現(xiàn)代控制理論實(shí)驗(yàn)報(bào)告

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1、中北大學(xué)現(xiàn)代控制理論實(shí)驗(yàn)報(bào)告 現(xiàn)代控制理論 實(shí)驗(yàn)報(bào)告 1005044114 信息與通信工程學(xué)院 張磊 學(xué)生姓名： 學(xué)號： 電氣工程及其自動(dòng)化 學(xué) 院： 專 業(yè)： 現(xiàn)代控制理論實(shí)驗(yàn) 實(shí)驗(yàn)一 線性定常系統(tǒng)模型 一 實(shí)驗(yàn)?zāi)康? 1. 掌握線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。學(xué)會(huì)在MATLAB中建立狀態(tài)空間模型的方法。 2. 掌握傳遞函數(shù)與狀態(tài)空間表

2、達(dá)式之間相互轉(zhuǎn)換的方法。學(xué)會(huì)用MATLAB實(shí)現(xiàn)不同模型之間的相互轉(zhuǎn)換。 3. 熟悉系統(tǒng)的連接。學(xué)會(huì)用MATLAB確定整個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式和傳遞函數(shù)。 4. 掌握狀態(tài)空間表達(dá)式的相似變換。掌握將狀態(tài)空間表達(dá)式轉(zhuǎn)換為對角標(biāo)準(zhǔn)型、約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型、能控標(biāo)準(zhǔn)型和能觀測標(biāo)準(zhǔn)型的方法。學(xué)會(huì)用MATLAB進(jìn)行線性變換。 二 實(shí)驗(yàn)內(nèi)容 1. 已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù) (a) (b) （1）建立系統(tǒng)的TF或ZPK模型。 （2）將給定傳遞函數(shù)用函數(shù)ss( )轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間表達(dá)式。再將得到的狀態(tài)空間表達(dá)式用函數(shù)tf(

3、)轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)，并與原傳遞函數(shù)進(jìn)行比較。 （3）將給定傳遞函數(shù)用函數(shù)jordants( )轉(zhuǎn)換為對角標(biāo)準(zhǔn)型或約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型。再將得到的對角標(biāo)準(zhǔn)型或約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型用函數(shù)tf( )轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)，并與原傳遞函數(shù)進(jìn)行比較。 （4）將給定傳遞函數(shù)用函數(shù)ctrlts( )轉(zhuǎn)換為能控標(biāo)準(zhǔn)型和能觀測標(biāo)準(zhǔn)型。再將得到的能控標(biāo)準(zhǔn)型和能觀測標(biāo)準(zhǔn)型用函數(shù)tf( )轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)，并與原傳遞函數(shù)進(jìn)行比較。 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為 實(shí)驗(yàn)1 （a） (1) >> z=[],p=[0 -1 -1 -3] z = [] p = 0 -1 -1 -3 >> G=zpk(z,p,4) Zero/po

4、le/gain: 4 --------------- s (s+1)^2 (s+3) (2) >> G=ss(G) a = x1 x2 x3 x4 x1 0 1 0 0 x2 0 -1 1 0 x3 0 0 -1 1 x4 0 0 0 -3 b = u1 x1 0 x2 0 x3 0 x4 2 c = x1 x2 x3 x4

5、 y1 2 0 0 0 d = u1 y1 0 Continuous-time model. >> G=tf(G) Transfer function: 4 ------------------------- s^4 + 5 s^3 + 7 s^2 + 3 s 實(shí)驗(yàn)一 1 b （1） >> z=[-2 -4],p=[-1 -3] z = -2 -4 p = -1 -3 >> G=zpk(z,p,1) Z

6、ero/pole/gain: (s+2) (s+4) ----------- (s+1) (s+3) （2） >> G=ss(G) a = x1 x2 x1 -1 1 x2 0 -3 b = u1 x1 1 x2 1 c = x1 x2 y1 1 1 d = u1 y1 1 Continuous-time model. >> G=tf(G) Transfer fu

7、nction: s^2 + 6 s + 8 ------------- s^2 + 4 s + 3 實(shí)驗(yàn)一 2 ~{J5QiR;~} ~{#(~}2~{#)~}a ~{#(~}1~{#)~} >>A=[0 1;-5 -6];B=[0;1];C=[1 1];D=0;G=ss(A,B,C,D) Geig=eig(G) Gtf=tf(G) Gzpk=zpk(Gtf) a = x1 x2 x1 0 1 x2 -5 -6 b = u1 x1 0 x2 1 c

8、 = x1 x2 y1 1 1 d = u1 y1 0 Continuous-time model. Geig = -1 -5 Transfer function: s + 1 ------------- s^2 + 6 s + 5 Zero/pole/gain: (s+1) ----------- (s+5) (s+1) ~{#(~}2~{#)~} >> A=[0 1;-5 -6];B=[0;1];C=[1 1];D=0

9、;G=ss(A,B,C,D) Gcanon=canon(G) Geig=eig(Gcanon) Gtf=tf(Gcanon) Gzpk=zpk(Gtf) a = x1 x2 x1 0 1 x2 -5 -6 b = u1 x1 0 x2 1 c = x1 x2 y1 1 1 d = u1 y1 0 Continuous-time model. a =

