高考數(shù)學文二輪復習教師用書：第1部分 重點強化專題 專題1 突破點2 解三角形 Word版含答案

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1、 高考數(shù)學精品復習資料 2019.5 突破點2　解三角形 [核心知識提煉] 提煉1 常見解三角形的題型及解法 (1)已知兩角及一邊，利用正弦定理求解． (2)已知兩邊及一邊的對角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情況可能不唯一． (3)已知兩邊及其夾角，利用余弦定理求解． (4)已知三邊，利用余弦定理求解. 提煉2 三角形的常用面積公式 設△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c ，其面積為S. (1)S＝aha＝bhb＝chc(ha，hb，hc分別表示a，b，c邊上的高)． (2)S＝abs

2、in C＝bcsin A＝casin B. (3)S＝r(a＋b＋c)(r為三角形ABC內(nèi)切圓的半徑)． [高考真題回訪] 回訪1　正、余弦定理的應用 1.(20xx全國卷Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a＝，c＝2，cos A＝，則b＝(　　) A.　　　 B．　　　 C．2　　　 D．3 D　[由余弦定理得5＝b2＋4－2b2， 解得b＝3或b＝－(舍去)，故選D.] 2．(20xx全國卷Ⅲ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知C＝60，b＝，c＝3，則A＝________. 75　[如圖，由正弦定理，得＝，∴sin

3、B＝. 又c>b，∴B＝45， ∴A＝180－60－45＝75.] 3．(20xx全國卷Ⅱ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，則b＝________. 　[在△ABC中，∵cos A＝，cos C＝， ∴sin A＝，sin C＝，∴sin B＝sin(A＋C) ＝sin Acos C＋cos Asin C＝＋＝. 又∵＝，∴b＝＝＝.] 回訪2　三角形的面積問題 4．(20xx全國卷Ⅱ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知b＝2，B＝，C＝，則△ABC的面積為(　　) A．2＋2 B.＋1 C

4、．2－2 D.－1 B　[∵B＝，C＝，∴A＝π－B－C＝π－－＝. 由正弦定理＝，得＝， 即＝，∴c＝2. ∴S△ABC＝bcsin A＝22sin ＝＋1.故選B.] 回訪3　正、余弦定理的實際應用 5．(20xx全國卷Ⅰ)如圖21，為測量山高MN，選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點．從A點測得M點的仰角∠MAN＝60，C點的仰角∠CAB＝45以及∠MAC＝75；從C點測得∠MCA＝60.已知山高BC＝100 m，則山高MN＝________m. 圖21 150　[根據(jù)圖示，AC＝100 m. 在△MAC中，∠CMA＝180－75－60＝45. 由正弦定理得＝?

5、AM＝100 m. 在△AMN中，＝sin 60， ∴MN＝100＝150(m)．] 熱點題型1　正、余弦定理的應用 題型分析：利用正、余弦定理解題是歷年高考的熱點，也是必考點，求解的關鍵是合理應用正、余弦定理實現(xiàn)邊角的互化． 【例1】　在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且＋＝. (1)證明：sin Asin B＝sin C； (2)若b2＋c2－a2＝bc，求tan B. 【導學號：04024038】 [解] (1)證明：根據(jù)正弦定理，可設＝＝＝k(k>0)． 則a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C， 代入＋＝中，有 ＋＝，

6、 2分 即sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B＝sin(A＋B)． 4分 在△ABC中，由A＋B＋C＝π， 有sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C， 所以sin Asin B＝sin C. 6分 (2)由已知，b2＋c2－a2＝bc，根據(jù)余弦定理，有 cos A＝＝，8分 所以sin A＝＝. 9分 由(1)知sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B， 所以sin B＝cos B＋ sin B， 11分 故tan B＝＝4． 12分 [方法指津] 關于解三角形問題，一般要用到三角形的內(nèi)角和定理，

7、正、余弦定理及有關三角形的性質(zhì)，常見的三角變換方法和原則都適用，同時要注意“三統(tǒng)一”，即“統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)、統(tǒng)一結(jié)構(gòu)”，這是使問題獲得解決的突破口． [變式訓練1] (1)(20xx全國卷Ⅱ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若2bcos B＝acos C＋ccos A，則B＝________. 　[法一：由2bcos B＝acos C＋ccos A及正弦定理， 得2sin Bcos B＝sin Acos C＋sin Ccos A. ∴2sin Bcos B＝sin(A＋C)． 又A＋B＋C＝π，∴A＋C＝π－B. ∴2sin Bcos B＝sin(π－B)＝si

