2021年全國高考乙卷數(shù)學(xué)（理）試題-【含答案】

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1、…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○………… 學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________ …………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○………… 2021年全國高考乙卷數(shù)學(xué)（理）試題 題號 一 二 三 總分 得分 注意事項： 1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息 2．請將答案正確填寫在答題卡上 第I卷（選擇題） 評卷人 得分 一、單選

2、題 1．設(shè)，則（ ） A． B． C． D． 2．已知集合，，則（ ） A． B． C． D． 3．已知命題﹔命題﹐，則下列命題中為真命題的是（ ） A． B． C． D． 4．設(shè)函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（ ） A． B． C． D． 5．在正方體中，P為的中點，則直線與所成的角為（ ） A． B． C． D． 6．將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項目進行培訓(xùn)，每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（ ） A．60種 B．120種 C．240種 D．480種

3、7．把函數(shù)圖像上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得曲線向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖像，則（ ） A． B． C． D． 8．在區(qū)間與中各隨機取1個數(shù)，則兩數(shù)之和大于的概率為（ ） A． B． C． D． 9．魏晉時劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是有關(guān)測量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測海島的高．如圖，點，，在水平線上，和是兩個垂直于水平面且等高的測量標(biāo)桿的高度，稱為“表高”，稱為“表距”，和都稱為“表目距”，與的差稱為“表目距的差”則海島的高（ ） A．表高 B．表高 C．表距 D．表距 10．設(shè)，若為函數(shù)的極大值點，則（ ） A． B． C

4、． D． 11．設(shè)是橢圓的上頂點，若上的任意一點都滿足，則的離心率的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 12．設(shè)，，．則（ ） A． B． C． D． 第II卷（非選擇題） 評卷人 得分 二、填空題 13．已知雙曲線的一條漸近線為，則C的焦距為_________． 14．已知向量，若，則__________． 15．記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，面積為，，，則________． 16．以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個分別作為側(cè)視圖和俯視圖，組成某個三棱錐的三視圖，則所選側(cè)視圖和俯視圖的編號依次為_________

5、（寫出符合要求的一組答案即可）． 評卷人 得分 三、解答題 17．某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項指標(biāo)有無提高，用一臺舊設(shè)備和一臺新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項指標(biāo)數(shù)據(jù)如下： 舊設(shè)備 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7 新設(shè)備 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5 舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為和，樣本方差分別記為和． （1）求，，，； （

6、2）判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高（如果，則認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高）． 18．如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，為的中點，且． （1）求； （2）求二面角的正弦值． 19．記為數(shù)列的前n項和，為數(shù)列的前n項積，已知． （1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列; （2）求的通項公式． 20．設(shè)函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點． （1）求a； （2）設(shè)函數(shù)．證明:． 21．已知拋物線的焦點為，且與圓上點的距離的最小值為． （1）求； （2）若點在上，是的兩條切線，是切點，求面積的最大值． 22．在直角坐標(biāo)系中，的

7、圓心為，半徑為1． （1）寫出的一個參數(shù)方程; （2）過點作的兩條切線．以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求這兩條切線的極坐標(biāo)方程． 23．已知函數(shù)． （1）當(dāng)時，求不等式的解集; （2）若，求a的取值范圍． 試卷第5頁，共5頁 參考答案 1．C 【分析】 設(shè)，利用共軛復(fù)數(shù)的定義以及復(fù)數(shù)的加減法可得出關(guān)于、的等式，解出這兩個未知數(shù)的值，即可得出復(fù)數(shù). 【詳解】 設(shè)，則，則， 所以，，解得，因此，. 故選：C. 2．C 【分析】 分析可得，由此可得出結(jié)論. 【詳解】 任取，則，其中，所以，，故， 因此，. 故選：C. 3．A 【分析

8、】 由正弦函數(shù)的有界性確定命題的真假性，由指數(shù)函數(shù)的知識確定命題的真假性，由此確定正確選項. 【詳解】 由于，所以命題為真命題； 由于在上為增函數(shù)，，所以，所以命題為真命題； 所以為真命題，、、為假命題. 故選：A． 4．B 【分析】 分別求出選項的函數(shù)解析式，再利用奇函數(shù)的定義即可. 【詳解】 由題意可得， 對于A，不是奇函數(shù)； 對于B，是奇函數(shù)； 對于C，，定義域不關(guān)于原點對稱，不是奇函數(shù)； 對于D，，定義域不關(guān)于原點對稱，不是奇函數(shù). 故選：B 【點睛】 本題主要考查奇函數(shù)定義，考查學(xué)生對概念的理解，是一道容易題. 5．D 【分析】 平移直線至，

