高考數(shù)學(xué)備考沖刺之易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛系列專題 平面解析幾何學(xué)生版
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1、 高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 平面解析幾何 一、高考預(yù)測(cè) 解析幾何初步的內(nèi)容主要是直線與方程、圓與方程和空間直角坐標(biāo)系,該部分內(nèi)容是整個(gè)解析幾何的基礎(chǔ),在解析幾何的知識(shí)體系中占有重要位置,但由于在高中階段平面解析幾何的主要內(nèi)容是圓錐曲線與方程,故在該部分高考考查的分值不多,在高考試卷中一般就是一個(gè)選擇題或者填空題考查直線與方程、圓與方程的基本問題,偏向于考查直線與圓的綜合,試題難度不大,對(duì)直線方程、圓的方程的深入考查則與圓錐曲線結(jié)合進(jìn)行.根據(jù)近年來(lái)各地高考的情況,解析幾何初步的考查是穩(wěn)定的,預(yù)計(jì)20xx年該部分的考
2、查仍然是以選擇題或者填空題考查直線與圓的基礎(chǔ)知識(shí)和方法,而在解析幾何解答題中考查該部分知識(shí)的應(yīng)用. 圓錐曲線與方程是高考考查的核心內(nèi)容之一,在高考中一般有1~2個(gè)選擇題或者填空題,一個(gè)解答題.選擇題或者填空題在于有針對(duì)性地考查橢圓、雙曲線、拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)及其應(yīng)用,試題考查主要針對(duì)圓錐曲線本身,綜合性較小,試題的難度一般不大;解答題中主要是以橢圓為基本依托,考查橢圓方程的求解、考查直線與曲線的位置關(guān)系,考查數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想等數(shù)學(xué)思想方法,這道解答題往往是試卷的壓軸題之一.由于圓錐曲線與方程是傳統(tǒng)的高中數(shù)學(xué)主干知識(shí),在高考命題上已經(jīng)
3、比較成熟,考查的形式和試題的難度、類型已經(jīng)較為穩(wěn)定,預(yù)計(jì)20xx年仍然是這種考查方式,不會(huì)發(fā)生大的變化. 解析幾何的知識(shí)主線很清晰,就是直線方程、圓的方程、圓錐曲線方程及其簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),復(fù)習(xí)解析幾何時(shí)不能把目標(biāo)僅僅定位在知識(shí)的掌握上,要在解題方法、解題思想上深入下去.解析幾何中基本的解題方法是使用代數(shù)方程的方法研究直線、曲線的某些幾何性質(zhì),代數(shù)方程是解題的橋梁,要掌握一些解方程(組)的方法,掌握一元二次方程的知識(shí)在解析幾何中的應(yīng)用,掌握使用韋達(dá)定理進(jìn)行整體代入的解題方法;數(shù)學(xué)思想方法在解析幾何問題中起著重要作用,數(shù)形結(jié)合思想占首位,其次分類討論思想、函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想,如解析幾何
4、中的最值問題往往就是建立求解目標(biāo)的函數(shù),通過(guò)函數(shù)的最值研究幾何中的最值.復(fù)習(xí)解析幾何時(shí)要充分重視數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用. 二、知識(shí)導(dǎo)學(xué) (一)直線的方程 1.點(diǎn)斜式:;2. 截距式:; 3.兩點(diǎn)式:;4. 截距式:; 5.一般式:,其中A、B不同時(shí)為0. (二)兩條直線的位置關(guān)系 兩條直線,有三種位置關(guān)系:平行(沒有公共點(diǎn));相交(有且只有一個(gè)公共點(diǎn));重合(有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)).在這三種位置關(guān)系中,我們重點(diǎn)研究平行與相交. 設(shè)直線:=+,直線:=+,則 ∥的充要條件是=,且=;⊥的充要條件是=-1. (三)圓的有關(guān)問題 1.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 (r>0),稱為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,其圓
5、心坐標(biāo)為(a,b),半徑為r. 特別地,當(dāng)圓心在原點(diǎn)(0,0),半徑為r時(shí),圓的方程為. 2.圓的一般方程 (>0)稱為圓的一般方程, 其圓心坐標(biāo)為(,),半徑為. 當(dāng)=0時(shí),方程表示一個(gè)點(diǎn)(,); 當(dāng)<0時(shí),方程不表示任何圖形. 3.圓的參數(shù)方程 圓的普通方程與參數(shù)方程之間有如下關(guān)系: (θ為參數(shù)) (θ為參數(shù)) (五)橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 1. 橢圓的幾何性質(zhì):設(shè)橢圓方程為(>>0). ⑴ 范圍: -a≤x≤a,-b≤x≤b,所以橢圓位于直線x=和y=所圍成的矩形里. ⑵ 對(duì)
6、稱性:分別關(guān)于x軸、y軸成軸對(duì)稱,關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱.橢圓的對(duì)稱中心叫做橢圓的中心. ⑶ 頂點(diǎn):有四個(gè)(-a,0)、(a,0)(0,-b)、(0,b). 線段、分別叫做橢圓的長(zhǎng)軸和短軸.它們的長(zhǎng)分別等于2a和2b,a和b分別叫做橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng). 所以橢圓和它的對(duì)稱軸有四個(gè)交點(diǎn),稱為橢圓的頂點(diǎn). ⑷ 離心率:橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比叫做橢圓的離心率.它的值表示橢圓的扁平程度.0<e<1.e越接近于1時(shí),橢圓越扁;反之,e越接近于0時(shí),橢圓就越接近于圓. 2.橢圓的第二定義 ⑴ 定義:平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)M與一個(gè)頂點(diǎn)的距離和它到一條定直線的距離的比是常數(shù)(e<1=時(shí),這個(gè)動(dòng)點(diǎn)
7、的軌跡是橢圓. ⑵ 準(zhǔn)線:根據(jù)橢圓的對(duì)稱性,(>>0)的準(zhǔn)線有兩條,它們的方程(六)橢圓的參數(shù)方程 橢圓(>>0)的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)). 說(shuō)明 ⑴ 這里參數(shù)θ叫做橢圓的離心角.橢圓上點(diǎn)P的離心角θ與直線OP的傾斜角α不同:; ⑵ 橢圓的參數(shù)方程可以由方程與三角恒等式相比較而得到,所以橢圓的參數(shù)方程的實(shí)質(zhì)是三角代換. (七)雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程 1. 雙曲線的定義:平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)、的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)2a(小于||)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.在這個(gè)定義中,要注意條件2a<||,這一條件可以用“三角形的兩邊之差小于第三邊”加以理解.若2a=||,則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是
