九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 專題突破講練 特殊角的銳角三角函數(shù)值及其計(jì)算試題 （新版）青島版.doc

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特殊角的銳角三角函數(shù)值 特殊角的三角函數(shù)值 三角函數(shù) 角度α sinα cosα tanα 30 45 1 60 方法歸納：（1）解有關(guān)等邊三角形、等腰直角三角形及與30、45、60角相聯(lián)系的其他三角形問題時(shí)，常常要用特殊角的三角函數(shù)值。 （2）必須熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值，既能由角求三角函數(shù)值，又能由三角函數(shù)值求角。 （3）正弦、正切值隨銳角度數(shù)的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。?，余弦值隨銳角度數(shù)的增大（或減?。┒鴾p?。ɑ蛟龃螅?。 總結(jié)： 1. 特殊角三角函數(shù)在計(jì)算及應(yīng)用題里廣泛使用，應(yīng)理解概念并熟練應(yīng)用。 2. 能夠解決含特殊角的三角函數(shù)問題，并能根據(jù)三角函數(shù)值求角的度數(shù)。 例題1 如圖所示，已知直線y＝x＋，求這條直線與x軸的夾角（銳角）。 解析：直線與x軸、y軸相交圍成一個(gè)直角三角形，然后根據(jù)直線與x軸、y軸交點(diǎn)坐標(biāo)即可求解。 答案：設(shè)y＝x＋與x軸、y軸交點(diǎn)為A、B兩點(diǎn)，則A（－1，0）、B（0，），∴OA＝1，OB＝．∴tan∠BAO＝＝，∴∠BAO＝60。 答：直線與x軸夾角（銳角）為60。 點(diǎn)撥：本題關(guān)鍵利用Rt△AOB來(lái)求出OA、OB，進(jìn)而求出∠BAO的正切值，最后求出度數(shù)，是已知兩邊求度數(shù)的一種常用方法。 例題2 已知：如圖，Rt△ABC中，∠BAC＝90，D是AC上一點(diǎn)，∠ABD＝∠C，直線EF過點(diǎn)D，與BA的延長(zhǎng)線相交于F，且EF⊥BC，垂足為E。探索：設(shè)＝t，若△ADF∽△EDB，試求t的值。 解析：t的值就是△ABC兩邊的比值，所以我們可以考慮通過相似三角形和其它特殊圖形求出AC與AB的數(shù)量關(guān)系，再求其比值。或者能求出∠ABC或∠C的度數(shù)也可以，因?yàn)椤螧AC＝90，在直角三角形中利用三角函數(shù)求t值。 答案：∵∠BAC＝90，EF⊥BC，∠ADF＝∠CDE，∴∠F＝∠C。 ∵∠ABD＝∠C，∴∠F＝∠ABD。 ∵△ADF∽△EDB，∴∠F＝∠EBD，∴在Rt△ABC中，∠C＝∠ABD＝∠EBD，又∠C＋∠ABD＋∠EBD＝90，∴∠C＝∠ABD＝∠EBD＝30，∴∠ABC＝60。 ∴＝tan∠ABC＝，即t＝。 點(diǎn)撥：本題中t值是∠C的正切值，所以需要求出∠C的度數(shù)．要求一個(gè)角的度數(shù)，特別是在沒有已知度數(shù)的角的情況下，應(yīng)考慮利用三角形內(nèi)角和或特殊的三角形、四邊形來(lái)求。利用三角形內(nèi)角和時(shí)，這三個(gè)內(nèi)角必須具有倍分關(guān)系，才能轉(zhuǎn)化成一元一次方程求出角的度數(shù)，本題中是證明的三個(gè)角相等且和為90。 銳角三角函數(shù)是角的度數(shù)與線段的長(zhǎng)度之間相互轉(zhuǎn)化的重要工具，是解決三角形邊角關(guān)系的常用數(shù)學(xué)方法。在中考試題中對(duì)特殊角三角函數(shù)的考查有的直接考查，以填空題和選擇題的形式出現(xiàn)，一般比較容易；有的融入到其他知識(shí)或題型中間接考查，如三角形、四邊形、圓等，常以解答題、操作說(shuō)明題、閱讀題等形式出現(xiàn)，綜合性較強(qiáng)，難度較。 滿分訓(xùn)練 閱讀下面的材料，先完成閱讀填空，再按要求答題： sin30＝，cos30＝，則sin230＋cos230＝__________①； sin45＝，cos45＝，則sin245＋cos245＝__________②； sin60＝，cos60＝，則sin260＋cos260＝__________③； …… 觀察上述等式，猜想：對(duì)任意銳角A，都有sin2A＋cos2A＝__________④。 （1）如圖，在銳角三角形ABC中，利用三角函數(shù)的定義及勾股定理對(duì)∠A證明你的猜想； （2）已知：∠A為銳角（cosA＞0）且sinA＝，求cosA。 解析：（1）證明：過點(diǎn)B作BD⊥AC于D，在Rt△ADB中，sinA＝，cosA＝，由勾股定理得，BD2＋AD2＝AB2，∴（）2＋（）2＝＝1，∴sin2A＋cos2A＝1；（2）∵∠A為銳角（cosA＞0），sinA＝，sin2A＋cos2A＝1，∴cosA＝＝。 