9、將直線與所成的角轉(zhuǎn)化為與所成的角，解三角形即可. 【詳解】 如圖，連接，因為∥， 所以或其補角為直線與所成的角， 因為平面，所以，又，， 所以平面，所以， 設(shè)正方體棱長為2，則， ，所以. 故選：D 6．C 【分析】 先確定有一個項目中分配2名志愿者，其余各項目中分配1名志愿者，然后利用組合，排列，乘法原理求得. 【詳解】 根據(jù)題意，有一個項目中分配2名志愿者，其余各項目中分配1名志愿者，可以先從5名志愿者中任選2人，組成一個小組，有種選法；然后連同其余三人，看成四個元素，四個項目看成四個不同的位置，四個不同的元素在四個不同的位置的排列方法數(shù)有4！種，根據(jù)乘法原理

10、，完成這件事，共有種不同的分配方案， 故選：C. 【點睛】 本題考查排列組合的應(yīng)用問題，屬基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是首先確定人數(shù)的分配情況，然后利用先選后排思想求解. 7．B 【分析】 解法一：從函數(shù)的圖象出發(fā)，按照已知的變換順序，逐次變換，得到，即得，再利用換元思想求得的解析表達式； 解法二：從函數(shù)出發(fā)，逆向?qū)嵤└鞑阶儞Q，利用平移伸縮變換法則得到的解析表達式. 【詳解】 解法一：函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象，再把所得曲線向右平移個單位長度，應(yīng)當(dāng)?shù)玫降膱D象， 根據(jù)已知得到了函數(shù)的圖象，所以， 令,則, 所以,所以； 解法二：由已知的函數(shù)逆向變換，

11、 第一步：向左平移個單位長度，得到的圖象， 第二步：圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象， 即為的圖象，所以. 故選：B. 8．B 【分析】 設(shè)從區(qū)間中隨機取出的數(shù)分別為，則實驗的所有結(jié)果構(gòu)成區(qū)域為，設(shè)事件表示兩數(shù)之和大于，則構(gòu)成的區(qū)域為，分別求出對應(yīng)的區(qū)域面積，根據(jù)幾何概型的的概率公式即可解出． 【詳解】 如圖所示： 設(shè)從區(qū)間中隨機取出的數(shù)分別為，則實驗的所有結(jié)果構(gòu)成區(qū)域為，其面積為． 設(shè)事件表示兩數(shù)之和大于，則構(gòu)成的區(qū)域為，即圖中的陰影部分，其面積為，所以． 故選：B. 【點睛】 本題主要考查利用線性規(guī)劃解決幾何概型中的面積問題，解題關(guān)鍵

12、是準(zhǔn)確求出事件對應(yīng)的區(qū)域面積，即可順利解出． 9．A 【分析】 利用平面相似的有關(guān)知識以及合分比性質(zhì)即可解出． 【詳解】 如圖所示： 由平面相似可知，，而 ，所以 ，而 ， 即＝ ． 故選：A. 【點睛】 本題解題關(guān)鍵是通過相似建立比例式，圍繞所求目標(biāo)進行轉(zhuǎn)化即可解出． 視頻 10．D 【分析】 先考慮函數(shù)的零點情況，注意零點左右附近函數(shù)值是否編號，結(jié)合極大值點的性質(zhì)，對進行分類討論，畫出圖象，即可得到所滿足的關(guān)系，由此確定正確選項. 【詳解】 若，則為單調(diào)函數(shù)，無極值點，不符合題意，故. 有和兩個不同零點，且在左右附近是不變號，在左右附近是

13、變號的.依題意，為函數(shù)的極大值點，在左右附近都是小于零的. 當(dāng)時，由，，畫出的圖象如下圖所示： 由圖可知，，故. 當(dāng)時，由時，，畫出的圖象如下圖所示： 由圖可知，，故. 綜上所述，成立. 故選：D 【點睛】 本小題主要考查三次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法可以快速解答. 視頻 11．C 【分析】 設(shè)，由，根據(jù)兩點間的距離公式表示出 ，分類討論求出的最大值，再構(gòu)建齊次不等式，解出即可． 【詳解】 設(shè)，由，因為 ，，所以 ， 因為，當(dāng)，即 時，，即 ，符合題意，由可得，即 ； 當(dāng)，即時， ，即，化簡得， ，顯然該不等式不成立．