8、兩條射線;若2a>||,則無(wú)軌跡. 若<時(shí),動(dòng)點(diǎn)的軌跡僅為雙曲線的一個(gè)分支,又若>時(shí),軌跡為雙曲線的另一支.而雙曲線是由兩個(gè)分支組成的,故在定義中應(yīng)為“差的絕對(duì)值”. 2. 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程:和(a>0,b>0).這里,其中||=2c.要注意這里的a、b、c及它們之間的關(guān)系與橢圓中的異同. 3.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程判別方法是:如果項(xiàng)的系數(shù)是正數(shù),則焦點(diǎn)在x軸上;如果項(xiàng)的系數(shù)是正數(shù),則焦點(diǎn)在y軸上.對(duì)于雙曲線,a不一定大于b,因此不能像橢圓那樣,通過(guò)比較分母的大小來(lái)判斷焦點(diǎn)在哪一條坐標(biāo)軸上. 4.求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,應(yīng)注意兩個(gè)問題:⑴ 正確判斷焦點(diǎn)的位置;⑵ 設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程后,
9、運(yùn)用待定系數(shù)法求解. (八)雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 1.雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2a,虛軸長(zhǎng)為2b,離心率>1,離心率e越大,雙曲線的開口越大. 2. 雙曲線的漸近線方程為或表示為.若已知雙曲線的漸近線方程是,即,那么雙曲線的方程具有以下形式: ,其中k是一個(gè)不為零的常數(shù). 3.雙曲線的第二定義:平面內(nèi)到定點(diǎn)(焦點(diǎn))與到定直線(準(zhǔn)線)距離的比是一個(gè)大于1的常數(shù)(離心率)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.對(duì)于雙曲線,它的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(-c,0)和(c,0),與它們對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線方程分別是和.在雙曲線中,a、b、c、e四個(gè)元素間有與的關(guān)系,與橢圓一樣確定雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程只要兩個(gè)獨(dú)立的條件. (九)拋物線的
10、標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì) 1.拋物線的定義:平面內(nèi)到一定點(diǎn)(F)和一條定直線(l)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫拋物線。這個(gè)定點(diǎn)F叫拋物線的焦點(diǎn),這條定直線l叫拋物線的準(zhǔn)線。 需強(qiáng)調(diào)的是,點(diǎn)F不在直線l上,否則軌跡是過(guò)點(diǎn)F且與l垂直的直線,而不是拋物線。 2.拋物線的方程有四種類型:、、、. 對(duì)于以上四種方程:應(yīng)注意掌握它們的規(guī)律:曲線的對(duì)稱軸是哪個(gè)軸,方程中的該項(xiàng)即為一次項(xiàng);一次項(xiàng)前面是正號(hào)則曲線的開口方向向x軸或y軸的正方向;一次項(xiàng)前面是負(fù)號(hào)則曲線的開口方向向x軸或y軸的負(fù)方向。 3.拋物線的幾何性質(zhì),以標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px為例 (1)范圍:x≥0; (2)對(duì)稱軸:對(duì)稱軸為y=0,由方程和
11、圖像均可以看出; (3)頂點(diǎn):O(0,0),注:拋物線亦叫無(wú)心圓錐曲線(因?yàn)闊o(wú)中心); (4)離心率:e=1,由于e是常數(shù),所以拋物線的形狀變化是由方程中的p決定的; (5)準(zhǔn)線方程; (6)焦半徑公式:拋物線上一點(diǎn)P(x1,y1),F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn),對(duì)于四種拋物線的焦半徑公式分別為(p>0): (7)焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式:對(duì)于過(guò)拋物線焦點(diǎn)的弦長(zhǎng),可以用焦半徑公式推導(dǎo)出弦長(zhǎng)公式。設(shè)過(guò)拋物線y2=2px(p>O)的焦點(diǎn)F的弦為AB,A(x1,y1),B(x2,y2),AB的傾斜角為α,則有①|(zhì)AB|=x+x+p ②以上兩公式只適合過(guò)焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)的求法,對(duì)于其它的弦,只能用“弦長(zhǎng)公式”來(lái)
12、求。 (8)直線與拋物線的關(guān)系:直線與拋物線方程聯(lián)立之后得到一元二次方程:x+bx+c=0,當(dāng)a≠0時(shí),兩者的位置關(guān)系的判定和橢圓、雙曲線相同,用判別式法即可;但如果a=0,則直線是拋物線的對(duì)稱軸或是和對(duì)稱軸平行的直線,此時(shí),直線和拋物線相交,但只有一個(gè)公共點(diǎn)。 (十)軌跡方程 ⑴ 曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解;⑵ 以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn). 那么,這個(gè)方程叫做曲線的方程;這條曲線叫做方程的曲線(圖形或軌跡). 注意事項(xiàng) 1. ⑴ 直線的斜率是一個(gè)非常重要的概念,斜率k反映了直線相對(duì)于x軸的傾斜程度.當(dāng)斜率k存在時(shí),直線方程通常用點(diǎn)斜式或斜截式表示,當(dāng)斜率
13、不存在時(shí),直線方程為x=a(a∈R).因此,利用直線的點(diǎn)斜式或斜截式方程解題時(shí),斜率k存在與否,要分別考慮. ⑵ 直線的截距式是兩點(diǎn)式的特例,a、b分別是直線在x軸、y軸上的截距,因?yàn)閍≠0,b≠0,所以當(dāng)直線平行于x軸、平行于y軸或直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn),不能用截距式求出它的方程,而應(yīng)選擇其它形式求解. ⑶求解直線方程的最后結(jié)果,如無(wú)特別強(qiáng)調(diào),都應(yīng)寫成一般式. ⑷當(dāng)直線或的斜率不存在時(shí),可以通過(guò)畫圖容易判定兩條直線是否平行與垂直 ⑸在處理有關(guān)圓的問題,除了合理選擇圓的方程,還要注意圓的對(duì)稱性等幾何性質(zhì)的運(yùn)用,這樣可以簡(jiǎn)化計(jì)算. 2. ⑴用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí),要分清焦點(diǎn)在x軸上還是y
14、軸上,還是兩種都存在. ⑵注意橢圓定義、性質(zhì)的運(yùn)用,熟練地進(jìn)行a、b、c、e間的互求,并能根據(jù)所給的方程畫出橢圓.⑶求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 應(yīng)注意兩個(gè)問題:⑴ 正確判斷焦點(diǎn)的位置;⑵ 設(shè)問題(光線的反射問題);注意證明曲線過(guò)定點(diǎn)方法(兩種方法:特殊化、分離變量)2、注意二元二次方程表示圓的充要條件、善于利用切割線定理、相交弦定理、垂徑定理等平面中圓的有關(guān)定理解題;注意將圓上動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)、定直線的距離的最值轉(zhuǎn)化為圓心到它們的距離;注意圓的內(nèi)接四邊形的一些性質(zhì)以及正弦定理、余弦定理。以過(guò)某點(diǎn)的線段為弦的面積最小的圓是以線段為直徑,而面積最大時(shí),是以該點(diǎn)為線段中點(diǎn)。3、注意圓與橢圓、三角、向量(注意利用
