九年級數(shù)學(xué)上冊 專題突破講練 認(rèn)識圓的軸對稱性試題 （新版）青島版.doc

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認(rèn)識圓的軸對稱性 1. 垂徑定理的內(nèi)容 垂徑定理：垂直于非直徑的弦的直徑，平分弦且平分弦所對的兩段弧。 符號語言：如圖，圓O中，如果直徑CD⊥AB于E， 那么有結(jié)論：AE＝BE，＝，＝。 說明： （1）垂徑定理是由圓是軸對稱圖形（直徑所在的直線是對稱軸）得來的。 （2）定理中為什么不能遺忘“不是直徑”這個附加條件？因為若是直徑，由于兩條直徑總是互相平分的，因此不會有垂徑定理的其他結(jié)論。 （3）概括成一句話：直徑平分弦（不是直徑） （4）一條直線①過圓心；②垂直于一條弦；③平分這條弦；④平分弦所對的劣?。虎萜椒窒宜鶎Φ膬?yōu)弧。這五個條件只需知道兩個，即可得出另三個（平分弦時，直徑除外）。 2. 垂徑定理的應(yīng)用 垂徑定理在中考中經(jīng)常和勾股定理結(jié)合使用：如圖，如果直徑CD ⊥AB于E，當(dāng)我們連接圓心O和點A時，利用垂徑定理可以得到直角三角形OAE，進而可以利用勾股定理進行相關(guān)的計算。 例如：直徑CD ⊥AB于E，弦AB＝2a，半徑為r，求OE、DE的長。 由AB＝2a，根據(jù)垂徑定理可以得到AE＝a，進而，DE＝r－OE＝r－ 利用垂徑定理和勾股定理解決圓中的相關(guān)計算問題 例題1 （西青區(qū)二模）如圖，在半徑為5的⊙O中，AB、CD是互相垂直的兩條弦，垂足為P，且AB＝CD＝8，求OP的長。 解析：作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，連接OP，OB，OD，首先利用勾股定理求得OM的長，然后判定四邊形OMPN是正方形，求得正方形的對角線的長即可求得OM的長。 解：作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，連接OP，OB，OD， ∵AB＝CD＝8， ∴BM＝DN＝4， ∴OM＝ON＝ ∵AB⊥CD， ∴∠DPB＝90， ∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N， ∴∠OMP＝∠ONP＝90 ∴四邊形MONP是矩形， ∵OM＝ON， ∴四邊形MONP是正方形， ∴OP＝ 點撥：本題考查的是垂徑定理及勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵。 例題2 （長春）如圖，將一個兩邊都帶有刻度的直尺放在半圓形紙片上，使其一邊經(jīng)過圓心O，另一邊所在直線與半圓相交于點D、E，量出半徑OC＝5cm，弦DE＝8cm，求直尺的寬。 解析：這是一個關(guān)系到弦長和半徑的問題，因此我們考慮運用垂徑定理來解決。 解：過點O作OM⊥DE于點M，連接OD。 ∴DM＝DE。 ∵DE＝8， ∴DM＝4。 在Rt△ODM中，∵OD＝OC＝5， ∴OM＝＝ ∴直尺的寬度為3cm。 點撥：這是一個非常貼近學(xué)生生活的實際問題，由問題背景我們可以發(fā)現(xiàn)，利用垂徑定理構(gòu)造出合適的直角三角形來解決此類問題。 應(yīng)用垂徑定理解決開放性的問題 例題 不過圓心的直線交⊙O于C、D兩點，AB是⊙O的直徑，AE⊥于E，BF⊥于F。 （1）如圖，在下面三個圓中分別補畫出滿足上述條件的具有不同位置關(guān)系的圖形； （2）請你觀察（1）中所畫的圖形，寫出一個各圖都具有的兩條線段相等的結(jié)論（不再標(biāo)注其它字母，找結(jié)論的過程中所連輔助線不能出現(xiàn)在結(jié)論中，不寫推理過程）； （3）請你選擇（1）中的一個圖形，證明（2）所得出的結(jié)論。 解析：這是一道開放性試題，首先要根據(jù)直線與AB的不同位置關(guān)系畫出不同的圖形（如下圖），①直線與AB平行；②直線與AB相交；③直線與AB或BA的延長線相交。其次根據(jù)圖形寫出一個兩條線段相等的正確結(jié)論。 解：（1）如下圖所示。 圖1 圖2 圖3 （2）EC＝FD或ED＝FC （3）以①圖為例來證明。過O作OH⊥于H ∵AE⊥，BF⊥，∴AE∥OH∥BF 又∵OA＝OB，∴EH＝HF，再由垂徑定理可得CH＝DH ∴EH－CH＝FH－DH，即EC＝FD （答題時間：30分鐘） 1. 下列命題中正確的是（ ） A. 平分弦的直徑必垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。? B. 弦所對的兩條弧的中點連線垂直平分弦； C. 若兩段弧的度數(shù)相等，則它們是等?。? D. 弦的垂線平分弦所對的弧。 2. 如圖，⊙O中，直徑CD＝15cm，弦AB⊥CD于點M，OM∶MD＝3∶2，則AB的長是（ ） A. 7.5cm B. 15cm C. 12cm D. 12.5cm 3. 