10、x1 x2 x1 -1 0 x2 0 -5 b = u1 x1 0.3536 x2 1.275 c = x1 x2 y1 0 0.7845 d = u1 y1 0 Continuous-time model. Geig = -5 -1 Transfer function: 1 ----- s + 5 Zero/pol

11、e/gain: 1 ----- (s+5) ~{J5QiR;~} 2b ~{#(~}1~{#)~} >> A=[0 1 0;3 0 2;-12 -7 -6];B=[2;1;7];C=[1 1 1];D=0;G=ss(A,B,C,D) Geig=eig(G) Gtf=tf(G) Gzpk=zpk(Gtf) a = x1 x2 x3 x1 0 1 0 x2 3 0 2 x3 -12 -7 -6 b = u1 x1 2 x

12、2 1 x3 7 c = x1 x2 x3 y1 1 1 1 d = u1 y1 0 Continuous-time model. Geig = -1.0000 -2.0000 -3.0000 Transfer function: 10 s^2 + 8 s - 39 ---------------------- s^3 + 6 s^2 + 11 s + 6 Zero/pole/gain: 10 (s+

13、2.415) (s-1.615) ---------------------- (s+3) (s+2) (s+1) ~{#(~}2~{#)~} >> A=[0 1 0;3 0 2;-12 -7 -6];B=[2;1;7];C=[1 1 1];D=0;G=ss(A,B,C,D) Gcanon=canon(G) Geig=eig(Gcanon) Gtf=tf(Gcanon) Gzpk=zpk(Gtf) a = x1 x2 x3 x1 0 1 0 x2 3 0 2 x3 -12

14、-7 -6 b = u1 x1 2 x2 1 x3 7 c = x1 x2 x3 y1 1 1 1 d = u1 y1 0 Continuous-time model. a = x1 x2 x3 x1 -1 0 0 x2 0 -2 0 x3 0 0 -3 b = u1 x1 -32.0

15、4 x2 68.74 x3 58.85 c = x1 x2 x3 y1 0.5774 0.2182 0.2294 d = u1 y1 0 Continuous-time model. Geig = -3.0000 -2.0000 -1.0000 Transfer function: 10 s^2 + 8 s - 39 ---------------------- s^3 + 6 s^2 +

16、11 s + 6 Zero/pole/gain: 10 (s+2.415) (s-1.615) ---------------------- (s+3) (s+2) (s+1) 2. 已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式 (a) (b) (c) (d) （1）建立給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。用函數(shù)eig( ) 求出系統(tǒng)特征值。用函數(shù)tf( ) 和zpk( )將這些狀態(tài)空間表達(dá)式轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)，記錄得到的傳遞函

17、數(shù)和它的零極點(diǎn)。比較系統(tǒng)的特征值和極點(diǎn)是否一致，為什么? （2）用函數(shù)canon( )將給定狀態(tài)空間表達(dá)式轉(zhuǎn)換為對角標(biāo)準(zhǔn)型。用函數(shù)eig( )求出系統(tǒng)特征值。比較這些特征值和（1）中的特征值是否一致，為什么? 再用函數(shù)tf( )和zpk( )將對角標(biāo)準(zhǔn)型或約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)。比較這些傳遞函數(shù)和（1）中的傳遞函數(shù)是否一致，為什么? （3）用函數(shù)ctrlss( )將給定的狀態(tài)空間表達(dá)式轉(zhuǎn)換為能控標(biāo)準(zhǔn)型和能觀測標(biāo)準(zhǔn)型。用函數(shù)eig( )求系統(tǒng)的特征值。比較這些特征值和（1）中的特征值是否一致，為什么?再用函數(shù)tf( )將它們轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)。比較這些傳遞函數(shù)和（1）中的傳遞函數(shù)是否一致，為什

18、么? 3. 已知兩個(gè)子系統(tǒng) （1）建立兩個(gè)子系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型。求它們串聯(lián)、并聯(lián)、反饋連接時(shí), 整個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型。然后將所得傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間模型。 （2）將兩個(gè)子系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間模型。求它們串聯(lián)、并聯(lián)、反饋連接時(shí), 整個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。然后將所得狀態(tài)空間模型轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)模型。比較（1）和（2）所得的相應(yīng)的結(jié)果。 （3）將（2）中所得的整個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型的系數(shù)矩陣與教材中推導(dǎo)出的整個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式的系數(shù)矩陣比較，是否符合？ 三 附錄 1. 線性定常系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 在MATLAB中，線性定常（linea

19、r time invariant, 簡稱為 LTI）系統(tǒng)可以用4種數(shù)學(xué)模型描述，即傳遞函數(shù)(TF)模型、零極點(diǎn)增益(ZPK)模型和狀態(tài)空間(SS)模型以及SIMULINK結(jié)構(gòu)圖。前三種數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示的，且均有連續(xù)和離散兩種類型，通常把它們統(tǒng)稱為LTI模型。 1) 傳遞函數(shù)模型（TF 模型） 令單輸入單輸出線性定常連續(xù)和離散系統(tǒng)的傳遞函數(shù)分別為 (1-1) 和 。 (1-2) 在MATLAB中，連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)的傳遞函數(shù)都用分子/分母多項(xiàng)式系數(shù)構(gòu)成的兩個(gè)行向量num和den表示，即 ，