15、加減法轉(zhuǎn)化、利用模與夾角轉(zhuǎn)化、然后考慮坐標(biāo)化)結(jié)合;4、注意構(gòu)建平面上的三點(diǎn)模型求最值,一般涉及“和”的問題有最小值,“差”的問題有最大值,只有當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)才取得最值;5、熟練掌握求橢圓方程、雙曲線方程、拋物線方程的方法:待定系數(shù)法或定義法,注意焦點(diǎn)位置的討論,注意雙曲線的漸近線方程:焦點(diǎn)在軸上時(shí)為 ,焦點(diǎn)在 軸上時(shí)為 ;注意化拋物線方程為標(biāo)準(zhǔn)形式(即2p、p、的關(guān)系);注意利用比例思想,減少變量,不知道焦點(diǎn)位置時(shí),可設(shè)橢圓方程為 。6、熟練利用圓錐曲線的第一、第二定義解題;熟練掌握求離心率的題型與方法,特別提醒在求圓錐曲線方程或離心率的問題時(shí)注意利用比例思想方法,減少變量。7、注意圓錐曲線中
16、的最值等范圍問題:產(chǎn)生不等式的條件一般有:①“ 法”;②離心率 的范圍;③自變量 的范圍;④曲線上的點(diǎn)到頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線的范圍;注意尋找兩個(gè)變量的關(guān)系式,用一個(gè)變量表示另一個(gè)變量,化為單個(gè)變量,建立關(guān)于參數(shù)的目標(biāo)函數(shù),轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域當(dāng)題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義,可考慮利用數(shù)形結(jié)合法, 注意點(diǎn)是要考慮曲線上點(diǎn)坐標(biāo)(x,y)的取值范圍、離心率范圍以及根的判別式范圍。8、求軌跡方程的常見方法:①直接法;★②幾何法;★③定義法;★④相關(guān)點(diǎn)法; 9、注意利用向量方法, 注意垂直、平行、中點(diǎn)等條件以向量形式給出;注意將有關(guān)向量的表達(dá)式合理變形;特別注意遇到角的問題,可以考慮利用向量數(shù)量積解
17、決;10、注意存在性、探索性問題的研究,注意從特殊到一般的方法。 三、易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛 命題角度1對(duì)橢圓相關(guān)知識(shí)的考查 1.設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1、F2,過(guò)F2作橢圓長(zhǎng)軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P,若△FlPF2為等腰直角三角形,則橢圓的離心率是 ( ) [對(duì)癥下藥] C 設(shè)雙曲線方程為=1,則由題意知c=5,=4 則a2=20 b2=5,而a=2 b=∴雙曲線漸近線斜率為±= 3.從集合{1,2,3…,11}中任選兩個(gè)元素作為橢圓方程=1中的m和n,則能組成落在矩形區(qū)域B={(x,y)‖x|<11,且|y|<9}內(nèi)的橢圓個(gè)數(shù)為
18、( ) A.43 B.72 C.86 D.90 [考場(chǎng)錯(cuò)解] D 由題意得,m、n都有10種可能,但m≠n故橢圓的個(gè)數(shù)10×10-10=90. [專家把脈] 沒有注意,x、y的取值不同. [對(duì)癥下藥] B 由題意得m有10種可能,n只能從集合11,2,3,4,5,6,7,81中選取,且m≠n,故橢圓的個(gè)數(shù):10×8-8=72. 4.設(shè)直線l與橢圓=1相交于A、B兩點(diǎn),l又與雙曲線x2-y2=1相交于C、D兩點(diǎn),C、D三等分線段AB,求直線l的方程 ( ) [考場(chǎng)錯(cuò)解] 設(shè)直線l的方程為y=kx+
19、b 如圖所示,l與橢圓,雙曲線的交點(diǎn)為A(x1,y1)、B (x2,y2)、C(x3,y3)、D(x4,y4),依題意有=3 由所以x1+x2=- 由得(1-k2)x2-2bkx-(b2+1)=0 (2) 若k=±1,則l與雙曲線最多只有一個(gè)交點(diǎn),不合題意,故k≠±1 所以x3+x4=、由x3-x1=x2-x4 x1+x2=x3+x4-bk=0或b =0 ①當(dāng)k=0時(shí),由(1)得x1、2=± 由(2)得x3、4=±由=3(x4-x1)即故l的方程為y=± ②當(dāng)b=0時(shí),由(1)得x1、2=
20、7;,由(2)得x3、4=由=3(x4-x3)即綜上所述:直線l的方程為:y= [專家把脈] 用斜截式設(shè)直線方程時(shí)沒有注意斜率是否存在,致使造成思維片面,漏解. [對(duì)癥下藥] 解法一:首先討論l不與x軸垂直時(shí)的,情況. 設(shè)直線l的方程為y=kx+b,如圖所示,l與橢圓、雙曲線的交點(diǎn)為:A(x1,y1)、B(x2, y2)、C(x3,y3)、D(x4,y4),依題意有.由得(16+25k2)x2+50bkx+(25b2-400)=0.(1) 所以x1+x2=-由得(1-k2+x2-2bkx-(b2+1)=0. 若k=±1,則l與雙曲線最多只有一個(gè)交點(diǎn),不合題意,故
21、k≠±1.所以x3+x4= 由x1+x2=x2+x4或 b=0. ①當(dāng)k=0時(shí),由(1)得由(2)得x3、4=±由(x4-x3). 即故l的方程為 y=± ②當(dāng)b=0時(shí),由(1)得x1、2= 自(2)得x3、4=(x4-x3).即 故l的方程為y=.再討論l與x軸垂直時(shí)的情況. 設(shè)直線l的方程為x=c,分別代入橢圓和雙曲線方程可解得yl、2= y3、4=即 綜上所述,直線l的方程是:y=x、y=±和x= ②當(dāng)y0=0,x0≠0,由(2)得x4=x3≠0,這時(shí)l平行y軸.設(shè)l的方程為x=c,分別代入橢圓、雙曲線方程得:yl、2=y3、4
22、=∵y2-y1=3(y4-y3) 故l的方程為: ③當(dāng)x0=0,y0=0時(shí),這時(shí)l通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)且不與x軸垂直.設(shè)l的方程為y=kx,分別代入橢圓、雙曲線方程得:x1、2=故l的方程為y=綜上所述,直線l的方程是:y=、y=和x= 5.設(shè)A、B是橢圓3x2+y2=λ上的兩點(diǎn),點(diǎn)N(1,3)是線段AB的中點(diǎn),線段AB的垂直平分線與橢圓相交于C、D兩點(diǎn). (1)確定A的取值范圍,并求直線AB的方程; (Ⅱ)試判斷是否存在這樣的A,使得A、B、C、D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上?并說(shuō)明理由.(此題不要求在答題卡上畫圖) [考場(chǎng)錯(cuò)解] (1)設(shè)A(x1,y1)B(x2,y2)則有:(x1-x2)(x1+
23、x2)+(yl-y2)(yl+y2)=0 依題意,x1≠x2 ∴kAB-∵N(1,3)是AB的中點(diǎn),∴x1+x2=2,yl+y2=6從而kAB=-9又由N(1,3)在橢圓內(nèi),∴λ<3×12+32=12 ∴λ的取值范圍是(-∞,12)直線AB的方程為y-3=-9(x-1)即9x+y-12=0 [專家把脈] ①用“差比法”求斜率時(shí)kAB=這地方很容易出錯(cuò).②N(1,3)在橢圓內(nèi),λ>3×12+32=12應(yīng)用結(jié)論時(shí)也易混淆. [對(duì)癥下藥] (1)解法1:依題意,可設(shè)直線AB的方程為y=A(x-1)+3,代入3x2+y2=λ,整理得(k2+3)x2-2k(
24、k-3)x+(k-3)2-λ=0.① 設(shè)A(x1,y1)、B(x2、y2),則x1,x2是方程①的兩個(gè)不同的根, ∴△=4[λ(k2+3)-3(k-3)2]>0,② 且x1+x2=,由N(1,3)是線段AB的中點(diǎn),得,∴A(k-3)=k2+3.解得k=-1,代入②得,λ>12,即λ的取值范圍是(12,+∞).于是,直線AB的方程為y-3=-(x-1),即x+y-4=0. 解法2:設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),則有(x1-x2)(x1+x2)+(y1-y2)(y1+y2)=0 依題意,x1≠x2,∴kAB=-∵N(1,3)是AB的中點(diǎn),∴x1+x2=2,y
