《抽樣技術(shù)》習(xí)題答案(總12頁)

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1、第2章 解： 項目 相同之處 不同之處 定義 都是根據(jù)從一個總體中抽樣得到的樣本，然后定義樣本均值為。 抽樣理論中樣本是從有限總體中按放回的抽樣方法得到的，樣本中的樣本點不會重復(fù)；而數(shù)理統(tǒng)計中的樣本是從無限總體中利用有放回的抽樣方法得到的，樣本點有可能是重復(fù)的。 性質(zhì) (1) 樣本均值的期望都等于總體均值，也就是抽樣理論和數(shù)理統(tǒng)計中的樣本均值都是無偏估計。 (2) 不論總體原來是何種分布，在樣本量足夠大的條件下，樣本均值近似服從正態(tài)分布。 (1) 抽樣理論中，各個樣本之間是不獨立的；而數(shù)理統(tǒng)計中的各個樣本之間是相互獨立的。 (2) 抽

2、樣理論中的樣本均值的方差為，其中。在數(shù)理統(tǒng)計中，，其中為總體的方差。 解：首先估計該市居民日用電量的95%的置信區(qū)間。根據(jù)中心極限定理可知，在大樣本的條件下，近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布， 的的置信區(qū)間為。 而中總體的方差是未知的，用樣本方差來代替，置信區(qū)間為 由題意知道，，而且樣本量為，代入可以求得 。將它們代入上面的式子可得該市居民日用電量的95%置信區(qū)間為。 下一步計算樣本量。絕對誤差限和相對誤差限的關(guān)系為。 根據(jù)置信區(qū)間的求解方法可知 根據(jù)正態(tài)分布的分位數(shù)可以知道，所以。也就是。 把代入上式可得，。所以樣本量至少為862。 解：總體中參加培訓(xùn)班的比例為，那么

3、這次簡單隨機(jī)抽樣得到的的估計值的方差，利用中心極限定理可得在大樣本的條件下近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。在本題中，樣本量足夠大，從而可得的的置信區(qū)間為。 而這里的是未知的，我們使用它的估計值。所以總體比例的的置信區(qū)間可以寫為，將代入可得置信區(qū)間為。 解：利用得到的樣本，計算得到樣本均值為，從而估計小區(qū)的平均文化支出為144.5元?？傮w均值的的置信區(qū)間為，用來估計樣本均值的方差。 計算得到，則，，代入數(shù)值后計算可得總體均值的95%的置信區(qū)間為。 解：根據(jù)樣本信息估計可得每個鄉(xiāng)的平均產(chǎn)量為1 120噸，該地區(qū)今年的糧食總產(chǎn)量的估計值為（噸）。 總體總值估計值的方差為，總體總值的的置信區(qū)間為，

4、把 代入，可得糧食總產(chǎn)量的的置信區(qū)間為。 解：首先計算簡單隨機(jī)抽樣條件下所需要的樣本量，把帶入公式，最后可得。 如果考慮到有效回答率的問題，在有效回答率為70%時，樣本量應(yīng)該最終確定為。 解：去年的化肥總產(chǎn)量和今年的總產(chǎn)量之間存在較強(qiáng)的相關(guān)性，而且這種相關(guān)關(guān)系較為穩(wěn)定，所以引入去年的化肥產(chǎn)量作為輔助變量。于是我們采用比率估計量的形式來估計今年的化肥總產(chǎn)量。去年化肥總產(chǎn)量為。利用去年的化肥總產(chǎn)量，今年的化肥總產(chǎn)量的估計值為噸。 解：本題中，簡單估計量的方差的估計值為=37.17。 利用比率估計量進(jìn)行估計時，我們引入了家庭的總支出作為輔助變量，記為。文化支出屬于總支出的一部分，這

5、個主要變量與輔助變量之間存在較強(qiáng)的相關(guān)關(guān)系，而且它們之間的關(guān)系是比較穩(wěn)定的，且全部家庭的總支出是已知的量。 文化支出的比率估計量為，通過計算得到，而，則，文化支出的比率估計量的值為（元）。 現(xiàn)在考慮比率估計量的方差，在樣本量較大的條件下，，通過計算可以得到兩個變量的樣本方差為，之間的相關(guān)系數(shù)的估計值為，代入上面的公式，可以得到比率估計量的方差的估計值為。這個數(shù)值比簡單估計量的方差估計值要小很多。全部家庭的平均文化支出的的置信區(qū)間為，把具體的數(shù)值代入可得置信區(qū)間為。 接下來比較比估計和簡單估計的效率，，這是比估計的設(shè)計效應(yīng)值，從這里可以看出比估計量比簡單估計量的效率更高。 解：利用