20、系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型用MATLAB提供的函數(shù)tf( )建立。函數(shù)tf ( )不僅能用于建立系統(tǒng)傳遞函數(shù)模型，也能用于將系統(tǒng)的零極點(diǎn)增益模型和狀態(tài)空間模型轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)模型。該函數(shù)的調(diào)用格式如下： 返回連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型。 返回離散系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型。Ts為采樣周期，當(dāng)Ts=-1或者Ts=[]時(shí)，系統(tǒng)的采樣周期未定義。 可將任意的LTI模型轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)模型。 例1-1 已知一個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 建立傳遞函數(shù)模型。 在命令窗中運(yùn)行下列命令 >>num=6;den=

21、[1 6 11 6];G=tf (num, den) 返回 Transfer function: 6 ---------------------- s^3 + 6 s^2 + 11 s + 6 2) 零極點(diǎn)增益模型（ZPK模型） 系統(tǒng)的零極點(diǎn)增益模型是傳遞函數(shù)模型的一種特殊形式。令線性定常連續(xù)和離散系統(tǒng)的零極點(diǎn)形式的傳遞函數(shù)分別為 (1-3) 和 (1-4) 在MATLAB中，連續(xù)和離散系統(tǒng)的零點(diǎn)和極點(diǎn)都用行向量和表示，即 ，。 系統(tǒng)的零極點(diǎn)增益模型用MATLAB提供的函數(shù)zpk

22、 ( )建立。函數(shù)zpk( )不僅能用來建立系統(tǒng)零極點(diǎn)增益模型，也能用于將系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型和狀態(tài)空間模型轉(zhuǎn)換為零極點(diǎn)增益模型。該函數(shù)的調(diào)用格式如下： 返回連續(xù)系統(tǒng)的零極點(diǎn)增益模型。 返回離散系統(tǒng)的零極點(diǎn)增益模型。Ts為采樣周期，當(dāng)Ts=-1或者Ts=[]時(shí)，系統(tǒng)的采樣周期未定義。 可將任意的LTI模型轉(zhuǎn)換為零極點(diǎn)增益模型。 例1-2 已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 建立系統(tǒng)的零極點(diǎn)增益模型。 在命令窗中運(yùn)行下列命令 >> z=[ ];p=[-1 -2 -3];k=6;G=zp

23、k(z,p,k) 返回 Zero/pole/gain: 6 ----------------- (s+1) (s+2) (s+3) 注意：無零點(diǎn)時(shí)，設(shè)z為空。 3) 狀態(tài)空間模型(SS模型) 令多輸入多輸出線性定常連續(xù)和離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式分別為 （1-5） 和 （1-6） 在MATLAB中，連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型都用MATLAB提供的函數(shù)ss ( )建立。函數(shù)ss ( )不僅能用于建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型，也能用于將系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型和零極點(diǎn)增益模型轉(zhuǎn)換為

24、狀態(tài)空間模型。該函數(shù)的調(diào)用格式如下： 返回連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。 返回離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。Ts為采樣周期，當(dāng)Ts=1或者Ts=[]時(shí)，系統(tǒng)的采樣周期未定義。 可將任意的LTI模型轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間模型。 例1-3 已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為 建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。 在命令窗中運(yùn)行下列命令 >> A=[0 1 0;0 0 1;-6 -11 -6];B=[0;0;1];C=[6 0 0];D

25、=0;G=ss(A,B,C,D) 返回 a = x1 x2 x3 x1 0 1 0 x2 0 0 1 x3 -6 -11 -6 b = u1 x1 0 x2 0 x3 1 c = x1 x2 x3 y1 6 0 0 d = u1 y1 0 Continuous-time model. 注意：D=0不能缺省。 2．模型轉(zhuǎn)換 上述三種LTI模型之間可以通過函

26、數(shù)tf( )，zpk( )和ss( )相互轉(zhuǎn)換。線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型和零極點(diǎn)增益模型是唯一的，但系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型是不唯一的。函數(shù)ss( )只能將傳遞函數(shù)模型和零極點(diǎn)增益模型轉(zhuǎn)換為一種指定形式的狀態(tài)空間模型。 例1-4 已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，建立TF模型，將其轉(zhuǎn)換為ZPK模型和SS模型。再將轉(zhuǎn)換得到的SS模型轉(zhuǎn)換為TF模型。 編制如下程序%ex14。 %ex14 num=5;den=[1 4 5 2];Gtf=tf(num,den); Gzp

27、k=zpk(Gtf) Gss=ss(Gtf) Gtf1=tf(Gss) 在命令窗中運(yùn)行該程序，即 >> ex14 返回 Zero/pole/gain: 5 ------------- (s+2) (s+1)^2 a = x1 x2 x3 x1 -4 -2.5 -0.5 x2 2 0 0 x3 0 2 0 b = u1 x1 1 x2 0 x3 0 c = x