25、l+y2=6,從而kAB=-1.又由N(1,3)在橢圓內(nèi),∴λ>3×12+32=12, ∴λ的取值范圍是(12,∞).直線AB的方程為y-3=-(x-1),即x+y-4=0. (Ⅱ)解法1:∵CD垂直平分AB,∴直線CD的方程為y-3 =x-1,即x-y+2=0,代入橢圓方程,整理得4x2+4x+4 又設(shè)C(x3,y3),D(x4,y4),CD的中點(diǎn)為M(x0,y0),則x3, x4是方程③的兩根,∴x3+x4=-1,且x0=(x3+x4)=-,y0=x0+2=,即M(-,).于是由弦長(zhǎng)公式可得|CD|=④將直線AB的方程x+y-4=0,代入橢圓方程得4x2-8x+ 16
26、-λ=0 ⑤同理可得|AB|=⑥ ∵當(dāng)λ>12時(shí),>,∴|AB|<|CD| 假設(shè)存在λ>12,使得A、B、C、D四點(diǎn)共圓,則CD必為圓的直徑,點(diǎn)M為圓心.點(diǎn)M到直線AB的距離為d=⑦ 于是,由④、⑥、⑦式和勾股定理可得 |MA|2=|MB|2=d2+ 故當(dāng)λ>12時(shí),A、B、C、D四點(diǎn)均在以M為圓心,為半徑的圓上. (注:上述解法中最后一步可按如下解法獲得:) A、B、C、D共圓△ACD為直角三角形,A為直角|AN|2 =|CN|·|DN|,即. ⑧ 專家會(huì)診 1.重點(diǎn)掌握橢圓的定義和性質(zhì),加強(qiáng)直線與橢圓位置關(guān)系問題的研究.2.注重思維的全面
27、性,例如求橢圓方程時(shí)只考慮到焦點(diǎn)在,軸上的情形;研究直線與橢圓位置關(guān)系時(shí)忽略了斜率不存在的情形3.注重思想方法的訓(xùn)練,在分析直線與橢圓位置關(guān)系時(shí)要利用數(shù)形結(jié)合和設(shè)而不求法與弦長(zhǎng)公式韋達(dá)定理聯(lián)系去解決;關(guān)于參數(shù)范圍問題常用思路有:判別式法,自身范圍法等.求橢圓的方程常用方法有:定義法,直接法,待定系數(shù)法,相關(guān)點(diǎn)法,參數(shù)法等. 命題角度2對(duì)雙曲線相關(guān)知識(shí)的考查 1.已知雙曲線x2-=1的焦點(diǎn)為F1、F2,點(diǎn)M在雙曲線上且,則點(diǎn)M到x軸的距離為 ( ) [考場(chǎng)錯(cuò)解] B [專家把脈] 沒有理解M到x軸的距離的意義. [對(duì)癥下藥] C 由題意得a=1,b=,
28、c=可設(shè)M (x0,y0)|MF1|=|ex0+a|=|x0+1|, |MF2|= |ex0-a|=|x0-1| 由|MF1|2+|MF2|2=|F1F2|2得 x02= 即點(diǎn)M到x軸的距離為 2.已知雙曲線=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F,右準(zhǔn)線與一條漸近線交于點(diǎn)A,△OAF的面積為(O為原點(diǎn)),則兩條漸近線的夾角為 ( ) A.30° B.45° C.60° D.90° [考場(chǎng)錯(cuò)解] B [專家把脈] 把兩條漸近線的夾角看成漸近線的傾斜角. [對(duì)癥下藥] D 由題意得A(
29、)s△OAF=·c·,則兩條漸近線為了y=x與y=-x則求兩條漸近線的夾角為90°. 3.雙曲線=1(a>1,b>0)的焦距為2c,直線l過(guò)點(diǎn)(a,0)和(0,b),且點(diǎn)(1,0)到直線l的距離與點(diǎn)(-1,0)到直線l的距離之和s≥c,求雙曲線的離心率e的取值范圍. [考場(chǎng)錯(cuò)解] 直線l的方程為=1即bx+ay-ab=0點(diǎn)(-1,0)到直線l的距離:,點(diǎn)(1,0)到直線l的距離: ∴+=得5a于是得5 即4e4-25e2+25≤0解不等式得≤e2≤5,所以e的取值范圍是 [專家把脈] 沒有理解雙曲線離心率的意義及自身存在的范
30、圍e>1. [對(duì)癥下藥] 解法:直線J的方程為=1,即 bx+ay-ab=0. 由點(diǎn)到直線的距離公式,且a>1,得到點(diǎn)(1,0)到直線l的距離d1= 同理得到點(diǎn)(-1,0)到直線l的距離d2=s=d1+d2= 由 解不等式,得 專家會(huì)診 1.注意雙曲線兩個(gè)定義的理解及應(yīng)用,在第二定義中,要強(qiáng)調(diào)e>1,必須明確焦點(diǎn)與準(zhǔn)線的對(duì)應(yīng)性 2.由給定條件求出雙曲線的方程,常用待定系數(shù)法,當(dāng)焦點(diǎn)位置不確定時(shí),方程可能有兩種形式,應(yīng)防止遺漏. 3.掌握參數(shù)a、b、c、e的關(guān)系,漸近線及其幾何意義,并注意靈活運(yùn)用. 命題角度3對(duì)拋物線相關(guān)知識(shí)的考查。 1.過(guò)拋物線y2=
31、4x的焦點(diǎn)作一條直線與拋物線相交于A、B兩點(diǎn),它們的橫坐標(biāo)之和等于5,則這樣的直線 ( ) A.有且僅只有一條 B.有且僅有兩條 C.有無(wú)窮多條 D.不存在 [考場(chǎng)錯(cuò)解] D 由題意得|AB|=5 p=4,通徑長(zhǎng)為 2×4=8 5<8,故不存在這樣的直線. [專家把脈] 沒有理解拋物線焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)及p的意義. [對(duì)癥下藥] B 解法一:由題意得P=2,通徑長(zhǎng)為4,而|AB|=x1+x2+p=7,由7>4,則這樣的直線有且僅有兩條,解法二:用待定系數(shù)法設(shè)直線方程為y=k(x-1)采用設(shè)而不求的方法求出k有兩個(gè)值,
32、即直線有且僅有兩條. 2.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn)在拋物線y=2x2上,l是AB的垂直平分線. (1)當(dāng)且僅當(dāng)x1+x2取何值時(shí),直線l經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F?證明你的結(jié)論; (Ⅱ)當(dāng)直線l的斜率為2時(shí),求l在y軸上截距的取值范圍. [考場(chǎng)錯(cuò)解] (Ⅱ),設(shè)l在y軸上的截距為b,依題意得l的方程為y=2x+b,過(guò)點(diǎn)A、B的直線方程可寫為y=與y=2x2聯(lián)立得2x2+x-m=0.得x1+ x2=-;設(shè)AB的中點(diǎn)N的坐標(biāo)為(x0,y0) 則x0=(x1+x2)=-,y0=-x0+m=+m.由N∈l,得+m=-+b,于是b=即得l在y軸上截距的取值范圍為[]. [
33、專家把脈] 沒有借助“△>0”來(lái)求出m>,無(wú)法進(jìn)一步求出b的范圍,只好胡亂地把m當(dāng)作大于或等于0. [對(duì)癥下藥] (1)F∈l|FA|=|FB|A、B兩點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離相等. ∵拋物線的準(zhǔn)線是x軸的平行線,y1≥0,y2≥0,依題意 y1、y2不同時(shí)為0, ∴上述條件等價(jià)于yl=y2x12 =x22 (x1+x2)(x1-x2)=0; ∵x1≠x2,∴上述條件等價(jià)于 x1+x2=0. 即當(dāng)且僅當(dāng)x1+x2=0時(shí),l經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F。 (Ⅱ)設(shè)l在y軸上的截距為b,依題意得l的方程為y=2x+b過(guò)點(diǎn)A、B的直線方程可寫為y=-x+m,所以x1、x2滿
