八年級數(shù)學(xué)下冊 專題突破講練 一次函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用試題 （新版）青島版.doc

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一次函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用 一次函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用 1. 在行程類問題中的應(yīng)用： 本類應(yīng)用為今后重點出題方向，從知識點上講，主要考查了二元一次方程組、一次函數(shù)、圖象交點等內(nèi)容的綜合。 （1）相遇類問題：如圖所示，一列快車從甲地駛往乙地，一列慢車從乙地駛往甲地，兩車同時出發(fā)，設(shè)慢車行駛的時間為x（h），兩車之間的距離為y（km），圖中的折線表示y與x之間的函數(shù)關(guān)系。如何理解圖象？ 答案：慢車12h到達終點，兩車之間的距離開始的時候是1000千米，4h時兩車相遇，C點時快車到達終點，慢車繼續(xù)行駛，CD過程中快車與慢車的距離仍然在拉大，但拉大幅度比BC段減小。 （2）追及類問題：如圖所示，小李與小陸從A地出發(fā)，騎自行車沿同一條路行駛到B地，他們離出發(fā)地的距離s（單位：km）和行駛時間t（單位：h）之間的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖所示， 2. 在工程類問題中的應(yīng)用： 如圖所示，某項工程，由甲、乙兩個施工隊合作完成。先由甲施工隊單獨施工3天，剩下的工作由甲、乙兩個施工隊合作完成。工程進度滿足如圖所示的函數(shù)關(guān)系，則完成此項工程共需多少天？ 答案：9天。 3. 商品利潤類問題中的應(yīng)用： 如圖所示，一家電信公司給顧客提供兩種上網(wǎng)收費方式：方式A以每分0.1元的價格按上網(wǎng)所用時間計算；方式B除收月基費20元外，再以每分0.05元的價格按上網(wǎng)所用時間計費。若上網(wǎng)所用時間為x分，計費為y元，如圖是在同一平面直角坐標系中，分別描述兩種計費方式的函救的圖象，如何理解？ 答案：400分鐘的時候兩種方式消費相同，400分鐘以內(nèi)方式甲費用低于方式乙，400分鐘以上甲的費用高于方式乙。 4. 根據(jù)文字敘述情境用函數(shù)關(guān)系式解決問題： 某校為了實施“大課間”活動，計劃購買籃球、排球共60個，跳繩120根．已知一個籃球70元，一個排球50元，一根跳繩10元．設(shè)購買籃球x個，購買籃球、排球和跳繩的總費用為y元。（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）若購買上述體育用品的總費用為4700元，問籃球、排球各買多少個？ 答案：（1）；（2）籃球25個，排球35個。 總結(jié)： 1. 理解圖象中的交點，與x軸平行等所表達的意義。 2. 在實際應(yīng)用中，要特別觀察圖象x、y軸代表的實際意義，理解了坐標軸的意義才能更好的解決問題。 例題 校運動會前，小明和小亮相約晨練跑步，小明比小亮早1分鐘離開家門，3分鐘后迎面遇到從家跑來的小亮，兩人并行跑了2分鐘后，決定進行長跑比賽，比賽過程中小明的速度始終是180米/分，小亮的速度始終是220米/分。兩人之間的距離y（米）與小明離開家的時間t（分鐘）之間的函數(shù)圖象如圖所示，下列說法：①小明比賽前的速度為180米/分；②小明和小亮家相距540米；③小亮在跑步過程中速度始終保持不變；④小明離家7分鐘時兩人之間的距離為80米；⑤小亮從家出門跑了14分鐘后，按原路以比賽時的速度返回，再經(jīng)過0.9分鐘兩人相遇，其中一定正確的個數(shù)（　?。? A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析：根據(jù)函數(shù)圖象可以求出小明比賽前的速度為（540－440）1=100米/分，兩家的距離為540米，根據(jù)速度時間=路程就可以求出小亮在比賽前的速度與220比較就可以確定是否發(fā)生變化，根據(jù)比賽時兩人的速度關(guān)系就可以求出比賽2分鐘時兩人的距離，⑤先求出14分鐘時小亮在小明前面的距離，再由相遇問題就可以求出結(jié)論。 答案：解：由函數(shù)圖象及題意，得①小明比賽前的速度為：（540－440）1=100米/分≠180米/分，故①錯誤；②小明與小亮家相距：540米；故②正確；③小亮在比賽前的速度為：4402－100=120米/秒≠220米/秒；故③錯誤；④小明離家7分鐘時兩人之間的距離為：（7－5）（220－180）=80米，故④正確；⑤小亮從家出門跑了14分鐘后兩人之間的距離為：（14+1－5）（220－180）=400米，小亮返回時與小明相遇的時間為：400（180+220）=1分鐘，故⑤不正確．