28、1 x2 x3 y1 0 0 1.25 d = u1 y1 0 Continuous-time model. Transfer function: 5 --------------------- s^3 + 4 s^2 + 5 s + 2 傳遞函數(shù)可以轉(zhuǎn)換為約旦標(biāo)準(zhǔn)型（包括對角標(biāo)準(zhǔn)型）、能控標(biāo)準(zhǔn)型和能觀測標(biāo)準(zhǔn)型。 我們編制的函數(shù)jordants( ) 可用部分分式展開將傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換為對角標(biāo)準(zhǔn)型或約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型。該函數(shù)的調(diào)用格式為： 其中num和den分別為傳遞函數(shù)分子和分母多項(xiàng)式系數(shù)的行向

29、量，為轉(zhuǎn)換得到對角標(biāo)準(zhǔn)型或約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型。 該函數(shù)的程序如下： function Gj=jordants(num,den) %用部分分式展開將傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型 [R,P,K]=residue(num,den); j=1;q=P(1);m(1)=0; for i=1:length(P) if P(i)==q m(j)=m(j)+1; else q=P(i); j=j+1; m(j)=1; end end %計(jì)算各極點(diǎn)的重?cái)?shù) Aj=diag(P); for i=1:length

30、(P)-1 if Aj(i,i)==Aj(i+1,i+1) Aj(i,i+1)=1; else Aj(i,i+1)=0; end end %構(gòu)造系統(tǒng)矩陣Aj B1=0; l=0; for j=1:length(m) l=l+m(j); B1(l)=1; end Bj=B1; %構(gòu)造輸入矩陣Bj n=1;l=m(1); Cj(:,1:m(1))=rot90(R(1:m(1),:),3); for k=2:length(m) n=l+1;l=l+m(k); Cj(:,n:l)=rot90(

31、R(n:l,:),3); end %構(gòu)造輸出矩陣Cj if K==[ ] Dj=0; else Dj=K; end %構(gòu)造直聯(lián)矩陣Dj Gj=ss(Aj,Bj,Cj,Dj); 例1-5 已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 將其轉(zhuǎn)換為對角標(biāo)準(zhǔn)型。 在命令窗中運(yùn)行下列命令 >> num=6;den=[1 6 11 6];Gj=jordants(num,den) 返回 a = x1 x2 x3 x

32、1 -3 0 0 x2 0 -2 0 x3 0 0 -1 b = u1 x1 1 x2 1 x3 1 c = x1 x2 x3 y1 3 -6 3 d = u1 y1 0 Continuous-time model. 例1-6 已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 將其轉(zhuǎn)換為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型。 在命令窗中運(yùn)行下列命令 >> num=[2 10 17 1

33、1]; den=[1 5 8 4]; Gj=jordants(num,den) 返回 a = x1 x2 x3 x1 -2 1 0 x2 0 -2 0 x3 0 0 -1 b = u1 x1 0 x2 1 x3 1 c = x1 x2 x3 y1 -1 -2 2 d = u1 y1 2 Continuous-time model. 我們編制的函數(shù)ctrlts( )可將傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換為能

34、控標(biāo)準(zhǔn)型。該函數(shù)的調(diào)用格式為： 其中num和den分別為傳遞函數(shù)的分子和分母多項(xiàng)式系數(shù)的行向量，為轉(zhuǎn)換得到的能控標(biāo)準(zhǔn)型。 該函數(shù)的程序如下: function Gc=ctrlts(num,den) %將傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換為能控標(biāo)準(zhǔn)型 m=length(num)-1;n=length(den)-1; if m==n [R,P,K]=residue(num,den); num1=num-K*den; A(n,:)=-1*rot90(den(:,2:n+1),2); A(1:n-1,2:n)=eye(n-1); A(1:n-1,1)=zeros(n-1,1); B=[z

35、eros(n-1,1);1]; C=rot90(num1(:,2:n+1),2); D=K; else A(n,:)=-1*rot90(den(:,2:n+1),2); A(1:n-1,2:n)=eye(n-1); A(1:n-1,1)=zeros(n-1,1); B=[zeros(n-1,1);1]; C(:,1:m+1)=rot90(num,2); C(:,m+2:n)=zeros(1,n-m-1); D=0; end Gc=ss(A,B,C,D); 例1-7 將例1-6中的傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換為能控標(biāo)準(zhǔn)型。 在命令窗中運(yùn)行下列命令 >> num=[2 10 17

36、11];den=[1 5 8 4];Gc=ctrlts(num,den) 返回 a = x1 x2 x3 x1 0 1 0 x2 0 0 1 x3 -4 -8 -5 b = u1 x1 0 x2 0 x3 1 c = x1 x2 x3 y1 3 1 0 d = u1 y1 2 Continuous-time model. 進(jìn)一步，求能控標(biāo)準(zhǔn)型的對偶系統(tǒng)可得能觀測標(biāo)準(zhǔn)型。在命令窗

