八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 專題突破講練 解析平方根和立方根試題 （新版）青島版.doc

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解析平方根和立方根 1. 算術(shù)平方根 （1）定義：一般地，如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于a，即，那么這個(gè)正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根。 即：如果（x≥0），則。 a的算術(shù)平方根記為，讀作“根號(hào)a或二次根號(hào)a”，a叫做被開方數(shù)，2叫根指數(shù)，可以省略，簡(jiǎn)寫為。 規(guī)定：0的算術(shù)平方根是0。 （2）性質(zhì)：①正數(shù)和零的算術(shù)平方根都只有一個(gè)，零的算術(shù)平方根是零。 ② 注意：的雙重非負(fù)性，即 （3）被開方數(shù)與算術(shù)平方根的關(guān)系 當(dāng)被開方數(shù)擴(kuò)大時(shí)，它的算術(shù)平方根也擴(kuò)大；當(dāng)被開方數(shù)縮小時(shí)，它的算術(shù)平方根也縮小。 一般來(lái)說(shuō)，被開方數(shù)擴(kuò)大（或縮?。゛倍，算術(shù)平方根擴(kuò)大（或縮?。┍?， 如：＝5，＝50。 2. 平方根 （1）平方根的定義：如果一個(gè)數(shù)x的平方等于a，那么這個(gè)數(shù)x就叫做a的平方根。 即：如果，那么x叫做a的平方根， 表示為，其中a叫做被開方數(shù)。 （2）性質(zhì)： ①正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)； ②0的平方根是0； ③負(fù)數(shù)沒有平方根。 （3）開平方的定義：求一個(gè)數(shù)的平方根的運(yùn)算，叫做開平方。 注意：① 開平方運(yùn)算的被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)才有意義； ② 乘方與開方互為逆運(yùn)算。 3. 立方根 （1）定義：如果一個(gè)數(shù)x的立方等于，這個(gè)數(shù)叫做的立方根（也叫做三次方根）， 即：如果，那么叫做的立方根，記作，讀作：“三次根號(hào)”。 其中叫被開方數(shù)，3叫根指數(shù)，不能省略，若省略表示平方。 （2）性質(zhì)： ①正數(shù)有一個(gè)正的立方根； ②0的立方根是0； ③負(fù)數(shù)有一個(gè)負(fù)的立方根。 注意：任何數(shù)都有唯一的立方根。 公式：；。 注意：，這說(shuō)明三次根號(hào)內(nèi)的負(fù)號(hào)可以移到根號(hào)外面。 （3）被開方數(shù)與立方根的關(guān)系 當(dāng)被開方數(shù)擴(kuò)大時(shí)，它的立方根也擴(kuò)大；當(dāng)被開方數(shù)縮小時(shí)，它的立方根也縮小。 一般來(lái)說(shuō)，被開方數(shù)擴(kuò)大（或縮小）a倍，立方根擴(kuò)大（或縮?。┍?， 如：，。 例題1 已知：是a＋8的算術(shù)平方根，是b－3的立方根，求M＋N的平方根。 解析：由算術(shù)平方根及立方根的意義可知，a＋b－2＝2①，2a－b＋4＝3②，聯(lián)立①②解方程組，得：a＝1，b＝3；代入已知條件得：， 所以，故M＋N的平方根是。 答案：根據(jù)題意得：，解得：a＝1，b＝3， 把a(bǔ)＝1，b＝3代入M，N得， 所以M＋N的平方根是。 點(diǎn)撥：正確理解算術(shù)平方根和立方根的意義是解決本題的關(guān)鍵。 例題2 已知，求x＋y的算術(shù)平方根與立方根。 解析：根據(jù)算術(shù)平方根和立方根的定義，可知x＋2y＝9①，4x－3y＝－8②，聯(lián)立①②解方程組，得：x＝1，y＝4，即可求得x＋y的算術(shù)平方根與立方根。 