∴正確的個數(shù)有2個。故答案為：B。 點撥：解答時，靈活運用行程問題的數(shù)量關(guān)系解答是關(guān)鍵。 兩車距離問題 例題 甲乙兩車分別從A、B兩地相向而行，甲車出發(fā)1小時后乙車出發(fā)，并以各自速度勻速行駛，兩車相遇后依然按照原速度原方向各自行駛，如圖所示是甲乙兩車之間的距離s（千米）與甲車出發(fā)時間t（小時）之間的函數(shù)圖象，其中D點表示甲車到達B地，停止行駛。 （1）A、B兩地的距離　　　　560千米；乙車速度是　　　　100km/h；a表示　　　　　　　　。 （2）乙出發(fā)多長時間后兩車相距330千米？ 解析：（1）根據(jù)圖象，甲出發(fā)時的s值即為A、B兩地間的距離；先求出甲車的速度，設(shè)乙車的速度為xkm/h，再利用相遇問題列出方程求解即可；求出相遇后甲車到達B地的時間，再根據(jù)路程=速度時間求出兩車的相距距離a；（2）設(shè)直線BC的解析式為s=k1t+b1（k1≠0），利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，再令s=330，求出t的值，減去1即為相遇前乙車出發(fā)的時間；設(shè)直線CD的解析式為s=k2t+b2（k2≠0），利用待定系數(shù)法求出直線CD的解析式，再令s=330，求出t的值，減去1即為相遇后乙車出發(fā)的時間。 答案：解：（1）當t=0時，s=560，所以A、B兩地的距離為560千米；甲車的速度為：（560－440）1=120km/h，設(shè)乙車的速度為xkm/h，則（120+x）（3－1）=440，解得x=100；相遇后甲車到達B地的時間為：（3－1）100120=小時，所以a=（120+100）=千米；（2）設(shè)直線BC的解析式為s=k1t+b1（k1≠0），將B（1，440），C（3，0）代入得，解得，所以s=－220t+660，當－220t+660=330時，解得t=1.5，所以t－1=1.5－1=0.5；設(shè)直線CD的解析式為s=k2t+b2（k2≠0），點D的橫坐標為+3=，將C（3，0），D（，）代入，得，解得，所以s=220t－660，當220t－660=330時，解得t=4.5，所以，t－1=4.5－1=3.5。 答：乙出發(fā)多長0.5小時或3.5小時后兩車相距330千米。 隱含條件的函數(shù)應(yīng)用 例題 因南方旱情嚴重，乙水庫的蓄水量以每天相同的速度持續(xù)減少。為緩解旱情，北方甲水庫立即以管道運輸?shù)姆绞浇o予支援。下圖是兩水庫的蓄水量y（萬米3）與時間x（天）之間的函數(shù)圖象。在單位時間內(nèi)，甲水庫的放水量與乙水庫的進水量相同（水在排放、接收以及輸送過程中的損耗不計）．通過分析圖象回答下列問題： （1）甲水庫每天的放水量是多少萬立方米？ （2）在第幾天時甲水庫輸出的水開始注入乙水庫？此時乙水庫的蓄水量為多少萬立方米？ （3）求直線AD的解析式。 解析：（1）由甲函數(shù)圖象5天水的減少量即可算出甲每天的放水量；（2）由圖象可以看出，10天后乙水庫蓄水量開始增加，由直線AB的函數(shù)解析式得出A點坐標，求出此時乙水庫的蓄水量；（3）要求直線AD的解析式需求出D點坐標，甲的排水量為乙的進水量，則D的橫坐標為15，按等量關(guān)系“15天后乙的蓄水量=10天原有的水量+甲注入的水量－自身排出的水量”求出D點縱坐標，再求出函數(shù)解析式。 答案：解：（1）甲水庫每天的放水量為（3000－1000）5=400（萬米3/天）； （2）甲水庫輸出的水第10天時開始注入乙水庫，設(shè)直線AB的解析式為：y=kx+b（k≠0），∵B（0，800），C（5，550）∴，解得，∴直線AB的解析式為：yAB=－50x+800，當x=10時，y=300，∴此時乙水庫的蓄水量為300（萬米3）。 答：在第10天時甲水庫輸出的水開始注入乙水庫，此時乙水庫的蓄水量為300萬立方米。 （3）∵甲水庫單位時間的放水量與乙水庫單位時間的進水量相同且損耗不計，∴乙水庫的進水時間為5天，∵乙水庫15天后的蓄水量為：300+2000－550=2050（萬米3），∵過點A的直線解析式為yAB=－50x+800，∴當x=10，y=－500+800=300，∴A（10，300），D（15，2050），設(shè)直線AD的解析式為：y=k1x+b1（k≠0）， ∴，∴ ∴直線AD的解析式為：yAD=350x－3200。 （答題時間：45分鐘） 一、選擇題 1. 