線性代數(shù)-第六章特征值和特征向量.ppt

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第六章矩陣的特征值和特值向量,1矩陣的特征值和特征向量,矩陣的特征值和特征向量是矩陣?yán)碚撝兄匾獋€概念之一,它有著廣泛的應(yīng)用.本章將引進(jìn)特征值和特征向量的概念及其計算.并給出將矩陣對角化的方法.,一.定義和求法,定義6.1設(shè)A是n階方陣,如果數(shù)?0和n維非零列向量?滿足關(guān)系式A?=?0?則稱?0為A的特征值,?為A的屬于?0的一個特征向量.,如果A是奇異矩陣(|A|=0),則齊次線性方程組Ax=0有非零解,若記?為Ax=0的非零解,則有,可見,?0=0為奇異矩陣A的特征值,方程組Ax=0的非零解都是A的屬于特征值?0=0的特征向量.,A?=0=0?,一般地,由A?=?0?可得,(?0E?A)?=0,可見,?是n元齊次線性方程組,(?0E?A)x=0,的非零解.所以有|?0E?A|=0.,定義6.2設(shè)A是n階方陣,?是參數(shù),則行列式,稱為方陣A的特征多項式.稱det(?E?A)=0為方陣A的特征方程.,A的特征值就是特征方程的解,n階方陣A有n個特征值.,A的屬于特征值?i的特征向量就是齊次線性方程組,(?E?A)x=0,的所有非零解.,的特征值和特征向量.,解A的特征多項式為,=(?-1)[(?-2)2-1]=(?-1)2(?-3),所以A的特征值為?1=?2=1,?3=3.,對?1=?2=1,解方程(E-A)x=0,由于,例1求矩陣,所以k?1(k≠0)是屬于?1=?2=1的全部特征向量.,對?3=3,解方程(3E-A)x=0,由于,得同解方程:,,基礎(chǔ)解系為?2=(-1,1,1)T.,所以k?2(k≠0)是屬于?3=3的全部特征向量.,,基礎(chǔ)解系為?1=(0,0,1)T.,得同解方程:,的特征值和特征向量.,解A的特征多項式為,=(?-1)[(?-2)2-1]=(?-1)2(?-3),所以A的特征值為?1=?2=1,?3=3.,對?1=?2=1,解方程(E-A)x=0,由于,例2求矩陣,所以屬于?1=?2=1的全部特征向量為K1?1+k2?2(k1,k2不同時為0),對?3=3,解方程(A-3E)x=0,由于,得同解方程:,,基礎(chǔ)解系為?3=(1,-1,1)T.,所以k?3(k≠0)是屬于?3=3的全部特征向量.,,基礎(chǔ)解系為?1=(1,1,0)T,?2=(0,0,1)T.,得同解方程:,設(shè)方陣A可逆,且λ是A的特征值,證明1/λ是A-1的特征值.,例3,證首先證明λ≠0.用反證法:假設(shè)λ=0是A的特征值,則,再設(shè)?是A對應(yīng)特征值λ的特征向量,則A?=λ?,A-1?=1/λ?,所以1/λ是A-1的特征值,而且與A有相同的特征向量.,類似地,若λ是A的特征值,則λk是Ak的特征值.,?0E-A?=?-A?=0,這與A可逆矛盾,故λ≠0.,一般地,若λ是A的特征值,則?(λ)=a0+a1?+…+am?m是?(A)=a0E+a1A+…+amAm的特征值.,二.特征值和特征向量的性質(zhì),由于,=?n-(a11+a22+…+ann)?n-1+…+(-1)n|A|,利用多項式方程根與系數(shù)的關(guān)系可得:,定理6.1設(shè)?1,?2,…,?n是n階方陣A的全部特征值,則,?1+?2+…+?n=a11+a22+…+ann,?1?2…?n=detA,定理6.2設(shè)?1,?2,…,?s是方陣A的互異特征值,?1,?2,…,?s是分別屬于它們的特征向量,那么?1,?2,…,?s線性無關(guān).,證明設(shè)x1?1+x2?2+…+xs?s=0,類似地有:,則,A(x1?1+x2?2+…+xs?s)=0,即,?1x1?1+?2x2?2+…+?sxs?s=0,?1kx1?1+?2kx2?2+…+?skxs?s=0(k=0,1,…,s-1),即,所以有,(x1?1,x2?2,…,xs?s)=(0,0,…,0),定理6.3設(shè)?1,?2是A的兩個互異特征值,?1,?2,…,?s和?1,?2,…,?t分別是屬于?1,?2的線性無關(guān)的特征向量,則?1,?2,…,?s,?1,?2,…,?t線性無關(guān).,即,xj?j=0,但?j?0,故xj=0,(j=1,2,…,s),所以向量組?1,?2,…,?s線性無關(guān).,證明設(shè)k1?1+k2?2+…+ks?s+l1?1+l2?2+…+lt?t=0,若?