答案：根據(jù)題意得解得：x＝1，y＝4 ∴， 點(diǎn)撥：本題主要考查學(xué)生對(duì)算術(shù)平方根和立方根的應(yīng)用，正確理解算術(shù)平方根和立方根的定義是關(guān)鍵。 例題3 若一個(gè)正數(shù)a的兩個(gè)平方根分別為x＋1和x＋3，求的值。 解析：根據(jù)一個(gè)正數(shù)a的兩個(gè)平方根分別為x＋1和x＋3，可得出x＋1和x＋3互為相反數(shù)，可求出x，即可得到a的值，然后代入即可得出的值。 答案：根據(jù)題意得x＋1＋x＋3＝0， 解得x＝－2， 則x＋1＝－1，x＋3＝1， 所以a＝1， 即 點(diǎn)撥：本題考查了平方根的定義，知道一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)。 都具有非負(fù)性，這個(gè)性質(zhì)是我們解題的一個(gè)重要工具，巧妙的運(yùn)用這個(gè)非負(fù)性，往往能起到至關(guān)重要的作用。 例題 已知，則求m－n的值。 解析：根據(jù)確定m的范圍，從而去絕對(duì)值符號(hào)，整理后，根據(jù)算術(shù)平方根和平方的非負(fù)性求出的值。 答案：∵，且 ∴， ∴ 即 ， 解得， 。 點(diǎn)撥：此題主要考查了算術(shù)平方根以及絕對(duì)值的性質(zhì)，根據(jù)題意得出n，m的值是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。 （答題時(shí)間：30分鐘） 1.的平方根是（ ） A. 3 B. C. D. 2. 計(jì)算的結(jié)果是（ ） A. B. C. D. 3 3. 下列各式中，正確的是（ ） A. B. C. D. **4. 若＝0，則＝________。 *5. 一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根分別是2a－2和a－4，則a的值是_______。 6. 已知（2a－1）的平方根是，（3a＋b－1）的平方根是，求a＋2b的平方根。 *7. 若2m－4與3m－1是同一個(gè)數(shù)的兩個(gè)平方根，求m的值。 *8. 已知實(shí)數(shù)x、y滿足，則x＋y的值為（ ） A. －2 B. 2 C. 4 D. －4 **9. 已知實(shí)數(shù)x，y，m滿足，且y為負(fù)數(shù)，則m的取值范圍是（ ） A. m>6 B. m<6 C. m>－6 D. m<－6 *10. 若與互為相反數(shù)，則x＋y的值為（ ） A. 3 B. 9 C. 12 D. 27 **11. 設(shè)a、b、c都是實(shí)數(shù)，且滿足，求代數(shù)式的值。 **12. 已知實(shí)數(shù)x，y滿足，求代數(shù)式的值。  1. D 解析：因?yàn)?，所以就是?的平方根，為。 2. D 解析：一個(gè)數(shù)的立方根只有一個(gè)，。 3. B 解析：A.，故錯(cuò)誤； B. ，故正確； C. ，故錯(cuò)誤； D. 3，故錯(cuò)誤。 4. 1 解析：∵， ∴，解得a＝1，，。 5. 2 解析：因?yàn)橐粋€(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根互為相反數(shù)，所以可知（2a－2）＋（a－4）＝0，解得：a＝2。 6. 解：∵2a－1的平方根為，3a＋b－1的平方根為， ∴2a－1＝9，3a＋b－1＝16，解得：a＝5，b＝2， ∴a＋2b＝5＋4＝9， ∴a＋2b的平方根為 7. 解：由題意得：2m－4＝－（3m－1），解得m＝1 8. A 解析：∵，∴x－1＝0，y＋3＝0，解得：x＝1，y＝－3，即x＋y＝－2。 9. A 解析：∵，∴x＋2＝0，3x＋y＋m＝0，∴x＝－2，y＝6－m，又∵y是負(fù)數(shù)， ∴6－m<0，即m>6。 10. D 解析：∵與互為相反數(shù)，∴＋＝0 又∵，， ∴得，解得：x＝15，y＝12，即x＋y＝27 11. 解：∵，∴2－a＝0，，c＋8＝0， ∴a＝2，b＝4，c＝－8， 12. 解：∵，∴x－5＝0，y＋4＝0，解得：x＝5，y＝－4 ∴＝1