已知⊙O的半徑為10cm，弦AB∥CD，AB＝12cm，CD＝16cm，則AB和CD的距離是（ ） A. 2cm B. 14cm C. 2cm或14cm D. 2cm或12cm 4. 若圓中一弦與弦高之和等于直徑，弦高為1，則圓的半徑為（ ） A. 1 B. C. 2 D. 5. 在半徑為5cm的⊙O中，有一點P滿足OP＝3 cm，則過P的整數(shù)弦有___________條。 6. 等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝120，BC＝10 cm，則△ABC的外接圓半徑為________。 7. 圓內(nèi)一弦與直徑相交成30的角，且分直徑為1 cm和5 cm兩段，則此弦長為_________。 8. 如圖，AB為⊙O的直徑，AC為弦，OD⊥AC于D，BD交OC于E，若AC＝4，AB＝5，則BE＝_________。 9. 如圖，已知⊙O1與⊙O2相交于A、B兩點，C、A、D三點在一條直線上，CD的延長線交O1 O2的延長線于P，∠P＝30，，則CD＝________。 10. 如圖，是一塊殘破的圓輪片，A、B、C是圓弧上的三點。 （1）作出弧ACB所在的⊙O（不寫作法，保留作圖痕跡）； （2）如果AC＝BC＝60cm，∠ACB＝120，求該殘破圓輪片的半徑。 11. 如圖，Rt△ABC中，∠C＝90，AC＝3，BC＝4，以點C為圓心，CA為半徑的圓與AB、BC分別交于點D、E，求AB、AD的長。 12. 如圖，⊙O的半徑為10cm，G是直徑AB上一點，弦CD經(jīng)過點G，CD＝16cm，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，求AE－BF的值。  1. B 解析：平分弦（非直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧，故A錯誤；能重合的弧才是等弧，必須是弧所對的圓心角和所在圓的半徑都相等的弧才能叫做等弧，故C錯誤；只有弦的垂直平分線才能夠平分弧，故D錯誤。 2. C 解析：連接AO，∵OM∶MD＝3∶2且直徑CD＝15cm，∴易求得，，根據(jù)已知條件易證△AMO為Rt△， ∴cm，根據(jù)垂徑定理可知，∴AB長為12cm。所以C選項正確。 3. C 解析：本題在解題過程中一定要注意分類討論的思想，通過分析題意，本題有兩種可能性，AB、CD可能在圓心的同側(cè)也可能在異側(cè)，當(dāng)AB、CD在同側(cè)時，如圖1所示，根據(jù)條件易求得，，；當(dāng)AB、CD在圓心的異側(cè)時，，，。所以C選項正確。 4. D 解析：本題涉及一個概念——弦高，所謂弦高是指弦的垂直平分線與劣弧的交點與垂足之間的線段長。∴根據(jù)題意易知，如圖所示，設(shè)半徑為r，∴，，，再由勾股定理，就可求得或（舍），∴。所以D選項正確。 5. 4 解析：由題意分析可知過點P的弦最短為8，即過點P恰好與OP垂直的弦，最長為10，即與OP重合的直徑，8與10中間還有一個整數(shù)9，再據(jù)圓的軸對稱性可知長度為9的有兩條，∴過點P的整數(shù)弦有4條。 6. cm 解析：如圖所示，依據(jù)垂徑定理以及勾股定理可求得，外接圓的半徑為cm。 7. cm 解析：根據(jù)題意易求得，又∵，∴，再在Rt△DOH中，據(jù)勾股定理可求得，∴。所以此弦長為。 8. 解析：本題考查的知識點較多，包括垂徑定理，相似，勾股定理等，連接BC，AB為⊙O的直徑，AC為弦，OD⊥AC于D，AC＝4，AB＝5，∴BC＝3，易證，又∵O是圓心，∴，∴，在Rt△BCD中，據(jù)勾股定理，易求得，∴。 9. 6 解析：如圖所示，分別過兩個圓心作CP的垂線，∴，所以要想求出CD的長度，只需要求出MH即可知道CD的長。又過作于點I，在Rt△中根據(jù)勾股定理可求得，∴CD＝6。 10. 解析：①利用垂徑定理得出AC，BC的垂直平分線，交點即是圓心，到任意一點的距離即是半徑；②利用垂徑定理以及等邊三角形的判定得出△OBC是等邊三角形，即可得出答案。 解：（1）如圖1所示： （2）如圖2，∵AC＝BC＝60cm，∠ACB＝120 ∴∠AOC＝∠BOC， 又∵AO＝CO，CO＝BO， ∴△AOC≌△COB， ∴∠CBO＝∠ACO＝60， ∵BO＝CO， ∴∠OBC＝∠BCO＝60， ∴△OBC是等邊三角形， ∴半徑為60cm。 11. 解析：∵∠C＝90，AC＝3，BC＝4，∴AB＝5，過點C作CH⊥AB于點H，利用面積相等建立等式，∴，在Rt△ACH中，可求得， ∴據(jù)垂徑定理可得：。 12. 解：連結(jié)OC，過點O作OM⊥CD于M，則CM＝MD ∵CD＝16cm，AB＝8 cm，在Rt△OMC中，因OC＝10 cm ∴OM＝cm ∵AE⊥CD，BF⊥CD，OM⊥CD，∴AE∥OM∥BF ∴， ∴cm ∴AE－BF＝2OM＝12 cm