6、簡單估計量可得，樣本方差為，，樣本均值的方差估計值為。 利用回歸估計的方法，在這里選取肉牛的原重量為輔助變量。選擇原重量為輔助變量是合理的，因為肉牛的原重量在很大程度上影響著肉牛的現(xiàn)在的重量，二者之間存在較強(qiáng)的相關(guān)性，相關(guān)系數(shù)的估計值為，而且這種相關(guān)關(guān)系是穩(wěn)定的，這里肉牛的原重量的數(shù)值已經(jīng)得到，所以選擇肉牛的原重量為輔助變量。 回歸估計量的精度最高的回歸系數(shù)的估計值為?，F(xiàn)在可以得到肉牛現(xiàn)重量的回歸估計量為，代入數(shù)值可以得到。 回歸估計量的方差為，方差的估計值為，代入相應(yīng)的數(shù)值， ，顯然有。在本題中，因為存在肉牛原重量這個較好的輔助變量，所以回歸估計量的精度要好于簡單估計量。 第3章

7、 3.3 解：(1) 首先計算出每層的簡單估計量，分別為，其中，，則每個層的層權(quán)分別為； 則利用分層隨機(jī)抽樣得到該小區(qū)居民購買彩票的平均支出的估計量，代入數(shù)值可以得到。 購買彩票的平均支出的的估計值的方差為，此方差的估計值為，根據(jù)數(shù)據(jù)計算可以得到每層的樣本方差分別為： 其中，代入數(shù)值可以求得方差的估計值為，則估計的標(biāo)準(zhǔn)差為。 (2)由區(qū)間估計可知相對誤差限滿足 所以，。 樣本均值的方差為，（提1/n出去）從而可以得到在置信度為，相對誤差限為條件下的樣本量為。 ①對于比例分配而言，有成立，那么，把相應(yīng)的估計值和數(shù)值代入后可以計算得到樣本量為，相應(yīng)的在各層的樣本量分別為

8、。 ②按照內(nèi)曼分配時，樣本量在各層的分配滿足，這時樣本量的計算公式變?yōu)?，把相?yīng)的數(shù)值代入后可得，在各層中的分配情況如下：。 3.5 解：總體總共分為10個層，每個層中的樣本均值已經(jīng)知道，層權(quán)也得到，從而可以計算得到該開發(fā)區(qū)居民購買冷凍食品的平均支出的估計值為。 下一步計算平均支出的95%的置信區(qū)間，首先計算購買冷凍食品的平均支出的估計值的方差，其中，但是每層的方差是未知，則樣本平均支出的方差的估計值為，每個層的樣本標(biāo)準(zhǔn)差已知，題目中已經(jīng)注明各層的抽樣比可以忽略，計算可以得到。則這個開發(fā)區(qū)的居民購買冷凍食品的平均支出置信區(qū)間為 代入數(shù)值后，可得最終的置信區(qū)間為。 3.6 解：首先

9、計算簡單隨機(jī)抽樣的方差，根據(jù)各層的層權(quán)和各層的總體比例可以得到總體的比例為，則樣本量為100的簡單隨機(jī)樣本的樣本比例的方差為 ，不考慮有限總體校正系數(shù)，，其中， 在的條件下，通過簡單隨機(jī)抽樣得到的樣本比例的方差為 通過分層抽樣得到的樣本比例的方差為，但是因為不考慮有 限總體校正系數(shù)，而且抽樣方式是比例抽樣，所以有成立，樣本比例的方差近似為。對于每一層，分別有，在的條件下，近似的有成立，有 樣本量應(yīng)該滿足，同時這里要求分層隨機(jī)抽樣得到的估計的方差和簡單抽 樣的方差是相同的，，層權(quán)分別為，代入數(shù)值，可以計算得到最終的樣本量為。 第4章 4.1解:由題