=k1?1+k2?2+…+ks?s?0,?=l1?1+l2?2+…+lt?t?0,則?+?=0,而?,?分別是屬于?1,?2的特征向量,矛盾.,所以?=?=0,即k1=k2=…=ks=l1=l2=…=lt=0,線性無關(guān).,例4,解由于A的特征值都不為0,故A可逆.而|A|=-2,于是A*=?A?A-1=-2A-1.于是,設(shè)3階方陣A的特征值為1,-1,2,求|A*+3A-2E|.,A*+3A-2E=-2A-1+3A-2E=?(A),?(A)的3個特征值為:?(1)=-1,?(-1)=-3,?(2)=3,于是,|A*+3A-2E|=|?(A)|=(-1)(-3)3=9,對A進(jìn)行運算P-1AP=B稱為對A進(jìn)行相似變換,可逆矩陣P稱為把A變成B的相似變換矩陣.,2相似矩陣,定義6.3設(shè)A,B都是n階方陣,若存在可逆矩陣P,使,一.相似矩陣的定義和性質(zhì),矩陣的相似關(guān)系具有下述性質(zhì):,(ⅰ)反身性:A~A;,(ⅱ)對稱性:若A~B,則B~A;,(ⅲ)傳遞性:若A~B,B~C,則A~C.,P-1AP=B,則稱B是A的相似矩陣,或說矩陣A與B相似.,A與B相似記作A~B.,定理6.4相似矩陣有相同的特征多項式,因此也有相同的特征值.,證若矩陣A與B相似,則存在矩陣P,使P-1AP=B,故,注意:定理6.4的逆命題不成立.例如矩陣,??E-B?=?P-1(?E)P-P-1AP?=?P-1(?E-A)P?,=?P-1???E-A??P?=??E-A?,的特征多項式都是(?-1)2,但它們不相似.,二.與對角矩陣相似的條件,假設(shè)n階方陣A與對角矩陣,相似.,也就是存在可逆矩陣P,使得,P-1AP=?,即,AP=P?,記P=(?1,?2,…,?n),則有,(A?1,A?2,…,A?n)=(?1?1,?2?2,…,?n?n),即,可見,矩陣A與對角矩陣相似,則A有n個線性無關(guān)的特征向量.,A?i=?i?i,i=1,2,…,n,因為矩陣P可逆,所以?1,?2,…,?n線性無關(guān),故?i?0,于是?i是矩陣A屬于特征值?i的特征向量.,反之,設(shè)A有n個線性無關(guān)的特征向量?1,?2,…,?n,且,A?i=?i?i,i=1,2,…,n,令P=(?1,?2,…,?n),則P可逆,且,AP=(A?1,A?2,…,A?n)=(?1?1,?2?2,…,?n?n)=P?,即,P-1AP=?,也就是說矩陣A與對角矩陣相似.,定理6.5n階矩陣A與對角矩陣相似的充分必要條件是矩陣A有n個線性無關(guān)的特征向量.,可見,前面的分析不但證明了定理6.5,還給出了相似變換矩陣P和對角矩陣?的求法.,例如例1中的矩陣,沒有3個線性無關(guān)的特征向量,故A不與對角矩陣相似.,而例2中的矩陣,由于其3個特征值為?1=?2=1,?3=3.對應(yīng)的特征向量:,?1=(1,1,0)T,?2=(0,0,1)T,?3=(1,-1,1)T線性無關(guān),所以,取相似變換矩陣P=(?1,?2,?3)=,可求得P的逆矩陣為,與A相似的對角矩陣為,推論若n階矩陣A有n個互異特征值,則A與對角矩陣相似.,若A=P-1BP,則有:,注意,若矩陣A與對角矩陣Λ相似,則Λ的對角線元素恰是A的n個特征值,故如不計對角線上元素的順序,則與A相似的對角矩陣是唯一的.,Ak=P-1ΛkP,?(A)=P-1?(Λ)P,而且有:,例5設(shè),求A50.,解矩陣A的特征多項式為,=(λ+1)2(λ-2),可見,A的特征值是λ1=λ2=-1,λ3=2.,對于特征值λ1=λ2=-1,由于,所以,齊次線性方程組(-E-A)x=0的一個基礎(chǔ)解系為:,?1=(1,2,0)T,?2=(0,0,1)T.,?1,?2就是屬于特征值λ1=λ2=-1的線性無關(guān)的特征向量.,可見屬于特征值λ3=2的一個特征向量為?3=(3,3,1)T.,對于特征值λ3=2,由于,令,則有,所以有,即,定理6.6設(shè)?0是n階矩陣A的k重特征值,則屬于?0的線性無關(guān)的特征向量的個數(shù)不大于k.,令P=(?1,?2,…,?n),則P可逆,而且有,證明設(shè)?1,?2,…,?t是屬于?0的線性無關(guān)的特征向量.,則存在向量?t+1,?t+2,…,?n使?1,?2,…,?n線性無關(guān).,AP=(?0?1,?0?2,…,?0?t,A?t+1,A?t+2,…,A?n),由于?1,?2,…,?n線性無關(guān),所以A?t+1,A?t+2,…,A?n都能由?1,?2,…,?n線性表示,所以可以令,AP=(?0?1,?0?2,…,?0?t,A?t+1,A?t+2,…,A?n),即矩陣A與B相似.,所以,A與B有相同的特征多項式,即,因此,?0的重數(shù)k?t.,|?E-A|=|?E-B|,推論矩陣A與對角矩陣相似的充分必要條件是,對A的任意特征值?0(重數(shù)為k),屬于?0的線性無關(guān)的特征向量必有k個.