書用a1，a2表示，語文書用b表示，則Ω＝{(a1，a2，b)，(a1，b，a2)，(a2，a1，b)，(a2，b，a1)，(b， a1，a2)，(b，a2，a1)}．于是兩本數(shù)學書

5、相鄰的情況有4種，故所求概率為＝.] 回訪2　幾何概型 4．(20xx全國卷Ⅰ)如圖61，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖．正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關于正方形的中心成中心對稱．在正方形內(nèi)隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是(　　) 圖61 A. B. C. D. B　[不妨設正方形ABCD的邊長為2，則正方形內(nèi)切圓的半徑為1，可得S正方形＝4. 由圓中的黑色部分和白色部分關于正方形的中心成中心對稱，得S黑＝S白＝S圓＝，所以由幾何概型知所求概率P＝＝＝. 故選B.] 5．(20xx全國卷Ⅱ)某路口人行橫道的信號燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn)，紅燈持續(xù)

6、時間為40秒．若一名行人來到該路口遇到紅燈，則至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為(　　) A. B. C. D. B　[如圖，若該行人在時間段AB的某一時刻來到該路口，則該行人至少等待15秒才出現(xiàn)綠燈．AB長度為40－15＝25，由幾何概型的概率公式知，至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為＝，故選B.] 熱點題型1　古典概型 題型分析：古典概型是高考考查概率的核心，問題背景大多是取球、選人、組數(shù)等，求解的關鍵是準確列舉基本事件，難度較?。? 【例1】　(1)一個袋子中有5個大小相同的球，其中3個白球與2個黑球，先從袋中任意取出一個球，取出后不放回，然后從袋中任

7、意取出一個球，則第一次為白球、第二次為黑球的概率為(　　) A.　　　　　　　 B． C. D. (2)已知M＝{1,2,3,4}，若a∈M，b∈M，則函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋x－3在R上為增函數(shù)的概率是(　　) 【導學號：04024067】 A. B. C. D. (1)B　(2)A　[(1)設3個白球分別為a1，a2，a3,2個黑球分別為b1，b2，則先后從中取出2個球的所有可能結(jié)果為(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)，(a2，a1)，(

8、a3，a1)，(b1，a1)，(b2，a1)，(a3，a2)，(b1，a2)，(b2，a2)，(b1，a3)，(b2，a3)，(b2，b1)，共20種． 其中滿足第一次為白球、第二次為黑球的有(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，共6種，故所求概率為＝.故選B. (2)記事件A為“函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋x－3在R上為增函數(shù)”． 因為f(x)＝ax3＋bx2＋x－3，所以f′(x)＝3ax2＋2bx＋1. 因為函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù)，所以f′(x)≥0在R上恒成立． 又a>0，所以Δ＝(2b)2－43a＝4b2－12

9、a≤0在R上恒成立，即a≥. 所以當b＝1時，有a≥，故a可取1,2,3,4，共4個數(shù)； 當b＝2時，有a≥，故a可取2,3,4，共3個數(shù)； 當b＝3時，有a≥3，故a可取3,4，共2個數(shù)； 當b＝4時，有a≥，故a無可取值． 綜上，事件A包含的基本事件有4＋3＋2＝9(種)． 又a，b∈{1,2,3,4}，所以(a，b)共有44＝16(種)． 故所求事件A的概率為P(A)＝.故選A.] [方法指津] 利用古典概型求事件概率的關鍵及注意點 1．關鍵：正確列舉出基本事件的總數(shù)和待求事件包括的基本事件數(shù)． 2．注意點：(1)對于較復雜的題目，列出事件數(shù)時要正確分類，分類時應不

10、重不漏． (2)當直接求解有困難時，可考慮求其對立事件的概率． [變式訓練1]　(20xx南京二模)某校有三個興趣小組，甲、乙兩名學生每人選擇其中一個參加，且每人參加每個興趣小組的可能性相同，則甲、乙不在同一個興趣小組的概率為________． 　[設三個興趣小組分別為a，b，c，則甲、乙兩名學生選擇興趣小組的可能結(jié)果有(a，a)，(a，b)，(a，c)，(b，a)，(b，b)，(b，c)，(c，a)，(c，b)，(c，c)，共9種．其中甲、乙不在同一個興趣小組的結(jié)果有6種，故所求概率為P＝＝.] 熱點題型2　幾何概型 題型分析：高考試題中幾何概型主要考查線段型和面積型．求解幾何概型

11、的關鍵是計算線段的長度、平面圖形的面積等，難度較小． 【例2】(1)(20xx廣州二模)在區(qū)間[－1,5]上隨機地取一個實數(shù)a，則方程x2－2ax＋4a－3＝0有兩個正根的概率為(　　) A. B. C. D. (2)某校早上8：00開始上課，假設該校學生小張與小王在早上7：30～7：50之間到校，且每人在該時間段的任何時刻到校是等可能的，則小張比小王至少早5分鐘到校的概率為__________．(用數(shù)字作答) 【導學號：04024068】(1)C　(2)　[(1)因為方程x2－2ax＋4a－3＝0有兩個正根，所以解得＜a≤1或a≥3，所以所求概率P＝＝，故選C. (2)設小張

12、和小王到校的時間分別為x和y， 則則滿足條件的區(qū)域如圖中陰影部分所示． 故所求概率P＝＝.] [方法指津] 判斷幾何概型中的幾何度量形式的方法 1．當題干涉及兩個變量問題時，一般與面積有關． 2．當題干涉及一個變量問題時，要看變量可以等可能到達的區(qū)域：若變量在線段上移動，則幾何度量是長度；若變量在平面區(qū)域(空間區(qū)域)內(nèi)移動，則幾何度量是面積(體積)． 提醒：數(shù)形結(jié)合是解決幾何概型問題的常用方法，求解時，畫圖務必準確、直觀． [變式訓練2]　如圖62，圓C內(nèi)切于扇形AOB，∠AOB＝，若向扇形AOB內(nèi)隨機投擲600個點，則落入圓內(nèi)的點的個數(shù)估計值為(　　) 圖62 A．100　　　　　　 B．200 C．400 D．450 C　[如圖，設OA與圓C相切于點D，連接OC，CD，∠AOB＝，則∠COD＝， 設圓C的半徑為1，可得OC＝2，所以扇形的半徑為3， 由幾何概型可得點在圓C內(nèi)的概率為P＝＝＝，故向扇形AOB內(nèi)隨機投擲600個點，則落入圓內(nèi)的點的個數(shù)估計為600＝400.]