初中數(shù)學(xué)：《精彩拼圖》教案

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1、 精彩拼圖——一節(jié)凸顯“類(lèi)比、轉(zhuǎn)化”等數(shù)學(xué)思想方法的活動(dòng)課。 1 教學(xué)目標(biāo)：（1）掌握處理拼圖的必要策略，通過(guò)利用面積不變獲取必要信息。 （2）經(jīng)歷拼圖過(guò)程，感受類(lèi)比、從特殊到一般、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，提升分析、解決綜合性問(wèn)題的能力。 教學(xué)重點(diǎn)：經(jīng)歷拼圖過(guò)程，提升分析、解決綜合性問(wèn)題的能力。 教學(xué)難點(diǎn)：挑戰(zhàn)題和合作學(xué)習(xí)具有一定的難度，是本節(jié)教學(xué)的難點(diǎn)。 2 課堂實(shí)錄 2.1 課堂引入 同學(xué)們，見(jiàn)過(guò)這個(gè)圖形嗎？它是由21個(gè)小正方形拼成的正方形，稱(chēng)為“完美正方形”！你知道它是怎么拼出來(lái)的嗎？老師今天就想和同學(xué)們一

2、起來(lái)探索拼圖問(wèn)題。（出示課題）首先，讓我們來(lái)看這樣一個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題： 2.2 出示問(wèn)題1 如圖，把兩個(gè)11的小正方形剪拼成一個(gè)大正方形.(要求剪拼時(shí)不留空隙又不重疊) 師：請(qǐng)問(wèn)如何分割？ 生：沿對(duì)角線分割。 師：請(qǐng)問(wèn)你為什么沿對(duì)角線分割？ 生：這樣能分成4個(gè)等腰直角三角形，而四個(gè)等腰直角三角形可以拼成一個(gè)正方形。 師：很好，這位同學(xué)通過(guò)直觀觀察發(fā)現(xiàn)四個(gè)等腰直角三角形可以拼成一個(gè)正方形。在此過(guò)程中，形狀發(fā)生了改變，同學(xué)們有沒(méi)有發(fā)現(xiàn)不變的量。 生：面積 師：太棒了！面積不變。那面積多少呢? 生：2 師：知道了面積，那正方形的邊長(zhǎng)多少呢？ 生： 師

3、：邊長(zhǎng)，那小正方形對(duì)角線長(zhǎng)度多少？ 生： 師：很好，所以在拼圖前，先別急著畫(huà)圖，而是可以利用面積不變，先計(jì)算出邊長(zhǎng)為，再在原圖中找到的線段。這樣我們就可以有目的的沿對(duì)角線進(jìn)行分割。 板書(shū)：方法：1.求邊長(zhǎng)（面積不變）；2.找邊長(zhǎng)。 師：現(xiàn)在，我們已經(jīng)知道兩個(gè)大小相等的正方形能拼成一個(gè)正方形，那如果兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)不一樣時(shí)，它們還能拼成正方形嗎？請(qǐng)看： 變式1 如圖，正方形ABCD的邊CD在正方形ECGF的邊CE上，B、C、G三點(diǎn)在一條直線上，且邊長(zhǎng)分別為 5 和 12 .把這圖形剪拼成一個(gè)正方形. A D F E C G B A B C D F G E

4、 請(qǐng)學(xué)生在黑板上畫(huà)圖。 教師：請(qǐng)問(wèn)你是怎么想的？ 生：面積先計(jì)算出來(lái)是25+144=169，所以新正方形的邊長(zhǎng)應(yīng)該是13，而CD=5,CG=12,所以DG=13. 師:很好，聯(lián)想剛才的拼圖，先計(jì)算邊長(zhǎng)，再找出邊長(zhǎng)，進(jìn)行了很好的類(lèi)比,這就是類(lèi)比的數(shù)學(xué)思想。（板書(shū)：類(lèi)比思想）老師在看大家畫(huà)圖的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)很多同學(xué)和以下圖形其中的一個(gè)相同。 A B D E G C F A D F E G C B H A D F E B G C K A B C D G E F A B C D E F