37、中運(yùn)行下列命令 >> Ao=(Gc.a);Bo=(Gc.c);Co=(Gc.b);Do=Gc.d;Go=ss(Ao,Bo,Co,Do) 返回 a = x1 x2 x3 x1 0 0 -4 x2 1 0 -8 x3 0 1 -5 b = u1 x1 3 x2 1 x3 0 c = x1 x2 x3 y1 0 0 1 d = u1 y1 2 Continuous-time mode

38、l. 下面是介紹MATLAB提供的三個(gè)函數(shù)tfdata( ), zpkdata( ), ssdata( )。 函數(shù)tfdata( ) 可得到傳遞函數(shù)模型的分子分母多項(xiàng)式系數(shù)。其調(diào)用格式為 其中G為系統(tǒng)LTI模型。和den分別為分子和分母多項(xiàng)式的系數(shù)向量。 函數(shù)zpkdata( ) 可得到零極點(diǎn)增益模型的零點(diǎn)、極點(diǎn)和增益。其調(diào)用格式為 其中G為系統(tǒng)LTI模型。z和p分別為零點(diǎn)和極點(diǎn)向量，k為增益。 函數(shù)ssdata( ) 可得到狀態(tài)空間模型的系數(shù)矩陣。其調(diào)用格式為 其中G為系統(tǒng)LTI模型。A,B,C,D為系數(shù)矩陣。 3. 模型的連接 1) 串聯(lián)連接 設(shè)線性定常系統(tǒng)1和2的L

39、TI模型分別為和。在MATLAB中, 兩者的串聯(lián)連接（參教材）可由命令實(shí)現(xiàn)，其中G為整個(gè)系統(tǒng)的LTI模型。多個(gè)系統(tǒng)的串聯(lián)連接可由命令實(shí)現(xiàn)。 2) 并聯(lián)連接 設(shè)線性定常系統(tǒng)1和2的LTI模型分別為和。在MATLAB中, 兩者的并聯(lián)連接（參教材）可由命令實(shí)現(xiàn)，其中G為整個(gè)系統(tǒng)的LTI模型。多個(gè)系統(tǒng)的并聯(lián)連接可由命令實(shí)現(xiàn)。 3) 反饋連接 設(shè)線性定常系統(tǒng)1和2的LTI模型分別為和。在MATLAB中, 兩者的反饋連接（參教材）可由MATLAB提供的函數(shù)feedback( )實(shí)現(xiàn)。該函數(shù)的調(diào)用格式為： 其中G為整個(gè)系統(tǒng)LTI模型。如果Sign=-1或省略Sign變

40、量，則表示負(fù)反饋。如果Sign=1, 則表示正反饋。 4. 狀態(tài)空間表達(dá)式的相似變換 線性定常系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為，假設(shè)存在一個(gè)非奇異矩陣T將原狀態(tài)x變換為z=Tx， 則狀態(tài)z對應(yīng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為，其中，，。 MATLAB提供函數(shù)ss2ss( )可完成狀態(tài)空間模型的相似變換。該函數(shù)調(diào)用格式為 其中G為原狀態(tài)空間模型。T為變換矩陣。為經(jīng)變換得到的狀態(tài)空間模型。 例1-8 考慮一個(gè)系統(tǒng)，它的狀態(tài)空間表達(dá)式為 由于該系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣A為友矩陣，所以可

41、由其特征值構(gòu)造變換矩陣。令變換矩陣T為。 在命令窗中運(yùn)行下列命令 >> A=[0 1;-2 -3];B=[1 1];C=[1 0];G=ss(A,B,C,0); T=inv([1 1;-1 -2]); G1=ss2ss(G,T) 返回 a = x1 x2 x1 -1 0 x2 0 -2 b = u1 x1 3 x2 -2 c = x1 x2 y1 1 1 d = u1 y1 0 Continuous-time model.

42、 通過線性變換可將狀態(tài)空間表達(dá)式變換為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型（包括對角標(biāo)準(zhǔn)型），能控標(biāo)準(zhǔn)型和能觀測標(biāo)準(zhǔn)型。 MATLAB提供的函數(shù)canon( )可將狀態(tài)空間表達(dá)式變換為對角標(biāo)準(zhǔn)型或約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型。該函數(shù)的調(diào)用格式為： 其中G為原狀態(tài)空間模型，而GJ為轉(zhuǎn)換得到的對角標(biāo)準(zhǔn)型或約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型。但該函數(shù)在系統(tǒng)含有重特征值時(shí)，效果不甚理想。 例1-9 利用函數(shù)canon( )將例1-8中狀態(tài)空間表達(dá)式變換為對角標(biāo)準(zhǔn)型。 在命令窗中運(yùn)行下列命令 >> A=[0 1;-2 -3];B=[1 1];C=[1 0];G=ss(A,B,C,0); G1=canon(G,’modal’) 返回 a =