點(diǎn)撥：本題屬于閱讀理解題，讀懂題意，弄清題目所給的定義和規(guī)律是解答這類問題的關(guān)鍵。比本題中可總結(jié)出同角的三角函數(shù)關(guān)系，sin2A＋cos2A＝1，類似的還有tanA＝等。 （答題時(shí)間：30分鐘） 一、選擇題 1. 式子2cos30－tan45－的值是（ ） A. 2 B. 0 C. 2 D. 2 2. 如圖所示，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，AC與BD相交于O，則tan∠AOB等于（ ） A. B. C. 1 D. *3. 如圖所示是類似“羊頭”的圖案，它左右對(duì)稱，由正方形、等腰直角三角形構(gòu)成，如果標(biāo)有數(shù)字“13”的正方形的邊長(zhǎng)是，那么標(biāo)有數(shù)學(xué)“2”的等腰直角三角形斜邊的長(zhǎng)是（ ） A. 2 B. 2 C. 2 D. **4. 如圖，在半徑為1的⊙O中，∠AOB＝45，則sinC的值為（ ） A. B. C. D. 二、填空題 5. 在Rt△ABC中，∠C＝90，AB＝2BC，現(xiàn)給出下列結(jié)論：①sinA＝；②cosB＝；③tanA＝；④tanB＝，其中正確的結(jié)論是__________（只需填上正確結(jié)論的序號(hào)）。 *6. △ABC中，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對(duì)邊。已知a＝，b＝＋，c＝－，則bsinB＋csinC的值是__________。 *7. 如圖，Rt△ABC中，∠A＝90，AD⊥BC于點(diǎn)D，若BD：CD＝3：2，則tanB＝__________。 **8. 如圖所示，已知l1∥l2∥l3，相鄰兩條平行直線間的距離相等，若等腰直角三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別在這三條平行直線上，則sinα的值是__________。 三、解答題 9. 已知a是銳角，且sin（α＋15）＝，計(jì)算－4cosα－（π－3.14）0＋tanα＋））?1的值。 **10. 對(duì)于鈍角α，定義它的三角函數(shù)值如下： sinα＝sin（180－α），cosα＝－cos（180－α）。 （1）求sin120，cos120，sin150的值； （2）若一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角的比是1：1：4，A、B是這個(gè)三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)，sinA、cosB是方程4x2－mx－1＝0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求m的值及∠A和∠B的大小。 **11. 如圖，風(fēng)車的支桿OE垂直于桌面，風(fēng)車中心O到桌面的距離OE為25cm，小小風(fēng)車在風(fēng)吹動(dòng)下繞著中心O不停地轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，葉片端點(diǎn)A、B、C、D在同一圓O上，已知⊙O的半徑為10cm。 （1）風(fēng)車在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，當(dāng)∠AOE＝45時(shí)，求點(diǎn)A到桌面的距離（結(jié)果保留根號(hào)）。 （2）在風(fēng)車轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過程中，求點(diǎn)A相對(duì)于桌面的高度不超過20cm所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)（結(jié)果保留π）。 **12. 現(xiàn)場(chǎng)學(xué)習(xí)：我們知道，若銳角α的三角函數(shù)值為sinα＝m，則可通過計(jì)算器得到角α的大小，這時(shí)我們用arc sin m來(lái)表示α，記作：α＝arc sin m；若cos α ＝m，則記α＝arc cos m；若tan α＝m，則記α＝arc tan m。 解決問題：如圖，已知正方形ABCD，點(diǎn)E是邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F在AB邊或其延長(zhǎng)線上，點(diǎn)G在邊AD上。連接ED、FG，交點(diǎn)為H。 （1）如圖1，若AE＝BF＝GD，請(qǐng)直接寫出∠EHF＝__________； （2）如圖2，若EF＝CD，GD＝AE，設(shè)∠EHF＝α。