8、n B. 又sin B≠0，∴cos B＝，∴B＝. 法二：∵在△ABC中，acos C＋ccos A＝b， ∴條件等式變?yōu)?bcos B＝b，∴cos B＝. 又0＜B＜π，∴B＝.] (2)在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，且acos B＋bcos(B＋C)＝0. ①證明：△ABC為等腰三角形； ②若2(b2＋c2－a2)＝bc，求cos B＋cos C的值． [解]?、僮C明：∵acos B＋bcos (B＋C)＝0， ∴由正弦定理得sin Acos B＋sin Bcos(π－A)＝0， 即sin Acos B－sin Bcos A＝0， 3分

9、∴sin(A－B)＝0，∴A－B＝kπ，k∈Z． 4分 ∵A，B是△ABC的兩內(nèi)角， ∴A－B＝0，即A＝B， 5分 ∴△ABC是等腰三角形． 6分 ②由2(b2＋c2－a2)＝bc， 得＝， 7分 由余弦定理得cos A＝， 8分 cos C＝cos(π－2A)＝－cos 2A＝1－2cos2 A＝． 10分 ∵A＝B，∴cos B＝cos A＝， 11分 ∴cos B＋cos C＝＋＝． 12分 熱點題型2　三角形面積的求解問題 題型分析：三角形面積的計算及與三角形面積有關的最值問題是解三角形的重要命題點之一，本質(zhì)上還是考查利用正、余弦定理解

10、三角形，難度中等． 【例2】　設f(x)＝sin xcos x－cos2. (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若f＝0，a＝1，求△ABC面積的最大值． 【導學號：04024039】 [解] (1)由題意知 f(x)＝－ ＝－＝sin 2x－． 2分 由－＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，可得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.由＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，可得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z． 4分 所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(k∈Z)；單調(diào)遞減區(qū)間是(k∈Z)． 6分 (2)由f＝sin A－＝0，得sin A

11、＝， 7分 由題意知A為銳角，所以cos A＝． 8分 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，可得1＋bc＝b2＋c2≥2bc， 10分 即bc≤2＋，當且僅當b＝c時等號成立． 因此bcsin A≤， 所以△ABC面積的最大值為． 12分 [方法指津] 1．在研究三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)時常先將函數(shù)的解析式利用三角恒等變換轉(zhuǎn)化為y＝Asin(ωx＋φ)＋B(或y＝Acos(ωx＋φ)＋B，y＝Atan(ωx＋φ)＋B)的形式，進而利用函數(shù)y＝sin x(或y＝cos x，y＝tan x)的圖象與性質(zhì)解決問題． 2．在三角形中，正、余弦定理可以實現(xiàn)邊角互化，尤其在余

12、弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A中，有a2＋c2和ac兩項，二者的關系a2＋c2＝(a＋c)2－2ac經(jīng)常用到，有時還可利用基本不等式求最值． [變式訓練2]　(20xx深圳二模)已知a，b，c分別為△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，2b＝asin B＋bcos A，c＝4. (1)求A； (2)若D是BC的中點，AD＝，求△ABC的面積． [解] (1)由2b＝asin B＋bcos A及正弦定理， 又0＜B＜π， 可得2＝sin A＋cos A， 2分 即有sin＝1， 4分 ∵0＜A＜π，∴＜A＋＜， ∴A＋＝，∴A＝． 6分 (2)設BD＝CD＝x，則BC＝2x， 由余弦定理得cos∠BAC＝＝， 得4x2＝b2－4b＋16.　① 7分 ∵∠ADB＝180－∠ADC， ∴cos∠ADB＋cos∠ADC＝0， 8分 由余弦定理得＋＝0， 得2x2＝b2＋2.?、? 9分 聯(lián)立①②，得b2＋4b－12＝0，解得b＝2(舍負)， 11分 ∴S△ABC＝bcsin∠BAC＝24＝2． 12分