5、G 現(xiàn)在我們來(lái)研究一下是通過(guò)怎樣的變換拼成正方形。我們發(fā)現(xiàn)四個(gè)圖都可以看成先把小正方形平移到虛線的位置，然后延長(zhǎng)較大正方形其中一邊，然后再平移兩個(gè)直角邊為5和12的直角三角形就能拼成需要的正方形。由此，我們也可以直接在原圖中延長(zhǎng)CE至H，使得EH=5，連結(jié)AH,HF,在CG上截取點(diǎn)K，使得KG=5，連結(jié)AK，可以證明△ADH≌△HEF≌△KGF≌△ABK,也可以證明四邊形AKFH是正方形。那么，任意兩個(gè)正方形都能拼成一個(gè)正方形嗎？ 學(xué)生4：只需要設(shè)兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)分別為、，后面拼圖的過(guò)程和前面一樣。 教師：非常好，又一次進(jìn)行類(lèi)比！看來(lái)，只要給定兩個(gè)正方形，就一定能拼成

6、一個(gè)正方形！那么，如果給你一個(gè)正方形，一個(gè)矩形，它們能拼成一個(gè)正方形嗎？請(qǐng)看： 變式2 C D E M H K B A N F G 如圖，正方形ABCD的邊CD在矩形ECGF的邊CE上，B、C、G三點(diǎn)在一條直線上，且AB=5,CE=6，CG=24，把這圖形剪拼成一個(gè)正方形。 E F D G A C B 生：我只能算出拼成的正方形的邊長(zhǎng)為13，怎么操作還不知道。 師：請(qǐng)繼續(xù)思考。 生：先沿著矩形中間切一刀，把它拼成一個(gè)正方形，這樣就跟剛才情況一樣了。 師：（激動(dòng)地）噢，可以轉(zhuǎn)化成兩個(gè)正方形！好主意！把不會(huì)的轉(zhuǎn)化為會(huì)的，把陌生的轉(zhuǎn)化為熟悉

7、的，這就是轉(zhuǎn)化思想（ 板書(shū)：轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。）請(qǐng)繼續(xù)挑戰(zhàn)： 變式3 C D E F G B N A H M E F B A D C 如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為12，等腰Rt△AFE的斜邊AE=10，且邊AD和AE在同一直線上．把這圖形剪拼成一個(gè)正方形。 生：作AE邊上的高FG，把等腰直角三角形拼成正方形，后面拼圖的過(guò)程和前面一樣。 師：又是轉(zhuǎn)化！一路走來(lái)：兩個(gè)正方形可拼成一個(gè)正方形；一個(gè)矩形、一個(gè)正方形也可以拼成一個(gè)正方形！一個(gè)正方形、一個(gè)等腰直角三角形也能拼成一個(gè)正方形。那么，你還能找到兩個(gè)圖形，它們也能拼成正方形嗎？請(qǐng)你畫(huà)一畫(huà)。 生8

8、：兩個(gè)等腰直角三角形。（也許學(xué)生可能會(huì)提出兩個(gè)矩形） 我找的圖形 E M G C B H F N A 如圖，等腰Rt△AFE的斜邊AE=10 ，等腰Rt△ABC的斜邊AC=24，且邊AE和AC在同一直線上．把這圖形剪拼成一個(gè)正方形. C E F B A 師：怎么拼？ 生：把兩個(gè)等腰直角三角形先轉(zhuǎn)化成正方形，再類(lèi)比前面的方法，可以拼成一個(gè)正方形。 師：非常好！類(lèi)比、轉(zhuǎn)化，我們就能解決了！ 師：通過(guò)一些圖形的剪拼，我們學(xué)到了解決此類(lèi)問(wèn)題的方法是什么？ 生：先利用面積求出邊長(zhǎng)，再找到這樣的邊長(zhǎng)。 師：好，哪些數(shù)學(xué)思想給了我們很大的幫助？