43、 x1 x2 x1 -1 0 x2 0 -2 b = u1 x1 4.243 x2 4.472 c = x1 x2 y1 0.7071 -0.4472 d = u1 y1 0 Continuous-time model. 如果SISO線性定常系統(tǒng)完全能控，則可通過非奇異線性變換將狀態(tài)空間表達(dá)式變換為能控標(biāo)準(zhǔn)型。 我們編制的函數(shù)ctrlss( ) 可實(shí)現(xiàn)這一變換。該函數(shù)的調(diào)用格式為： 其中G為原來的狀態(tài)空

44、間模型。Gc為轉(zhuǎn)換得到的能控標(biāo)準(zhǔn)型。 該函數(shù)程序如下： function Gc=ctrlss(A,B,C,D) %將狀態(tài)空間表達(dá)式變換為能控標(biāo)準(zhǔn)型 n=length(A); Uc=ctrb(A,B); U=inv(Uc); p1=U(n,:); for i=1:n T(i,:)=p1*A^(i-1); end Ac=T*A*inv(T); Bc=T*B; Cc=C*inv(T); Gc=ss(Ac,Bc,Cc,D); 例1-10 考慮一個(gè)系統(tǒng)，它的狀態(tài)空間表達(dá)式為 將其轉(zhuǎn)換為能控標(biāo)準(zhǔn)型。 在命

45、令窗中運(yùn)行下列命令 >> A=[0 2 -2;1 1 -2;2 -2 1];B=[2 1 1];C=[1 1 1];D=0;Gc=ctrlss(A,B,C,D) 返回 a = x1 x2 x3 x1 -4.441e-016 1 1.665e-016 x2 -8.882e-016 0 1 x3 -2 1 2 b = u1

46、 x1 1.388e-017 x2 0 x3 1 c = x1 x2 x3 y1 -20 -4 4 d = u1 y1 0 Continuous-time model. 試編將狀態(tài)空間表達(dá)式變換為能觀測標(biāo)準(zhǔn)型的函數(shù)。 實(shí)驗(yàn)二 線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程的解 一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康? 1. 掌握狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的概念。學(xué)會(huì)用MATLAB求解狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。 2. 掌握線性系統(tǒng)狀態(tài)方程解的結(jié)構(gòu)。學(xué)會(huì)用MATLAB求解線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)和輸出

47、響應(yīng)，并繪制相應(yīng)曲線。 二、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容 1. 求下列系統(tǒng)矩陣A對應(yīng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 （a） （b） （c） （d） 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù) (1)a A=[0 -1;4 0];syms t; phet=expm(A*t) phet = [ cos(2*t), -1/2*sin(2*t)] [ 2*sin(2*t), cos(2*t)] (1)b phet = [ -2*t*exp(t)+exp(2*t), -2*exp(2*t)

48、+2*exp(t)+3*t*exp(t), exp(2*t)-exp(t)-t*exp(t)] [ 2*exp(2*t)-2*exp(t)-2*t*exp(t), 5*exp(t)+3*t*exp(t)-4*exp(2*t), 2*exp(2*t)-2*exp(t)-t*exp(t)] [ -2*t*exp(t)+4*exp(2*t)-4*exp(t), -8*exp(2*t)+8*exp(t)+3*t*exp(t), -3*exp(t)+4*exp(2*t)-t*exp(t)] (2)1a >> A=[0 1;-6 -5];syms s;G=inv(s*e

49、ye(size(A))-A);phet=ilaplace(G);X0=[1 0];Xt1=phet*X0; >> B=[0 1];Xt2=ilaplace(G*B*(0)) Xt1 = [ -2*exp(-3*t)+3*exp(-2*t)] [ -6*exp(-2*t)+6*exp(-3*t)] Xt2 = [ 0] [ 0] 有圖 >> y=initial(G,x0) y = 1.0000 0.9978 0.9917 0.9821 0.9695 0.9544 0.9372

50、0.9182 0.8978 0.8761 0.8535 0.8301 0.8063 0.7820 0.7576 0.7331 0.7086 0.6842 0.6600 0.6362 0.6127 0.5896 0.5670 0.5449 0.5233 0.5022 0.4817 0.4619 0.4425 0.4238 0.4057 0.3882

51、0.3713 0.3550 0.3393 0.3242 0.3096 0.2956 0.2821 0.2692 0.2567 0.2448 0.2334 0.2225 0.2120 0.2019 0.1923 0.1831 0.1743 0.1659 0.1579 0.1503 0.1429 0.1360 0.1293 0.1229 0.1169

52、0.1111 0.1056 0.1003 0.0953 0.0906 0.0860 0.0817 0.0776 0.0737 0.0700 0.0664 0.0631 0.0599 0.0568 0.0539 0.0512 0.0486 0.0461 0.0437 0.0415 0.0393 0.0373 0.0354 0.0336 0.0318

53、0.0302 0.0286 0.0271 0.0257 0.0244 0.0231 0.0219 0.0208 0.0197 0.0187 0.0177 0.0168 0.0159 0.0150 0.0143 0.0135 0.0128 0.0121 0.0115 0.0109 0.0103 0.0098 0.0093 0.0088 0.0083