34、足方程2x2+x-m=0,得x1+x2=-; A、B為拋物線上不同的兩點(diǎn)等價(jià)于上述方程的判別式+8m>0,即m>設(shè)AB的中點(diǎn)N的坐標(biāo)為(x0,y0),則x0=(x1+x2)=-,y0=-x0+m=+m 由N∈l,得+m=-+b,于是b=+m> 即得l在y軸上截距的取值范圍為(,+∞). 3.如圖,過(guò)拋物線y2=2px(p>0)上一定點(diǎn)p(x0,y0)(y0>0),作兩條直線分別交拋物線于A (x1,y1),B(x2,y2).(1)求該拋物線上縱坐標(biāo)為的點(diǎn)到其焦點(diǎn)F的距離; (Ⅱ)當(dāng)PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí),求的值,并證明直線AB的斜率是非零常
35、數(shù). [考場(chǎng)錯(cuò)解] (1)當(dāng)y=時(shí),x=又拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-P,由拋物線定義得,所求距離為 (Ⅱ)設(shè)直線PA的斜率為kPA,直線PB的斜率為kPB由y21=2px1,y20=2px0 相減得(yl-y0)(y1+y0)=2P(x1-x0) 故kPA= (x1≠x0). 同理可得kpB=(x2≠x0)由kPA=-kPB得y0=-2 (yl+y2)故 設(shè)直線AB的斜率為kAB。由y22=2px2,y21=2px1 相減得 (y2-y1)(y2+y1)=2P(x2-x1) 故kAB=將y1+y2=-y0(y0>0)代入得kAB=-故kAB是非零常數(shù). [專家把脈]
36、 ①?zèng)]有掌握拋物線的準(zhǔn)線方程,②計(jì)算不夠準(zhǔn)確. [對(duì)癥下藥] (1)當(dāng)y=時(shí),x=,又拋物線y2= 2px的準(zhǔn)線方程為x=, 由拋物線定義得,所求距離為-(-)= (Ⅱ)設(shè)直線PA的斜率為kPA,直線PB的斜率為kPB 由y12=2px1,y20=2px0相減得(y1-y0)(yl+y0)=2P(x1-x0), 故kPA=(x1≠x0).同理可得kPB=(x2≠x0). 由PA、PB傾斜角互補(bǔ)知kPA=-kPB,即=-,所以yl+y2=-2y0, 故=-2. 設(shè)直線AB的斜率為kAB 由y22=2px2,y21=2pxl 相減得(y2-y1)(y2+y1)=2p(x2
37、-x1), 所以 將yl+y2=-2y0(y0>0)代入得 所以kAB是非零常數(shù). 4.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=x2上異于坐標(biāo)原點(diǎn)O的兩不同動(dòng)點(diǎn)A、B滿足AO⊥BO(如圖所示). (1)求△AOB的重心C(即三角形三條中線的交點(diǎn))的軌跡方程; (Ⅱ)△AOB的面積是否存在最小值?若存在,請(qǐng)求出最小值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. [考場(chǎng)錯(cuò)解](Ⅰ)設(shè)△AOB的重心為G(x,y)A(x1,y1)B(x2,y2)則 ∵OAx1x2+yly2=0(2) 又點(diǎn)A、B在拋物線上,有y1=x12,y2=x22代入(2)化簡(jiǎn)得xlx2=0或-1 ∴y=[(x1+x2)
38、2-2x1x2]=3x2+或3x2,故重心為G的軌跡方程為y=3x2或y=3x2+. [專家把脈]沒有考慮到x1x2=0時(shí),△AOB不存在 [對(duì)癥下藥] (Ⅰ)設(shè)△AOB的重心為G(x,y)A(x1,y1)B(x2,y2)則 又點(diǎn)A、B在拋物線上,有y1=x12,y2=x22代入(2)化簡(jiǎn)得xlx2=-1 ∴y=[(x1+x2)2-2x1x2]==3x2+所以重心為G的軌跡方程為y=3x2+ (Ⅱ)S△AOB= 由(1)得S△AOB= 當(dāng)且僅當(dāng)x16=x26即x1=-x2=-1時(shí),等號(hào)成立。所以△AOB的面積存在最小值,最小值為1。 專家會(huì)診用待定系數(shù)法求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程,注意
39、分類討論思想。凡涉及拋物線的弦長(zhǎng),弦的中點(diǎn),弦的斜率問題時(shí)要注意利用韋達(dá)定理,能避免求交點(diǎn)坐標(biāo)的復(fù)雜運(yùn)算。解決焦點(diǎn)弦問題時(shí),拋物線的定義有廣泛的應(yīng)用,而且還應(yīng)注意焦點(diǎn)弦的幾何性質(zhì)。 消去x2得 [專家把脈] (1)沒有考慮到1-a2≠0(Ⅱ)沒有注意到題目本身的條件a>0. [對(duì)癥下藥] (1)由C與l相交于兩個(gè)不同的點(diǎn),故知方程組 有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,消去y并整理得(1-a2)x2+2a2x +2a2x-2a2=0所以解得0<a<且 a≠1.雙曲線的率心率e=且 a≠1,∴e>且e≠,即離心率e的取值范圍為()∪(). (Ⅱ)設(shè)A(x1,y1)
40、,B(x2,y2),P(0,1).∵∴(x1,y1-1)=(x2,y2-1)由此得x1=x2,由于x1,x2都是方程①的根,且1-a2≠0,所以x2=-,消x2,得-,由a>0,所以a= 2.給定拋物線C:y2=4x,F(xiàn)是C的焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F的直線l與C相交于A、B兩點(diǎn) (1)設(shè)l的斜率為1,求與夾角的大小; (Ⅱ)設(shè),若λ∈[4,9],求l在y軸上截距的變化范圍. [考場(chǎng)錯(cuò)解] (1)設(shè)與夾角為α;由題意l的方程為了y=x-1,將y=x-1代入y2=4x得x2-6x+1=0設(shè)A(x1,y1)B(x2,y2)則有x1+x2=6,x1x2=1.易得·=x1x2+y1y2=-
41、3,cosα=∴α=-arccos (Ⅱ)由題意知,過(guò)A、B分別作準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為A'、B'. ∴|FB|=|BB'|,|AF|=|AA'| ∴|BB’|=λ|AA'|,λ∈[4, 9] 設(shè)l的方程為y=k(x-1)由得k2x2-(2k2 +4)x+k2=0 ∴x=∴|AA'|=+l = |BB'|= [專家把脈] (Ⅰ)沒有理解反余弦的意義.(Ⅱ)思路不清晰. [對(duì)癥下藥] (1)C的焦點(diǎn)為F(1,0),直線l的斜率為1,所以l的方程為了y=x-1. 將y=x-1代入方程y2=4x,并整理得x2
42、-6x+1=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則有xl+x2=6,x1x2=1. =(x1,y1)·(x2,y2)=x1x2+yly2=2x1x2-(x1 +x2)+1=-3. 所以與夾角的大小為π-arc cos(Ⅱ)由題設(shè)得 (x2-1,y2)=λ(1-x1,-y1), 即由②得y22=λ2y21.∵y21=4x1,y22=4x2,∴x2=λ2x1 ③ 聯(lián)立①、③解得x2=λ,依題意有λ>0,∴B(λ,2 )或B (λ,-2 ),又9(1,0),得直線l方程為(λ-1)y= (x-1)或(λ-1)y=2(x-1).當(dāng)λ∈[4,9]時(shí),l在 y軸
43、上的截距為或- 由=,可知:在[4,9]上是遞減的, ∴≤≤,-≤-≤- 直線l在y軸上截距的變化范圍為[-,-]∪[,]. (2)當(dāng)|PF1|=|F1F2|時(shí),同理可得解得e2=3于是λ=1-3=-2. (3)當(dāng)|PF2|=|F1F2|時(shí),同理可得=4c2 解得e2=1 于是λ=1-1=0 綜上所述,當(dāng)λ=或-2或0時(shí)△PF1F2,F(xiàn)2為等腰三角形. [專家把脈] (1)沒有注意到因?yàn)镻F1⊥l,所以∠PF1F2=90°+∠BAF1為鈍角,要使△PF1F2為等腰三角形,必有|PF1|=|F1F2| (2)沒有注意到橢圓離心率的范圍. [對(duì)癥下藥]