9、 生：類(lèi)比、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。 師：好，帶著這些方法和數(shù)學(xué)思想，我們繼續(xù)挑戰(zhàn)： 2.2 問(wèn)題2 A B C D E 如圖,把這張由三個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正三角形組成的等腰梯形紙片裁2刀拼成一個(gè)等邊三角形. 生：我只能算出拼成的等邊三角形的邊長(zhǎng)為，怎么拼還在想。 師：請(qǐng)問(wèn)你是如何得到等邊三角形的邊長(zhǎng)為。 生：利用面積不變，先計(jì)算出等腰梯形的面積為，從而得到等邊三角形的邊長(zhǎng)為 師：很好，在這里我們還是利用面積不變，先計(jì)算出等邊三角形的邊長(zhǎng)為。那么在這圖中，哪兩個(gè)點(diǎn)的距離是？ 生：A、C兩點(diǎn)的距離是。 師：OK，那么請(qǐng)你繼續(xù)思考該如何分割？ 生：小等邊三角形的高為

10、，所以可以先沿著等腰梯形的對(duì)角線分割，再沿著等腰梯形的一條高分割，操作如圖： 師：非常好，那如下3個(gè)等腰梯形，你們認(rèn)為可以拼成一個(gè)等邊三角形嗎？ A B C D E 1 1 1 2 A B C D F 1 1 E 2 1 A B C D 1 1 1 2 生：可以，仍然可以把這圖形轉(zhuǎn)化為剛才的等腰梯形。 師：非常好，“殊圖同歸”！可見(jiàn)，學(xué)數(shù)學(xué)關(guān)鍵是思想和方法！那我們繼續(xù)挑戰(zhàn)。 2.3 問(wèn)題3（合作學(xué)習(xí)） 圖1 如圖1是被減去了四分之一圓弧的一部分圓， （1）把圖1剪拼成一個(gè)正方形。 （2

11、）若這樣的圖形有兩塊，把這兩個(gè)圖形剪拼成一個(gè)正方形. （3）若只裁2刀，把這兩個(gè)圖形剪拼成一個(gè)正方形。 圖1 生：第（1）題學(xué)生黑板操作如下： 生：第（2）題學(xué)生描述操作如下： 再把這兩個(gè)正方形按照前面的操作剪拼成一個(gè)正方形。 師：非常好，通過(guò)轉(zhuǎn)化思想，先拼出兩個(gè)正方形，再把這兩個(gè)正方形拼成一個(gè)大的正方形。 那假如圓的直徑為2，你能得出圖1的面積嗎？為什么？ 生：面積為2，因?yàn)樵瓐D的面積和正方形的面積一樣。而正方形面積算出來(lái)是2。 師：你很棒，我們同樣給點(diǎn)掌聲。在這里我們發(fā)現(xiàn)，計(jì)算一個(gè)不規(guī)則圖形的面積時(shí)，也可以先通過(guò)拼成一個(gè)規(guī)則圖形再計(jì)算面積，當(dāng)然，有個(gè)前提，是比

12、較直觀的能拼出規(guī)則圖形。那第3個(gè)問(wèn)題顯然不是那么容易一下子拼出來(lái)，那么你們應(yīng)該怎么思考呢？ 生：第（3）題描述操作如下： 師：你們這組為什么想到沿著直徑進(jìn)行分割？ 生：假如圓的直徑為2，我們先算出兩個(gè)圖形的面積和為4，所以拼成的正方形的邊長(zhǎng)應(yīng)該為2，所以應(yīng)該沿著直徑分割。 師：你們非常棒，又是通過(guò)面積不變，求邊長(zhǎng)，找邊長(zhǎng)。別的組還有不同的分割方法嗎？ 生：老師，我們的分割如下： 生：老師，我們的分割如下： 生：老師，我們的分割如下： 2.4 課堂小結(jié)： 方法：（1）求邊長(zhǎng)（面積不變）（2）找邊長(zhǎng) 數(shù)學(xué)思想：類(lèi)比、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法。 教師：今天，我們拼出了很多圖形，但離完美正方形還有很大的距離，需要我們繼續(xù)努力學(xué) 習(xí)數(shù)學(xué)，才能成就完美的未來(lái)！ 同學(xué)們，再見(jiàn)！