14、故選：C． 【點睛】 本題解題關(guān)鍵是如何求出的最大值，利用二次函數(shù)求指定區(qū)間上的最值，要根據(jù)定義域討論函數(shù)的單調(diào)性從而確定最值． 視頻 12．B 【分析】 利用對數(shù)的運算和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性不難對a,b的大小作出判定，對于a與c，b與c的大小關(guān)系，將0.01換成x,分別構(gòu)造函數(shù),，利用導(dǎo)數(shù)分析其在0的右側(cè)包括0.01的較小范圍內(nèi)的單調(diào)性，結(jié)合f(0)=0,g(0)=0即可得出a與c，b與c的大小關(guān)系. 【詳解】 , 所以; 下面比較與的大小關(guān)系. 記,則,， 由于 所以當(dāng)0

15、x>0時,, 所以,即函數(shù)在[0,+∞)上單調(diào)遞減，所以,即,即b

16、數(shù)，焦距，正確計算并聯(lián)立關(guān)系式求解是關(guān)鍵. 14． 【分析】 根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示以及向量的線性運算列出方程，即可解出． 【詳解】 因為，所以由可得， ，解得． 故答案為：． 【點睛】 本題解題關(guān)鍵是熟記平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，設(shè)， ，注意與平面向量平行的坐標(biāo)表示區(qū)分． 15． 【分析】 由三角形面積公式可得，再結(jié)合余弦定理即可得解. 【詳解】 由題意，， 所以， 所以，解得（負值舍去）. 故答案為：. 16．③④（答案不唯一） 【分析】 由題意結(jié)合所給的圖形確定一組三視圖的組合即可. 【詳解】 選擇側(cè)視圖為③，俯視圖為④， 如圖所

17、示，長方體中，， 分別為棱的中點， 則正視圖①，側(cè)視圖③，俯視圖④對應(yīng)的幾何體為三棱錐. 故答案為：③④. 【點睛】 三視圖問題解決的關(guān)鍵之處是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系. 視頻 17．（1）；（2）新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高. 【分析】 （1）根據(jù)平均數(shù)和方差的計算方法，計算出平均數(shù)和方差. （2）根據(jù)題目所給判斷依據(jù)，結(jié)合（1）的結(jié)論進行判斷. 【詳解】 （1）， ， ， . （2）依題意，，， ，所以新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高. 視頻 18．（1）；

18、（2） 【分析】 （1）以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由已知條件得出，求出的值，即可得出的長； （2）求出平面、的法向量，利用空間向量法結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得結(jié)果. 【詳解】 （1）平面，四邊形為矩形，不妨以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 設(shè)，則、、、、， 則，， ，則，解得，故； （2）設(shè)平面的法向量為，則，， 由，取，可得， 設(shè)平面的法向量為，，， 由，取，可得， ， 所以，， 因此，二面角的正弦值為. 【點睛】 思路點睛：利用空間向量法求解二面角的步驟如下： （1）

19、建立合適的空間直角坐標(biāo)系，寫出二面角對應(yīng)的兩個半平面中對應(yīng)的點的坐標(biāo)； （2）設(shè)出法向量，根據(jù)法向量垂直于平面內(nèi)兩條直線的方向向量，求解出平面的法向量（注：若半平面為坐標(biāo)平面，直接取法向量即可）； （3）計算（2）中兩個法向量的余弦值，結(jié)合立體圖形中二面角的實際情況，判斷二面角是銳角還是鈍角，從而得到二面角的余弦值. 19．（1）證明見解析；（2）. 【分析】 （1）由已知得,且，取,得,由題意得,消積得到項的遞推關(guān)系,進而證明數(shù)列是等差數(shù)列; （2）由（1）可得的表達式,由此得到的表達式,然后利用和與項的關(guān)系求得. 【詳解】 （1）由已知得,且，, 取,由得, 由于為數(shù)列

