2018-2019版高中數學 第二講 講明不等式的基本方法復習課學案 新人教A版選修4-5.docx

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第二講 講明不等式的基本方法復習課學習目標1.系統梳理證明不等式的基本方法.2.進一步體會不同方法所適合的不同類型的問題，針對不同類型的問題，合理選用不同的方法.3.進一步熟練掌握不同方法的解題步驟及規(guī)范1比較法作差比較法是證明不等式的基本方法，其依據是：不等式的意義及實數大小比較的充要條件證明的步驟大致是：作差恒等變形判斷結果的符號2綜合法綜合法證明不等式的依據是：已知的不等式以及邏輯推理的基本理論證明時要注意的是作為依據和出發(fā)點的幾個重要不等式(已知或已證)成立的條件往往不同，應用時要先考慮是否具備應有的條件，避免錯誤，如一些帶等號的不等式，應用時要清楚取等號的條件，即對重要不等式中“當且僅當時，取等號”的理由要理解掌握3分析法分析法證明不等式的依據也是不等式的基本性質、已知的重要不等式和邏輯推理的基本理論分析法證明不等式的思維方向是“逆推”，即從待證的不等式出發(fā)，逐步尋找使它成立的充分條件(執(zhí)果索因)，最后得到的充分條件是已知(或已證)的不等式一般來說，對于較復雜的不等式，直接用綜合法往往不易入手，因此，通常用分析法探索證題途徑，然后用綜合法加以證明，所以分析法和綜合法可結合使用4反證法反證法是一種“正難則反”的方法，反證法適用的范圍：直接證明困難；需要分成很多類進行討論；“唯一性”“存在性”的命題；結論中含有“至少”“至多”否定性詞語的命題5放縮法放縮法就是將不等式的一邊放大或縮小，尋找一個中間量，常用的放縮技巧有：舍掉(或加進)一些項；在分式中放大或縮小分子或分母；用基本不等式放縮.類型一比較法證明不等式例1若x，y，zR，a0，b0，c0.求證：x2y2z22(xyyzzx)證明x2y2z22(xyyzzx)2220，x2y2z22(xyyzzx)成立反思與感悟作差法證明不等式的關鍵是變形，變形是證明推理中一個承上啟下的關鍵，變形的目的在于判斷差的符號，而不是考慮能否化簡或值是多少，變形所用的方法要具體情況具體分析，可以配方，可以因式分解，可以運用一切有效的恒等變形的方法跟蹤訓練1設a，b為實數，0n1,0m1，mn1，求證：(ab)2.證明(ab)20，(ab)2.類型二綜合法與分析法證明不等式例2已知a，b，cR，且abbcca1，求證：(1)abc；(2)()證明(1)要證abc，由于a，b，cR，因此只需證(abc)23，即證a2b2c22(abbcca)3，根據條件，只需證a2b2c21abbcca，由abbccaa2b2c2(當且僅當abc時取等號)可知，原不等式成立(2)，在(1)中已證abc，abbcca1，要證原不等式成立，只需證，即證abc1abbcca.a，b，cR，a，b，c，abcabbcca(abc時取等號)成立，原不等式成立反思與感悟證明比較復雜的不等式時，考慮分析法與綜合法的結合使用，這樣使解題過程更加簡潔跟蹤訓練2已知abc，求證：0.證明方法一要證0，只需證.abc，acab0，bc0，0，成立，0成立方法二abc，acab0，bc0，0，0.類型三反證法證明不等式例3若x，y都是正實數，且xy2，求證：2或2中至少有一個成立證明假設2和0且y0，所以1x2y且1y2x，兩式相加，得2xy2x2y，所以xy2.這與已知xy2矛盾故2或2中至少有一個成立反思與感悟反證法的“三步曲”：(1)否定結論(2)推出矛盾(3)肯定結論其核心是在否定結論的前提下推出矛盾跟蹤訓練3已知函數yf(x)在R上是增函數，且f(a)f(b)f(b)f(a)，求證：ab.證明假設ab不成立，則ab或ab.當ab時，ab，則有f(a)f(b)，f(a)f(b)，于是f(a)f(b)f(b)f(a)與已知矛盾當ab時，ab，由函數yf(x)的單調性，可得f(a)f(b)，f(b)f(a)，于是有f(a)f(b)f(b)f(a)與已知矛盾故假設不成立ab.類型四放縮法證明不等式例4已知nN，求證：2(1)12.證明對kN，1kn，有2()，2()12(1)2()2()2(1)又對于kN，2kn，有2()，112(1)2()2()212.原不等式成立反思與感悟放縮法是在順推法邏輯推理過程中，有時利用不等式關系的傳遞性作適當的放大或縮小，證明比原不等式更強的不等式來代替原不等式的一種證明方法放縮法的實質是非等價轉化，放縮沒有一定的準則和程序，需按題意適當放縮，否則達不到目的跟蹤訓練4設f(x)x2x13，a，b0,1，求證：|f(a)f(b)|ab|.