44、(1)證法一:因?yàn)锳、B分別是直線l:y= ex+a與x軸、y軸的交點(diǎn),所以A、B的坐標(biāo)分別是(-)(0,a). 由 所以點(diǎn)M的坐標(biāo)是(-c,),由得(-c+)=λ(,a). 即 證法二:因?yàn)锳、B分別是直線l:y=ex+a與x軸、y軸的交點(diǎn),所以A、B的坐標(biāo)分別是(-,0),(0,a),設(shè)M的坐標(biāo)是(x0,y0),由得(), 所以因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓上,所以=1, 即e4-2(1-λ)e2+(1-λ)2=0,解得e2=1-λ 即λ=1-e2. (Ⅱ)解法一:因?yàn)镻F1⊥l,所以 ∠PF1F2=90°+∠BAF1為鈍角,要使△PF1F2為等腰三角形,必有|P
45、F1|=|F1F2|,即|PF1|=c. 設(shè)點(diǎn)F1到l的距離為d,由|PF1|=d, =,得 =e.所以e2=,于是λ=1-e2=.即當(dāng)λ=時(shí),△PF1F2為等腰三角形. 解法二:因?yàn)镻F1⊥l,所以,∠PF1F2=90°+∠BAF1為鈍角,要使△PF1F2為等腰三角形,必有|PF1|=|F1F2|,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x0,y0), 則解得由|PF1|=|FlF2|得=4c2, 兩邊同時(shí)除以4a2,化簡(jiǎn)得=e2.從而e2=于是λ=l-e2=.即當(dāng)λ=時(shí),△PF1F2為等腰三角形. 4.拋物線C的方程為y=ax2(a<0),過(guò)拋物線C上一點(diǎn)P(x0,y0)(x0≠0
46、)作斜率為k1,k2的兩條直線分別交拋物線C于A(x1,y1)B(x2,y2)兩點(diǎn)(P、A、B三點(diǎn)互不相同),且滿足k2+λk1=0(λ≠0且λ≠-1). (Ⅰ)求拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程; (Ⅱ)設(shè)直線AB上一點(diǎn)M滿足=λ,證明線段PM的中點(diǎn)在y軸上 (Ⅲ)當(dāng)A=1時(shí),若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,-1),求∠PAB為鈍角時(shí)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)y1的取值范圍. [考場(chǎng)錯(cuò)解] (1)拋物線C的方程y=ax2(a<0)得,焦點(diǎn)坐標(biāo)為(,0)準(zhǔn)線方程為x=- (Ⅲ)∵P(-1,1)在y=ax2上,故a=-1∴y=-x2 由(Ⅱ)易得y1=-(k1+1)2,y2=(k2+1)2,因此,直
47、線PA、PB分別與拋物線C的交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為A(-k1 -1,-k21-2k1-1),B(k1-1,-k21+2k1-1) 于是= (k1+2,k21+2k1),=(2k1,4k1),2k1(k1+2)(2k1+1)因∠PAB為鈍角且P、A、B三點(diǎn)互不相同,故必有·<0易得k1的取值范圍是 k1<-2或<kl<0,又∵yl=-(k1+1)2 故當(dāng)k1<-2時(shí),y<-1;當(dāng)-<k1<0時(shí)-1<yl<- 即y1∈ . [專家把脈] 沒有掌握好拋物線的標(biāo)準(zhǔn)形式及交并集的概念. [對(duì)癥下藥] (1)由拋物
48、線C的方程y=ax2(a<0)得,焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,),準(zhǔn)線方程為y=-. (Ⅱ)證明:設(shè)直線PA的方程為y-y0=k1(x-x0),直線 PB的方程為y-y0=k2(x-x0). 點(diǎn)P(x0,y0)和·點(diǎn)A(x1,y1)的坐標(biāo)是方程組 的解.將②式代入①式得ax2-k1x+klx0-y0=0,于是 x1+x0=,故x1=-x0③ 又點(diǎn)P(x0,y0)和點(diǎn)B(x2,y2)的坐標(biāo)是方程組 的解.將⑤式代入④式得ax2-k2x+k2x0-y0=0.于是x2+x0=,故x2=-x0, 由已知得,k2=-λkl,則x2=⑥設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(xM,yM),由=λ,則xM=.將
49、③式和⑥式代入上式得x0,即xM+x0=0.所以線段PM的中點(diǎn)在y軸上. (Ⅲ)因?yàn)辄c(diǎn)P (1,-1)在拋物線y=ax2上,所以a=-1,拋物線方程為y=-x2.由③式知x1=-k1-1,代入y=-x2得y1=-(k1+1)2.將λ=1代入⑥式得x2=k1-1,代入y=-x2得y2=- (k2+1)2.因此,直線PA、PB分別與拋物線C的交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為 A(-k1,-1,-k21-2k1-1),B(k1-1,-k12+2k1-1). 于是=(k1+2,k12+2k1),=(2K1,4K1),= 2k1(k1+2)+4kl(k12+2k1)=2k1(k1+2)(2k1+1).因∠PAB
50、為鈍角且P、A、B三點(diǎn)互不相同,故必有<0.求得k1的取值范圍是k1<-2或-<k1<0.又點(diǎn)A的縱坐標(biāo)y1滿足y1=-(k1+1)2,故當(dāng)k1<-2時(shí), y1<-1;當(dāng)-<k1<0時(shí),-1<y1<-.即y1∈(-∞,-1)U(-1,-). 專家會(huì)診 1.判定直線與圓錐曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)的基本方法是聯(lián)立方程組,判斷方程組解的組數(shù),對(duì)于直線與雙曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題還可借助直線與漸近線斜率的關(guān)系來(lái)判斷,而直線與拋物線的位置關(guān)系則可借助直線與拋物線對(duì)稱軸的位置關(guān)系來(lái)判定,不可混淆.2.涉及弦長(zhǎng)的問題中,應(yīng)熟練地利用韋達(dá)定理,設(shè)而不求計(jì)算弦長(zhǎng),不要
51、蠻算,以免出現(xiàn)差錯(cuò).3.涉及弦長(zhǎng)的中點(diǎn)問題,常用“差分法”設(shè)而不求,將弦所在直線的斜率,弦的中點(diǎn)坐標(biāo)聯(lián)系起來(lái),相互轉(zhuǎn)化。 命題角度5對(duì)軌跡問題的考查 1.(典型例題)已知雙曲線的中心在原點(diǎn),離心率為若它的一條準(zhǔn)線與拋物線y2=4x的準(zhǔn)線重合,則該雙曲線與拋物線y2=4x的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是 ( ) A.2 B. C.18+12 D.21 [考場(chǎng)錯(cuò)解] C [專家把脈] 對(duì)雙曲線的定義理解不夠深刻. [對(duì)癥下藥] B 設(shè)雙曲線方程為=1,由題意得則a=b=,則雙曲線方程為=1,由得A(3,2),故交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為
52、 [考場(chǎng)錯(cuò)解] (1)W1={(x,y)|y≠±kx x<0|W2={(x,y)}y=±kx,x>0| (Ⅱ)直線l1:kx-y=0 直線l2:kx+y=0由題意得 ·=d2即=d2 ∴k2x2-y2±(k2+1)d2=0故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為k2x2-y2±(k2+1)d2=0 (Ⅲ)略 [專家把脈] 沒有很好地理解題意,第二問出現(xiàn)兩解,致使第三問過(guò)于復(fù)雜難以完成. [對(duì)癥下藥] 解:(I)W1={(x,y)|kx<y-kx,z< 0|,W2={(x,y)|kx<y&l
53、t;bc,x>0}, (Ⅱ)直線l1:kx-y=0 直線l2:kx+y=0,由題意得·=d2,即=d2, 由P(x,y)∈W,知k2x2-y2>0,所以=d2,即k2x2-y2-(k2+1)d2=0, 所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為k2x2-y2-(k2+1)d2=0; (Ⅲ)當(dāng)直線J與,軸垂直時(shí),可設(shè)直線J的方程為,x=a (a≠0).由于直線l,曲線C關(guān)于x軸對(duì)稱,且l1與l2關(guān)于x軸對(duì)稱,于是M1M2,M3M4的中點(diǎn)坐標(biāo)都為(a,0),所以△OM1M2,△OM3M4的重心坐標(biāo)都為(a,0),即它們的重心重合, 當(dāng)直線l1與x軸不垂直時(shí),設(shè)直線J的方程為y=m