54、0.0079 0.0075 2. 已知系統(tǒng) （1）令初始狀態(tài)為，輸入為零。 a) 用MATLAB求狀態(tài)方程的解析解。選擇時(shí)間向量t，繪制系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)曲線。觀察并記錄這些曲線。 b) 用函數(shù)initial( )計(jì)算系統(tǒng)在初始狀態(tài)作用下狀態(tài)響應(yīng)和輸出響應(yīng)的數(shù)值解, 并用函數(shù)plot( ) 繪制系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)曲線和輸出響應(yīng)曲線。觀察并記錄這些響應(yīng)曲線，然后將這一狀態(tài)響應(yīng)曲線與a)中狀態(tài)響應(yīng)曲線進(jìn)行比較。 c) 根據(jù)b)中所得的狀態(tài)響應(yīng)的數(shù)值解，用命令

55、plot(x(:,1), x(:,2))繪制系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡。記錄系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移的過程，結(jié)合a)和b)中的狀態(tài)響應(yīng)曲線分析這一過程。 (2) 令初始狀態(tài)為零，輸入為。 a) 用MATLAB求狀態(tài)方程的解析解。選擇時(shí)間向量t，繪制系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)曲線。觀察并記錄這些曲線。 b) 用函數(shù)initial( )計(jì)算系統(tǒng)在初始狀態(tài)作用下狀態(tài)響應(yīng)和輸出響應(yīng)的數(shù)值解, 并用函數(shù)plot( ) 繪制系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)曲線和輸出響應(yīng)曲線。觀察并記錄這些響應(yīng)曲線，然后將這一狀態(tài)響應(yīng)曲線與a).中狀態(tài)響應(yīng)曲線進(jìn)行比較。 c) 根據(jù)b)中所得的狀態(tài)響應(yīng)的數(shù)值解，用命令plot(x(:,1), x(:,2))繪制系統(tǒng)的狀

56、態(tài)軌跡。記錄系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移的過程，結(jié)合a)和b)中的狀態(tài)響應(yīng)曲線分析這一過程。 （3）令初始狀態(tài)為，輸入為。求系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)和輸出響應(yīng)的數(shù)值解，繪制系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)曲線、輸出響應(yīng)曲線和狀態(tài)軌跡。觀察和分析這些響應(yīng)曲線和狀態(tài)軌跡是否是（1）和（2）中的響應(yīng)曲線和狀態(tài)軌跡的疊加。 （4） 令初始狀態(tài)為零，輸入為。用函數(shù)lsim( )計(jì)算狀態(tài)響應(yīng)和輸出響應(yīng)的數(shù)值解，并繪制系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)曲線、輸出響應(yīng)曲線和狀態(tài)軌跡。 3. 已知系統(tǒng) 且初始狀態(tài)為。 （1）當(dāng)輸入為時(shí)，用函數(shù)initial( )和impulse

57、( )求解系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)和輸出響應(yīng)的數(shù)值解，并繪制系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)曲線、輸出響應(yīng)曲線和狀態(tài)軌跡。 （2）當(dāng)輸入為時(shí)，用函數(shù)initial( )和step( )求解系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)和輸出響應(yīng)的數(shù)值解，并繪制系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)曲線、輸出響應(yīng)曲線和狀態(tài)軌跡。 （3）當(dāng)輸入為時(shí)，用函數(shù)initial( )和lsim( )求解系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)和輸出響應(yīng)的數(shù)值解，并繪制系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)曲線、輸出響應(yīng)曲線和狀態(tài)軌跡。 （4）當(dāng)輸入為時(shí)，用函數(shù)initial( ) 和lsim( )求解系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)和輸出響應(yīng)的數(shù)值解，并繪制系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)曲線、輸出響應(yīng)曲線和狀態(tài)軌跡。 三、附錄 1、線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣

58、的計(jì)算 線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為。 （3-2-1） 在MATLAB中, 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣可直接用指數(shù)矩陣法和拉氏反變換法計(jì)算。 例2-1 求系統(tǒng)矩陣A對應(yīng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。 指數(shù)矩陣法： 在命令窗中運(yùn)行下列命令 >> A=[0 1;-2 -3];syms t; phet=expm(A*t) 返回 phet = [ -exp(-2*t)+2*exp(-t), exp(-t)-exp(-2*t)] [ -2*exp(-t)+2*exp(-

59、2*t), 2*exp(-2*t)-exp(-t)] 拉氏反變換法： 在命令窗中運(yùn)行下列命令 >> A=[0 1;-2 -3]; syms s;G=inv(s*eye(size(A))-A) 返回 G = [ (s+3)/(s^2+3*s+2), 1/(s^2+3*s+2)] [ -2/(s^2+3*s+2), s/(s^2+3*s+2)] 即。再對其進(jìn)行拉氏逆變換，即在命令窗中輸入語句 >>phet= ilaplace(G) 返回 phet = [ -exp(-2*t)+2*exp(-t), exp(-t)-exp(-

60、2*t)] [ -2*exp(-t)+2*exp(-2*t), 2*exp(-2*t)-exp(-t)] 2. 線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程求解 如果線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為 且初始狀態(tài)為，那么狀態(tài)方程解的拉氏變換式為 （3-2-2） 其解為 （3-2-3） 其中零輸入響應(yīng)為 或 （3-2-4） 零狀態(tài)響應(yīng)為 或