請(qǐng)判斷當(dāng)點(diǎn)E在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠EHF的大小是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不發(fā)生變化，請(qǐng)求出α。  1. B 解析：原式＝2－1－（－1）＝－1－＋1＝0．故選B。 2. A 解析：因?yàn)锳BCD是矩形，所以AO＝BO，則∠OAB＝∠OBA?！逜B＝1，BC＝，∴tan∠CAB＝，∴∠CAB＝60，∴∠OBA＝∠OAB＝60。∴∠AOB＝180－60－60＝60，tan∠AOB＝tan60＝。故選A。 3. B 解析：可利用勾股定理或三角函數(shù)從標(biāo)有“13”的正方形開始倒序計(jì)算至標(biāo)有“2”的等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)。 4. B 解析：過點(diǎn)A作AD⊥OB于點(diǎn)D，∵在Rt△AOD中，∠AOB＝45，∴OD＝AD＝OA?cos45＝1＝，∴BD＝OB－OD＝1－，∴AB＝＝，∵AC是⊙O的直徑，∴∠ABC＝90，AC＝2，∴sinC＝＝，故選B。 5. ②③④ 解析：∵在Rt△ABC中，∠C＝90，AB＝2BC，∴sinA＝＝，故①錯(cuò)誤；∴∠A＝30，∠B＝60，∴cosB＝cos60＝，故②正確；∵∠A＝30，∴tanA＝tan30＝，故③正確；∵∠B＝60，∴tanB＝tan60＝，故④正確。 6. 解析：不難驗(yàn)證，a2＝b2＋c2，所以△ABC是直角三角形，其中a是斜邊，bsinB＋csinC＝b＋c＝＝＝a＝。 7. 解析：在Rt△ABC中，∵AD⊥BC于點(diǎn)D，∴∠ADB＝∠CDA，∵∠B＋∠BAD＝90，∠BAD＋DAC＝90，∴∠B＝∠DAC，∴△ABD∽△ACD，∴＝，∵BD：CD＝3：2，設(shè)BD＝3x，CD＝2x，∴AD＝＝x，則tanB＝＝＝。 8. 解析：分別過點(diǎn)A、B作AE⊥l1，BF⊥l1，易得△AEC≌△CFB（AAS），設(shè)平行線間距離為d＝1，∴CE＝BF＝1，AE＝CF＝2，AC＝BC＝，AB＝，則sinα＝＝＝。 9. 解析：∵sin（α＋15）＝，∴α＋15＝60，∴α＝45。當(dāng)α＝45時(shí)，原式＝2－4cos45－1＋tan45＋3＝2－2－1＋1＋3＝3。 10. 解：（1）由題意得，sin120＝sin（180－120）＝sin60＝，cos120＝－cos（180－120）＝－cos60＝－，sin150＝sin（180－150）＝sin30＝；（2）∵三角形的三個(gè)內(nèi)角的比是1：1：4，∴三個(gè)內(nèi)角分別為30、30、120，①當(dāng)∠A＝30，∠B＝120時(shí)，方程的兩根為和－，將代入方程得：4（）2－m－1＝0，解得：m＝0，經(jīng)檢驗(yàn)－是方程4x2－1＝0的根，∴m＝0符合題意；②當(dāng)∠A＝120，∠B＝30時(shí)，兩根均為，不符合題意；③當(dāng)∠A＝30，∠B＝30時(shí)，兩根為和，將代入方程得：4（）2－m－1＝0，解得：m＝0，經(jīng)檢驗(yàn)不是方程4x2－1＝0的根。綜上所述：m＝0，∠A＝30，∠B＝120。 11. 解：（1）當(dāng)∠AOE＝45時(shí)，過點(diǎn)A作AF⊥OE于F，則OF＝OAcos∠AOE＝10＝5cm；（2）過點(diǎn)A作AG⊥OE于G，交⊙O于另一點(diǎn)H。∵OE＝25cm，∴當(dāng)OG＝5cm時(shí)點(diǎn)A到桌面的距離正好是20cm。在Rt△OAG中，OG＝5cm，OA＝10cm，即sin∠OAG＝＝＝，∴∠OAG＝30，∠AOG＝60，∴∠AOH＝120。在扇形OAH中，劣弧的長(zhǎng)度＝＝π（cm）。即風(fēng)車轉(zhuǎn)動(dòng)一周，點(diǎn)A相對(duì)于桌面的高度不超過20cm所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)為πcm。 12. 解：（1）45 提示：連接FC、GC，則△ADE≌△BCF≌△DCG，從而DE∥FC，△CGF是等腰直角三角形，所以∠EHF＝∠GFC＝45。 （2）不會(huì)變化。證明：如圖2，過點(diǎn)F作FＭ∥ED交CD于Ｍ，連接GＭ?！哒叫蜛BCD中，AB∥CD，∴四邊形EFMD為平行四邊形?！郋F＝DM，DE＝FM。∴∠EDC＝∠FMC，∠EHF＝∠HFM＝α?！逧F＝CD，GD＝AE，∴＝＝?！啵剑摺螦＝∠GDM＝90，∴△DGM∽△AED?！啵剑啵??！摺螱DH＋∠MDH＝90，∠GDH＝∠DMG，∠MDH＝∠CMF，∴∠DMG＋∠CMF＝90，∴∠GMF＝90。在Rt△GFM中，tanα＝＝?！唳粒絘rc tan。