54、x+n(n ≠0). 由, 得(k2-m2)x2-2mnx-n2-k2d2-d2=0 (Ⅱ)設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為(x、y)由=0 得, 在△QF1F2中故有x2+b2= a2(x=±a) (Ⅲ)C上存在M(x0,y0)使s=b2的充要條件是: 又=(-C-x0-y0),=(c-x0,y0)由·=x02-c2+y20=a2-c2=b2 即cos∠F1MF2=b2又s=sin∠FlMF2得tan ∠FlMF2=2 [專家把脈] (1)沒有注意證明題的書寫格式(2)思考問題不夠全面. [對(duì)癥下藥] (1)證法一:設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y).由P(x,y)在
55、橢圓上,得 2 由|x|≤a,知a+≥-c+a>0,所以=a+x. 證法二:設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y).記 當(dāng)且時(shí),由又||=||,所以T為線段F2Q的中點(diǎn). 設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x',y'),則因此①由=2a得(x'+c)2+y'2=4a2.② 將①代入②,可得x2+y2=a2.綜上所述,點(diǎn)T的軌跡C的方程是x2+y2=a2 (Ⅲ)解法一:C上存在點(diǎn)M(x0,y0)使S=b2的充要條件是 由③得,|y0|≤a,由④得,|y0|≤,所以,當(dāng)a≥時(shí),存在點(diǎn)M,使S=b2; 當(dāng)a<時(shí),不存在滿足條件的點(diǎn)M.當(dāng)a≥時(shí),=(-c-c0,-y0)
56、,=(c-c0,-y0), 由·=x02-c2+y20=a2-c2=b2, 解法二:C上存在點(diǎn)M(x0,y0)使S=b2的充要條件是 由④得|y0|,上式代入③得x20=a2-=(a-) (a+)≥0. 于是,當(dāng)a≥時(shí),存在點(diǎn)M,使s=b2;當(dāng)a<時(shí),不存在滿足條件的點(diǎn)M. 當(dāng)a≥時(shí),記k1=kF1M= 由|F1F2|<2a,知∠F1MF2<90°,所以tan∠F1MF2==2. 專家會(huì)診 (1)求軌跡方程的本質(zhì)是用代數(shù)形式將動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律表示出來(lái),實(shí)質(zhì)上是一個(gè)翻譯過(guò)程,故選取一定解題策略找到動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的一些表現(xiàn)形式是關(guān)鍵,往往和
57、研究曲線幾何性質(zhì),討論直線與曲線位置關(guān)系等聯(lián)系在一起.(2)求軌跡要注意取值范圍和“雜點(diǎn)”的去除. 綜上所述:當(dāng)x=時(shí)d取得最小值 [專家把脈] 沒有考慮到橢圓的分面有界性,致使思路不清晰,計(jì)算繁瑣. [對(duì)癥下藥] [解](1)由已知可得點(diǎn)A(-6,0),F(xiàn)(0,4) 設(shè)點(diǎn)P(x,y),則=(x+6,y),=(x-4,y),由已知可得 則 2x2+9x-18=0,x=或x=-6.由于y>0,只能x=,于是y= 點(diǎn)P的坐標(biāo)是() (2)直線AP的方程是x-+6=0.設(shè)點(diǎn)M(m,0),則M到直線AP的距離是.于是= |m-6|,又-6≤m≤6,解得m=2.橢圓上
58、的點(diǎn)(x,y)到點(diǎn)M的距離d有,d2=(x-2)2+y2 AB的中點(diǎn)為M(2,1),由,得線段AB的垂直平分線方程y-1=-2(x-2).令y=-5,得x=5,∴Q(5,-5). (2)直線OQ的方程為x+y=0,設(shè)P(x,-4),∵點(diǎn)P到直線OQ的距離d=∵P為拋物線上位于線段AB下方點(diǎn),且P不在直線OQ上. ∴ -4≤x<4-4或4-4<x≤8.∴S△OPQ最大值=30 3.設(shè)橢圓方程為x2+=1,過(guò)點(diǎn)M(0,1)的直線l交橢圓于點(diǎn)A、B、O是坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)P滿足,點(diǎn)N的坐標(biāo)為(,),當(dāng)l繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)時(shí),求: (Ⅰ)動(dòng)點(diǎn)戶的軌跡方程; (Ⅱ)的最小值與最大值. [考
59、場(chǎng)錯(cuò)解] (1)①若l的斜率存在,設(shè)為k,則l:y =kx+1代入4x2+y2=4中得,(k2+4)x2+2kx-3=0 ∴x1+x2= i)A=0時(shí),x=0 y=1,∴P(0,1) ii)k≠0時(shí),k=∴P點(diǎn)的軌跡為:x2+y2-y=0(y≠O) ②若l不存在斜率,∴A、B為上、下頂點(diǎn).∴P(0,0) (2)解:∵N(),i),∵k不存在時(shí)P(0,0),ii) k=0時(shí)P(0,1). iii)k≠0時(shí)x2+(y-)2=。又∵N()max=2r=1 ∴min=0. [專家把脈] 思路不清晰. [對(duì)癥下藥] (1)解法一:直線l過(guò)點(diǎn)M(0,1),設(shè)其斜率為
60、A,則J的方程為y=kx+1. 記A(x1,y1)、B(x2,y2),由題設(shè)可得A、B的坐標(biāo)(x1,y1)、(x2,y2)是方程組的解. 將①代入②并化簡(jiǎn)得.(4+k2)x2+2kx-3=0.所以 于是 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),則消去參數(shù)k得 4x2+y2-y=0. ③當(dāng)k不存在時(shí),A、B中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)(0,0),也滿足方程③,所以點(diǎn)P的軌跡方程為 4x2+y2-y=0 解法二:設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),因A(x1,y1)、B(x2,y2)在橢圓上,所以 ④⑤④-⑤得所以(x1-x2)(x1+x2)+(y1-y2)(y1+y2)=0 當(dāng)x1≠x2時(shí),有⑥并且⑦ 將⑦代入⑥并
61、整理得4x2+y2-y=0.⑧ 當(dāng)x1=x2時(shí),點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為(0,2)、(0,-2),這時(shí)點(diǎn)p的坐標(biāo)為(0,0)也滿足⑧,所以點(diǎn)P的軌跡方程為 (Ⅱ)解法:由點(diǎn)P的軌跡方程知x2≤。 即-≤x≤所以 (Ⅱ)設(shè)直線y=kx+b,分別過(guò)P、Q作PP'⊥x軸, QQ'⊥y軸垂足分別為P'、Q'則 由消去x得y2-2(k2+b)y+b2=0③ 則 的取值范圍是[2,+∞]. [專家把脈] (1)沒有注意“雜點(diǎn)”的去除;(Ⅱ)沒有注意利用重要不等式時(shí)等號(hào)成立的條件. [對(duì)癥下藥] 解法:(1)設(shè)P(x1,y1)、Q(x2,y2)
62、、M (x0,y0),依題意x1≠0,yl>0,y2>0.由y=x2,①得y'=x. ∴過(guò)點(diǎn)P的切線的斜率k切=x1, ∵x1=0不合題意, ∴x1≠0. ∴直線l的斜率k1=,直線l的方程為y-x21=(x-x1).② 方法一:聯(lián)立①②消去y,得x2+-x21-2=0. ∵M(jìn)為PQ的中點(diǎn), 消去x1,得y0=x02++1(x0≠0),∴PQ中點(diǎn)M的軌跡方程為y=x2++1(x≠0), 方法二:由y1=x21,y2=x22,x0=,得y1-y2=x21-x22=(x1+x2)(x1-x2)=x0(x1-x2),則x0=k1=-∴x1=-,將上式代入②并整理,得y0