61、 （3-2-5） 系統(tǒng)的輸出響應(yīng)為 （3-2-6） 例2-2 已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 試求初始狀態(tài)為，輸入分別為和 時(shí)狀態(tài)方程的解。 編制程序%ex22求輸入為時(shí)狀態(tài)方程的解。該程序如下： A=[0 1;-2 -3];syms s;G=inv(s*eye(size(A))-A);phet=ilaplace(G);X0=[1 -1];Xt1=phet*X0; >> B=[0 1];Xt2=ilaplace(G*B*(1/s)) 在命令窗中運(yùn)行該程序，即 >> ex22

62、 返回 xt1 = [ exp(-t)] [ -exp(-t)] xt2 = [ 1/2-exp(-t)+1/2*exp(-2*t)] [ exp(-t)-exp(-2*t)] 其中xt1為零輸入響應(yīng)，xt2為零狀態(tài)響應(yīng)。 將該程序中用代替可求出輸入為單位斜坡函數(shù)時(shí)狀態(tài)方程的解 xt1 = [ exp(-t)] [ -exp(-t)] xt2 = [ 1/2*t-3/4-1/4*exp(-2*t)+exp(-t)] [ 1/2-exp(-t)+1/2*exp(-2*t)] 上述得到的是狀態(tài)方程的解析解，MATLAB提供的函數(shù)ste

63、p( ) 、impulse( )、lsim( ) 和initial( )可以求得系統(tǒng)響應(yīng)的數(shù)值解。 函數(shù)step( ) 可直接求取線性連續(xù)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。該函數(shù)的調(diào)用格式為： 其中G為給定系統(tǒng)LTI模型，t為時(shí)間向量。通常取t=0:dt:t-end，其中t-end為終值時(shí)間，而dt為時(shí)間步長。y為系統(tǒng)輸出。 這時(shí)時(shí)間向量t自動(dòng)生成。 或 如果G為狀態(tài)空間模型，則x為系統(tǒng)狀態(tài)向量，否則x將返回空矩陣。 或 此時(shí)不返回任何變量，而自動(dòng)地繪制單位階躍響應(yīng)輸出曲線。 函數(shù)impulse( ) 可直接求取線性系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)。該函數(shù)的調(diào)用格式與函數(shù)

64、step( )的調(diào)用格式相似。 函數(shù)lsim( ) 可直接求取線性系統(tǒng)在任意輸入信號作用下的響應(yīng)。該函數(shù)的調(diào)用格式為： 其中u為與時(shí)間向量t對應(yīng)的輸入向量。當(dāng)然還可以和step( )函數(shù)一樣有其它的調(diào)用格式。 函數(shù)initial( ) 可求解系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)。該函數(shù)的調(diào)用格式為 或 其中G為狀態(tài)空間模型，x0為初始狀態(tài)。 例2-3 已知系統(tǒng)為 初始狀態(tài)為，試求u(t)為單位階躍函數(shù)時(shí)系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)和輸出響應(yīng)，并繪制狀態(tài)響應(yīng)曲線和輸出響應(yīng)曲線。 在命令窗中運(yùn)行下列命令，建立狀態(tài)空間

65、模型，計(jì)算系統(tǒng)在初始狀態(tài)作用下的狀態(tài)響應(yīng)和輸出響應(yīng)，并繪制相應(yīng)的響應(yīng)曲線。 >> A=[0 1;-2 -3]; B=[0;1]; C=[1 1]; D=0; G=ss(A,B,C,D); t=0:0.5:10; x0=[1;-1]; [yo,t,xo]=initial(G,x0,t); plot(t,xo,:,t,yo,-) 返回圖1。 圖1狀態(tài)響應(yīng) 圖2 輸出響應(yīng) 在命令窗中繼續(xù)運(yùn)行下列命令，計(jì)算系統(tǒng)在輸入作用下的狀態(tài)響應(yīng)和輸出響應(yīng)，并繪制相應(yīng)的響應(yīng)曲線。 >>fig

66、ure(pos,[50 50 200 150],color,w)； u=ones(size(t)); [yu,t,xu]=lsim(G,u,t); plot(t,xu,:,t,yu,-) 返回圖2。 再繼續(xù)運(yùn)行下列命令求系統(tǒng)總的狀態(tài)響應(yīng)和輸出響應(yīng)，并繪制相應(yīng)的響應(yīng)曲線。 >>y=yo+yu; x=xo+xu; plot(t,x,:,t,y,-) 返回圖3。 圖3 圖4 例2-4 已知系統(tǒng) 求出系統(tǒng)在初始狀態(tài)為零，且時(shí)系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)和輸出響應(yīng)。 在命令窗中運(yùn)行下列命令 >>A=[0 1;-5 -6];B=[2;0];C=[1 2];D=0;G=ss(A,B,C,D);t=0:0.5:20;u=exp(-t); [y,t,x]=lsim(G,u,t);plot(t,x,:k,t,y,