10、意知,平均每戶家庭的訂報份數(shù)為:M=3，n=10 (份) 總的訂報份數(shù)為: (份) =0.358 333 所以估計方差為: =0.008 869 =141 900 4.3解:該集團(tuán)辦公費用總支出額為: =48/10(83+62+…+67+80)=3 532.8(百元) =72 765.44 =269.750 7(百元) 所以其置信度為95%的置信區(qū)間為:[3 004.089 , 4 061.511] 4.4解:=52.3 所以整個林區(qū)樹的平均高度為: =5.9(米)更正除以n 其估計的方差為: =0.06 所以其估計的標(biāo)準(zhǔn)誤為: =0.246(米)

11、 其95%的置信區(qū)間為:[5.42 ,6.38] 5.6 解：(1) 簡單隨機(jī)抽樣簡單估計量為：10,9,5,2,4。 均方誤差為： (2) 簡單隨機(jī)抽樣比估計為： ①聯(lián)合比估計： 聯(lián)合比估計估計量為：，因此 均方誤差為： ②分別比估計： 分別比估計估計量為：12.453 33，8.895 238，5.337 143，1.779 048，3.558 095，因此， 均方誤差為： （3）pps抽樣。 10 7 0.388 889 9 5 0.277 778 5 3 0.166 667 2 1 0.055 5

12、56 4 2 0.111 111 PPS抽樣漢森-赫維茨估計量：5.142 857，6.48，6，7.2，7.2，因此 均方誤差為： 通過以上計算可以看出，PPS抽樣漢森-赫維茨估計量的均方誤差最??；其次是簡單估計量的均方誤差；兩種比估計的均方誤差相差不大，但都要大于漢森-赫維茨和簡單估計量的均方誤差。 根據(jù)漢森-赫維茨估計量的計算公式可得 第6章 6.3解：將40個人依次編號為1～40號，且將這些編號看成首尾相接的一個環(huán)。 已知總體容量N=40，樣本量n=7。由于N/n=5.7，取最接近5.7但不大于的整數(shù)6，則抽樣間距k=5。些時樣本量修改為

13、n=8 由于隨機(jī)起點r=5，則其余樣本點依次為10，15，20，25，30，35，40 因此，用循環(huán)等距抽樣方法抽出的樣本單元序號為5，10，15，20，25，30，35，40 6.7解：已知總體容量N=15，總體均值。 樣本量n=3，抽樣間距k=N/n=5。 簡單隨機(jī)抽樣： 系統(tǒng)抽樣： 其中 “系統(tǒng)樣本” 隨機(jī)起點號碼r “系統(tǒng)樣本” 的單元組成 “系統(tǒng)樣本” 樣本均值 1 2 3 4 5 1，6，11 2，7，12 3，8，13 4，9，14 5，10，15 6 7 8 9 10

14、 第7章 7.1解:根據(jù)表中數(shù)據(jù),可計算各層的權(quán)重: =0.17, =0.25, =0.28, =0.22, =0.08 全縣棉花的種植面積為: =0.1790/17+0.251 806/25 +0.284 423/28+0.225 607/22+0.084 101/8 =164.27 7.3 解:由題知=602,由表內(nèi)數(shù)據(jù)計算得 =568.583 3 ,=568.25,1.000 587，=256 154.9 ,=278 836.9 ,=256 262 根據(jù)式(7.11),該地區(qū)當(dāng)年平均每村牛的年末頭數(shù)為: 602(頭) 所以該地區(qū)年末牛的總頭數(shù)為： 745 713(頭) 7.5解:由題意知: n1=300, n2=200, m=62,該保護(hù)區(qū)現(xiàn)有羚羊總數(shù)為: (頭) 其抽樣的標(biāo)準(zhǔn)誤為: (頭) 7.6 解:(1)由題意知: n1=7, n2=12, m=4,該地區(qū)漁民總數(shù)為: (人) 其抽樣的標(biāo)準(zhǔn)誤為: (人) 其95%的置信區(qū)間為: =[12,28] (2) 由題意知: n1=16, n2=19, m=11,該地區(qū)漁民總數(shù)為: (人) 其抽樣的標(biāo)準(zhǔn)誤為: (人) 其95%的置信區(qū)間為: =[22,34]