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第51練 不等式小題綜合練
[基礎保分練]
1.(2018杭州高級中學模擬)下列結論正確的是( )
A.若a>b，則ac2>bc2
B.若a2>b2，則a>b
C.若a>b，c<0，則a＋c
f(1)的解集是____________.
10.(2019紹興模擬)已知a>0，函數f(x)＝|x2＋|x－a|－3|在[－1,1]上的最大值是2，則a＝__________.
[能力提升練]
1.已知3a＝4b＝12，則a，b不可能滿足的關系是( )
A.a＋b>4 B.ab>4
C.(a－1)2＋(b－1)2>2 D.a2＋b2<3
2.已知a，b均為正實數，且直線ax＋by－6＝0與直線(b－3)x－2y＋5＝0互相垂直，則2a＋3b的最小值為( )
A.12B.13C.24D.25
3.(2019嘉興模擬)在平面直角坐標系xOy中，M為不等式組所表示的區(qū)域上一動點，則直線OM斜率的最小值為( )
A.2B.1C.－D.－
4.(2019浙江省金麗衢十二校聯考)設a>b>0，當＋取得最小值c時，函數f(x)＝|x－a|＋|x－b|＋|x－c|的最小值為( )
A.3B.2C.5D.4
5.已知實數x，y滿足條件則z＝2x＋y－5的最小值為________.
6.(2019諸暨模擬)已知a，b∈R，f(x)＝|2＋ax＋b|，若對于任意的x∈[0,4]，f(x)≤恒成立，則a＋2b＝________.
答案精析
基礎保分練
1.D 2.C 3.A 4.C 5.A 6.A 7.C 8.A
9.(－3,1)∪(3，＋∞)
解析 f(1)＝3，已知不等式f(x)>f(1)，則f(x)>3.
如果x<0，則x＋6>3，可得x>－3，即－33，
可得x>3或0≤x<1.
綜上不等式的解集為(－3,1)∪(3，＋∞).
10.3或
解析 由題意知f(0)≤2，即有||a|－3|≤2，又∵a>0，∴||a|－3|≤2?|a－3|≤2?1≤a≤5，又∵x∈[－1,1]，∴f(x)＝|x2－x－3＋a|≤2，設t＝x2－x－3，則t∈，則原問題等價于t∈時，|t＋a|＝|t－(－a)|的最大值為2，∴a＝3或a＝.
能力提升練
1.D [∵3a＝4b＝12，∴a＝log312，b＝log412，∴＋＝log123＋log124＝1，
整理得a＋b＝ab(a≠b).
對于A，由于a＋b＝ab<2，
解得a＋b>4，所以A成立.
對于B，由于ab＝a＋b>2，解得ab>4，所以B成立.
對于C，(a－1)2＋(b－1)2＝a2＋b2－2(a＋b)＋2＝a2＋b2－2ab＋2＝(a－b)2＋2>2，所以C成立.
對于D，由于48，因此D不成立.]
2.D [由兩直線互相垂直可得a(b－3)－2b＝0，即2b＋3a＝ab，則＋＝1.又a，b為正數，所以2a＋3b＝(2a＋3b)＝13＋＋≥13＋2＝25，當且僅當a＝b時取等號，故2a＋3b的最小值為25.故選D.]
3.C [畫出可行域如圖中陰影部分(含邊界)所示，
分析可知當點M與點A(3，－1)重合時直線OM的斜率最小，為＝－.]
4.A [因為b(a－b)≤2＝，
所以＋≥＋
≥2＝4，
當且僅當b＝a－b，＝，即a＝2，b＝1時取等號，此時c＝4，
因為f(x)＝
所以f(x)＝
因此當x＝2時，f(x)取最小值為3.
故選A.]
5.－6
解析 畫出的可行域如圖中陰影部分(含邊界)所示，由
得A(－1,1)，目標函數z＝2x＋y－5可看作斜率為－2的動直線l，由圖可知，當l過點A時，z最小為2(－1)＋1－5＝－6.
6.－2
解析 因為f(x)的幾何意義為g(x)＝2，h(x)＝－ax－b圖象上的點(x，g(x))，(x，h(x))的豎直距離.
又由f(x)≤得－ax－b－≤2≤－ax－b＋對任意的x∈[0,4]恒成立，故g(x)＝2被夾在豎直距離為1的平行直線y＝h(x)之間，如圖，所以直線y＝－ax－b－過點(0,0)，(4,4)，即－a＝1，－b－＝0，從而a＋2b＝－2.
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