也就是R(?0E-A)=n-k.,作業(yè),習(xí)題A第117頁,1、2、4、5、6、7、9、10,練習(xí)題,習(xí)題B第100頁,1、2、3、10,11、12、13、14、15、16、17,3實對稱矩陣的相似對角化,一.實對稱矩陣的特征值和特征向量的性質(zhì),設(shè)矩陣A=(aij),用?aij表示aij的共軛復(fù)數(shù),記,?A=(?aij),稱?A為A的共軛矩陣.顯然,A為實矩陣時,?A=A.,共軛矩陣具有下列性質(zhì):,其中?是常數(shù);,定理6.7實對稱矩陣的特征值都是實數(shù).,證設(shè)λ為實對稱矩陣A的特征值,?是屬于λ的特征向量,則有,由于AT=A,?A=A,故有,于是有,由于??0,所以??T??0,因此????,即?是實數(shù).,顯然,實對稱矩陣的特征向量都可以取為實向量.,定理6.8實對稱矩陣的屬于不同特征值的特征向量是正交的.,證設(shè)?1,?2是實對稱矩陣A的特征值,?1,?2分別是屬于它們的特征向量,則有,而且,由于?1??2,所以?2T?1=0,即?1,?2正交.,于是,二.實對稱矩陣正交相似于對角矩陣,定理6.9設(shè)A是實對稱矩陣,則必存在正交矩陣Q,使得Q-1AQ=QTAQ為對角矩陣.,證n=1時顯然成立,設(shè)對n-1階矩陣定理結(jié)論成立.,于是有,再取?2,?3,…,?n使?1,?2,…,?n為Rn的一組規(guī)范正交基.,取n階實對稱矩陣A的任一特征值?1,和屬于?1的特征向量?1,(取?1為單位向量).,A(?1,?2,…,?n)=(?1?1,A?2,…,A?n),=(?1,?2,…,?n),記Q1=(?1,?2,…,?n),則Q1為正交矩陣,且有,B是n-1階實對稱矩陣,由假設(shè),存在n-1階正交矩陣P,使得,取n階正交矩陣,Q1-1AQ1=,則有,即,Q2-1Q1-1AQ1Q2=Q2TQ1TAQ1Q2為對角矩陣.,只要取Q=Q1Q2是正交矩陣,定理結(jié)論成立.,推論設(shè)?0是實對稱矩陣A的k重特征值,則屬于?0的線性無關(guān)的特征向量恰有k個,也即R(?0E-A)=n-k.,三.實對稱矩陣正交相似對角化的方法,用正交矩陣化實對稱矩陣為對角矩陣的步驟如下:,(1)求出A的全部特征值;,(2)對每個特征值,若其重數(shù)為k,求出其k個線性無關(guān)的特征向量.,(5)寫出對角矩陣.,(3)將求出的k個線性無關(guān)的特征向量規(guī)范正交化.,(4)用求出的n個規(guī)范正交的特征向量構(gòu)造正交矩陣.,例6設(shè),求一個正交矩陣Q,使Q-1AQ為對角矩陣.,解先求A的所有特征值,得特征值λ1=λ2=-1,λ3=11.,det(?E-A),=(?+1)(?2-10?-11)=(?+1)2(?2-11),對λ1=λ2=-1,由于,所以方程組(-E-A)x=0等價于x1+x2+2x3=0,一基礎(chǔ)解系為,再單位化得:,?1=(-1,1,0)T,?2=(-2,0,1)T,,?1=?1=(-1,1,0)T,,?1=?1/|?1|,將其正交化得:,?2=?2-(?2T?1/?1T?1)?1=?2-?1=(-1,-1,1)T,,,?2=?2/|?2|,對λ3=11,由于,所以方程組(11E-A)x=0的一個基礎(chǔ)解系為?3=(1,1,2)T,,所以得正交矩陣:Q=(?1,?2,?3),將其單位化得:?3=?3/|?3|,而且,QTAQ=diag(-1,-1,11).,注意:方程組x1+x2+2x3=0的基礎(chǔ)解系可直接取為:,再如,方程組x1-2x2-x3=0的基礎(chǔ)解系可直接取為:,這樣,就不需要再進(jìn)行規(guī)范正交化了.,作業(yè),習(xí)題A第117頁,3、,練習(xí)題,習(xí)題B第100頁,8、2、3、10,