63、=x20++1(x0≠0), ∴PQ中點(diǎn)M的軌跡方程為y=x2++1(x≠0). (Ⅱ)設(shè)直線l:y=kx+b,依題意k≠0,b≠0,則T(0,b).分別過(guò)P、Q作PP'⊥x軸,QQ'⊥y軸,垂足分別為p'、 Q',則 由消去x,得y2-2(k2+b)y+b2=0.③則 方法三:由P、Q、T三點(diǎn)共線得kTQ=kTP,即則x1y2-bx1=x2y1-bx2,即b(x2-x1)=(x2y1-x1y2).于是b= 可取一切不等于l的正數(shù),的取值范圍是(2,+∞). 專家會(huì)診①直線過(guò)定點(diǎn)的問題,常用直線系的思想處理. ②定值問題常常用函數(shù)的思想處理,即
64、把所求定值通過(guò)一些基本變量表示,最終化成常數(shù).③最值問題往往用幾何方法,函數(shù)或不等式等方法處理. 四、典型習(xí)題導(dǎo)練 1、已知橢圓右頂點(diǎn)與右焦點(diǎn)的距離為,短軸長(zhǎng)為(I)求橢圓的方程;(Ⅱ)過(guò)左焦點(diǎn)F的直線與橢圓分別交于A、B兩點(diǎn),若三角形OAB的面積為求直線AB的方程。 2、設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為,左、右頂點(diǎn)分別為,上頂點(diǎn)為,過(guò)三點(diǎn)做.(Ⅰ)若是的直徑,求橢圓的離心率;(Ⅱ)若的圓心在直線上,求橢圓的方程。 3、已知橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,短軸長(zhǎng)為2,且兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)恰為一個(gè)正方形的頂點(diǎn).過(guò)右焦點(diǎn)與軸不垂直的直線交橢圓于,兩點(diǎn).(Ⅰ)求橢圓的方程;(Ⅱ)在線段上是否存在點(diǎn),
65、使得?若存在,求出的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. 4、在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)點(diǎn),,以線段為直徑的圓過(guò)原點(diǎn). (Ⅰ)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程;(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)的直線與軌跡交于、兩點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為,試判斷直線是否恒過(guò)一定點(diǎn),并證明你的結(jié)論. 5、設(shè)橢圓的離心率與雙曲線的離心率互為倒數(shù),且內(nèi)切于圓。(Ⅰ)求橢圓的方程;(Ⅱ)若直線交橢圓于A、B兩點(diǎn),橢圓上一點(diǎn),求面積的最大值。 6、已知橢圓的右焦點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn)F,點(diǎn)A是橢圓E的右頂點(diǎn). 過(guò)點(diǎn)A的直線交拋物線C于M,N兩點(diǎn),滿足,其中是坐標(biāo)原點(diǎn). (Ⅰ)求橢圓E的方程;(Ⅱ)過(guò)橢圓E的左頂點(diǎn)B作軸平行線BQ,過(guò)點(diǎn)N作軸平行線NQ,直線BQ
66、與NQ相交于點(diǎn)Q. 若是以MN為一條腰的等腰三角形,求直線MN的方程. 7、在平面直角坐標(biāo)系中,動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離比它到軸的距離大,設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是曲線.(Ⅰ)求曲線的軌跡方程;(Ⅱ)設(shè)直線:與曲線相交于、兩點(diǎn),已知圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和兩點(diǎn),求圓的方程,并判斷點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)是否在圓上. 8、過(guò)拋物線上不同兩點(diǎn)、分別作拋物線的切線相交于點(diǎn)),.(Ⅰ)求;(Ⅱ)求證:直線恒過(guò)定點(diǎn);(Ⅲ)設(shè)(Ⅱ)中直線恒過(guò)定點(diǎn)為,若恒成立,求的值. 9、已知點(diǎn),直線與直線斜率之積為,記點(diǎn)的軌跡為曲線.(Ⅰ)求曲線的方程;(Ⅱ)設(shè)是曲線上任意兩點(diǎn),且,是否存在以原點(diǎn)為圓心且與總相切的圓?若存在,求出該圓的方程;若不存在
67、,請(qǐng)說(shuō)明理由. 10、已知對(duì)稱中心為坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓與拋物線有一個(gè)相同的焦點(diǎn),直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn).(1)求直線的方程;(2)若橢圓經(jīng)過(guò)直線上的點(diǎn),當(dāng)橢圓的的離心率取得最大值時(shí),求橢圓的方程及點(diǎn)的坐標(biāo). 11、已知橢圓:的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)相同,且的離心率,又為橢圓的左右頂點(diǎn),其上任一點(diǎn)(異于).(Ⅰ)求橢圓的方程;(Ⅱ)若直線交直線于點(diǎn),過(guò)作直線的垂線交軸于點(diǎn),求的坐標(biāo); (Ⅲ)求點(diǎn)在直線上射影的軌跡方程. 12、如圖,是拋物線上的兩動(dòng)點(diǎn)(異于原點(diǎn)),且的角平分線垂直于軸,直線與軸,軸分別相交于.(Ⅰ) 求實(shí)數(shù)的值,使得;(Ⅱ)若中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上的橢圓經(jīng)過(guò). 求橢圓焦距的最
68、大值及此時(shí)的方程. 13、已知點(diǎn)P是圓F1:上任意一點(diǎn),點(diǎn)F2與點(diǎn)F1關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱. 線段PF2的中垂線與PF1交于M點(diǎn).(Ⅰ)求點(diǎn)M的軌跡C的方程;(Ⅱ)設(shè)軌跡C與x軸的兩個(gè)左右交點(diǎn)分別為A,B,點(diǎn)K是軌跡C上異于A,B的任意一點(diǎn),KH⊥x軸,H為垂足,延長(zhǎng)HK到點(diǎn)Q使得HK=KQ,連結(jié)AQ延長(zhǎng)交過(guò)B且垂直于x軸的直線l于點(diǎn)D,N為DB的中點(diǎn).試判斷直線QN與以AB為直徑的 15、已知分別為橢圓的左右焦點(diǎn), 分別為其左右頂 點(diǎn),過(guò)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn). 當(dāng)直線與軸垂直時(shí),四邊形的面積17、如圖,過(guò)點(diǎn)作拋物線的切線,切點(diǎn)A在第二象限.(1)求切點(diǎn)A的縱坐標(biāo);(2)若離心率為的橢圓恰好經(jīng)過(guò)切點(diǎn)A,設(shè)切(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)B,C分別在曲線,上,分別為直線AB,AC的斜率, 當(dāng)時(shí),問直線BC是否過(guò)定點(diǎn)?若過(guò)定點(diǎn),求出定點(diǎn)坐標(biāo);若不過(guò)定點(diǎn),請(qǐng)說(shuō)明理由. 19、在ΔABC中,頂點(diǎn)A,B, C所對(duì)三邊分別是a,b,c已知B(-1, 0), C(1
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