證明|f(a)f(b)|a2ab2b|(ab)(ab1)|ab|ab1|，0a1,0b1，0ab2，1ab11，|ab1|1.|f(a)f(b)|ab|.1已知p: ab0，q：2，則p與q的關系是()Ap是q的充分不必要條件Bp是q的必要不充分條件Cp是q的充要條件D以上答案都不對答案C解析由ab0，得0，0，22，又2，則，必為正數，ab0.2實數a，b，c滿足a2bc2，則()Aa，b，c都是正數Ba，b，c都大于1Ca，b，c都小于2Da，b，c中至少有一個不小于答案D解析假設a，b，c都小于，則a2bc2與a2bc2矛盾3若a，b，c，則()AabcBcbaCcabDbac答案C解析a，b，98，ba.b與c比較：b，c，3553，bc.a與c比較：a，c，3225，ac.bac，故選C.4已知a，bR，nN，求證：(ab)(anbn)2(an1bn1)證明(ab)(anbn)2(an1bn1)an1abnbanbn12an12bn1a(bnan)b(anbn)(ab)(bnan)(1)若ab0，則bnan0，ab0，(ab)(bnan)0.(2)若ba0，則bnan0，ab0，(ab)(bnan)0.(3)若ab0，(bnan)(ab)0.綜上(1)(2)(3)可知，對于a，bR，nN，都有(ab)(anbn)2(an1bn1)1比較法證明不等式一般有兩種方法：作差法和作商法，作商法應用的前提條件是已知不等式兩端的代數式同號2由教材內容可知，分析法是“執(zhí)果索因”，步步尋求上一步成立的充分條件，而綜合法是“由因導果”，兩者是對立統一的兩種方法3證明不等式的基本方法及一題多證：證明不等式的基本方法主要有比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法等證明不等式時既可探索新的證明方法，培養(yǎng)創(chuàng)新意識，也可一題多證，開闊思路，活躍思維，目的是通過證明不等式發(fā)展邏輯思維能力，提高數學素養(yǎng)一、選擇題1a，bR，那么下列不等式中不正確的是()A.2B.abC.D.答案C解析A滿足基本不等式；B可等價變形為(ab)2(ab)0正確；B選項中不等式的兩端同除以ab，不等式方向不變，所以C選項不正確；D選項是A選項中不等式的兩端同除以ab得到的，D正確2設0x1，則a，bx1，c中最大的是()AcBbCaD隨x取值不同而不同答案A解析0x2a，(x1)0，cba.3若P，Q (a0)，則P與Q的大小關系為()APQBPQCPQD由a的取值確定答案C解析P22a72，Q22a72，P2Q2，即PB是sinAsinB的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件答案C解析由正弦定理知2R，又A，B為三角形的內角，sinA0，sinB0，sinAsinB2RsinA2RsinBabAB.二、填空題7lg9lg11與1的大小關系是_答案lg9lg111解析lg90，lg110，1.lg9lg111.8當x1時，x3與x2x1的大小關系是_答案x3x2x1解析x3(x2x1)x3x2x1x2(x1)(x1)(x1)(x21)，且x1，(x1)(x21)0.x3(x2x1)0，即x3x2x1.9用反證法證明“在ABC中，若A是直角，則B是銳角”時，應假設_答案B不是銳角解析“B是銳角”的否定是“B不是銳角”10建造一個容積為8m3，深為2m的長方體無蓋水池，如果池底和池壁的造價每平方米分別為120元和80元，那么水池的最低總造價為_元答案1760解析設水池底長為x(x0)m，則寬為(m)水池造價y120804803204801 2801 760(元)，當且僅當x2時取等號三、解答題11求證：2.證明因為(nN，n2)，所以1122.所以原不等式得證12已知an(nN)，求證：an.證明n，an12n.又，an.an.四、探究與拓展13已知a，b是正數，ab，x，y(0，)，若，則等號成立的條件為_答案aybx解析0，當且僅當aybx時等號成立14設各項均為正數的數列an的前n項和為Sn，且Sn滿足S(n2n3)Sn3(n2n)0，nN.(1)求a1的值；(2)求數列an的通項公式；(3)證明：對一切正整數n，有.(1)解令n1，得S(1)S1320，即SS160，所以(S13)(S12)0，因為S10，所以S12，即a12.(2)解由S(n2n3)Sn3(n2n)0，得(Sn3)Sn(n2n)0，因為an0(nN)，Sn0，從而Sn30，所以Snn2n，所以當n2時，anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n，又a1221，所以an2n(nN)(3)證明設k2，則，所以.所以.