20、的前n項積， 所以, 所以， 所以, 由于 所以，即,其中 所以數(shù)列是以為首項，以為公差等差數(shù)列; （2）由（1）可得，數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列， , , 當(dāng)n=1時，, 當(dāng)n≥2時,,顯然對于n=1不成立, ∴. 【點睛】 本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的前n項和與項的關(guān)系，數(shù)列的前n項積與項的關(guān)系，其中由,得到，進而得到是關(guān)鍵一步；要熟練掌握前n項和，積與數(shù)列的項的關(guān)系，消和（積）得到項（或項的遞推關(guān)系），或者消項得到和（積）的遞推關(guān)系是常用的重要的思想方法. 視頻 20．（1）；（2）證明見詳解 【分析】 （1）由題意求出，由極

21、值點處導(dǎo)數(shù)為0即可求解出參數(shù)； （2）由（1）得，且，分類討論和，可等價轉(zhuǎn)化為要證，即證在和上恒成立，結(jié)合導(dǎo)數(shù)和換元法即可求解 【詳解】 （1）由，， 又是函數(shù)的極值點，所以，解得； （2）由（1）得，，且， 當(dāng) 時，要證，， ，即證，化簡得； 同理，當(dāng)時，要證，， ，即證，化簡得； 令，再令，則，， 令，， 當(dāng)時，，單減，假設(shè)能取到，則，故； 當(dāng)時，，單增，假設(shè)能取到，則，故； 綜上所述，在恒成立 【點睛】 本題為難題，根據(jù)極值點處導(dǎo)數(shù)為0可求參數(shù)，第二問解法并不唯一，分類討論對函數(shù)進行等價轉(zhuǎn)化的過程，一定要注意轉(zhuǎn)化前后的等價性問題，構(gòu)造函數(shù)和換元法也常常用于解決

22、復(fù)雜函數(shù)的最值與恒成立問題. 視頻 21．（1）；（2）. 【分析】 （1）根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可得出關(guān)于的等式，即可解出的值； （2）設(shè)點、、，利用導(dǎo)數(shù)求出直線、，進一步可求得直線的方程，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，求出以及點到直線的距離，利用三角形的面積公式結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得面積的最大值. 【詳解】 （1）拋物線的焦點為，， 所以，與圓上點的距離的最小值為，解得； （2）拋物線的方程為，即，對該函數(shù)求導(dǎo)得， 設(shè)點、、， 直線的方程為，即，即， 同理可知，直線的方程為， 由于點為這兩條直線的公共點，則， 所以，點、的坐標(biāo)滿足方程， 所以，直

23、線的方程為， 聯(lián)立，可得， 由韋達定理可得，， 所以，， 點到直線的距離為， 所以，， ， 由已知可得，所以，當(dāng)時，的面積取最大值. 【點睛】 方法點睛：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種： 一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來求最值； 二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值． 22．（1），（為參數(shù)）；（2）或. 【分析】 （1）直接利用圓心及半徑可得的圓的參數(shù)方程； （2）先求得過（4，1）的圓的切線方程，再利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式化簡即可.

24、 【詳解】 （1）由題意，的普通方程為， 所以的參數(shù)方程為，（為參數(shù)） （2）由題意，切線的斜率一定存在，設(shè)切線方程為，即， 由圓心到直線的距離等于1可得， 解得，所以切線方程為或， 將，代入化簡得 或 【點晴】 本題主要考查直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化，涉及到直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力，是一道基礎(chǔ)題. 23．（1）.（2）. 【分析】 （1）利用絕對值的幾何意義求得不等式的解集. （2）利用絕對值不等式化簡，由此求得的取值范圍. 【詳解】 （1）當(dāng)時，，表示數(shù)軸上的點到和的距離之和， 則表示數(shù)軸上的點到和的距離之和不小于， 當(dāng)或時所對應(yīng)的數(shù)軸上的點到所對應(yīng)的點距離之和等于6， ∴數(shù)軸上到所對應(yīng)的點距離之和等于大于等于6得到所對應(yīng)的坐標(biāo)的范圍是或， 所以的解集為. （2）依題意，即恒成立， ， 當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，, 故， 所以或， 解得. 所以的取值范圍是. 【點睛】 解絕對值不等式的方法有零點分段法、幾何意義法．解含有兩個絕對值，且其中的的系數(shù)相等時，可以考慮利用數(shù)軸上絕對值的幾何意義求解；利用絕對值三角不等式求最值也是常見的問題，注意表述取等號的條件. 答案第19頁，共20頁