小李與小陸從A地出發(fā)，騎自行車沿同一條路行駛到B地，他們離出發(fā)地的距離S（單位：km）和行駛時間t（單位：h）之間的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖所示，根據(jù)圖中提供的信息，有下列說法： （1）他們都行駛了20km；（2）小陸全程共用了1.5h；（3）小李與小陸相遇后，小李的速度小于小陸的速度；（4）小李在途中停留了0.5h．其中正確的有（　?。? A. 4個 B. 3個 C. 2個 D. 1個 2. 為使我市冬季“天更藍、房更暖”、政府決定實施“煤改氣”供暖改造工程，現(xiàn)甲、乙兩工程隊分別同時開挖兩條600米長的管道，所挖管道長度y（米）與挖掘時間x（天）之間的關(guān)系如圖所示，則下列說法中：①甲隊每天挖100米；②乙隊開挖兩天后，每天挖50米；③當x=4時，甲、乙兩隊所挖管道長度相同；④甲隊比乙隊提前2天完成任務(wù)．正確的個數(shù)有（　?。? A. 1個 B. 2個 C. 個 D. 4個 *3. 甲、乙兩車同時從M地出發(fā)，以各自的速度勻速向N地行駛．甲車先到達N地，停留1h后按原路以另一速度勻速返回，直到兩車相遇，乙車的速度為60km/h。如圖是兩車之間的距離y（km）與乙車行駛時間x（h）之間的函數(shù)圖象。以下結(jié)論正確的是（ ） ①甲車從M地到N地的速度為100km/h；②M、N兩地之間相距120km；③點A的坐標為（4，60）；④當4≤x≤4.4時，函數(shù)解析式為y=－150x+660；⑤甲車返回時行駛速度為100km/h A. ①②④ B. ①③④ C. ①③⑤ D. ①②③ *4. 小文、小亮從學(xué)校出發(fā)到青少年宮參加書法比賽，小文步行一段時間后，小亮騎自行車沿相同路線行進，兩人均勻速前行。他們的路程差s（米）與小文出發(fā)時間t（分）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示。下列說法：①小亮先到達青少年宮；②小亮的速度是小文速度的2.5倍；③a=24；④b=480。其中正確的是（　?。? A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ **5. 已知每一個小時有一列速度相同的動車從甲地開往乙地，圖中OA、MN分別是第一列動車和第二列動車離甲地的路程s（km）與運行時間t（h）的函數(shù)圖象，折線DB－BC是一列從乙地開往甲地速度為100km/h的普通快車距甲地的路程s（km）與運行時間t（h）的函數(shù)圖象。以下說法錯誤的是（　?。? A. 普通快車比第一列動車晚發(fā)車0.5h B. 普通快車比第一列動車晚到達終點1.5h C. 第二列動車出發(fā)后1h與普通快車相遇 D. 普通快車與迎面的相鄰兩動車相遇的時間間隔為0.7h 二、填空題 *6. 一名考生步行前往考場，10分鐘走了總路程的，估計步行不能準時到達，于是他改乘出租車趕往考場，他的行程與時間關(guān)系如圖所示（假定總路程為1），則他到達考場所花的時間比一直步行提前了　　 　24分鐘。 *7. 有一項工作，由甲、乙合作完成，合作一段時間后，乙改進了技術(shù)，提高了工作效率。圖①表示甲、乙合作完成的工作量y（件）與工作時間t（時）的函數(shù)圖象。圖②分別表示甲完成的工作量y甲（件）、乙完成的工作量y乙（件）與工作時間t（時）的函數(shù)圖象，則甲每小時完成　　　　　　　　　　30件，乙提高工作效率后，再工作　　　　　　　　個小時與甲完成的工作量相等。 *8、設(shè)甲、乙兩車在同一直線公路上勻速行駛，開始甲車在乙車的前面，當乙車追上甲車后，兩車停下來，把乙車的貨物轉(zhuǎn)給甲車，然后甲車繼續(xù)前行，乙車向原地返回。設(shè)x秒后兩車間的距離為y米，y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則甲車的速度是 　　　　　20 米/秒。 **9. 甲乙兩地相距50千米．星期天上午8：00小聰同學(xué)在父親陪同下騎山地車從甲地前往乙地。2小時后，小明的父親騎摩托車沿同一路線也從甲地前往乙地，他們行駛的路程y（千米）與小聰行駛的時間x（小時）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，小明父親出發(fā)　　　　　　小時時，行進中的兩車相距8千米。 三、解答題 10. 某工廠加工一批產(chǎn)品，為了提前交貨，規(guī)定每個工人完成100個以內(nèi)，每個產(chǎn)品付酬1.5元；超過100個，超過部分每個產(chǎn)品付酬增加0.3元；超過200個，超過部分除按上述規(guī)定外，每個產(chǎn)品再增加0.4元。求一個工人：（1）完成100個以內(nèi)所得報酬y（元）與產(chǎn)品數(shù)x（個）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）完成100個以上，但不超過200個所得報酬y（元）與產(chǎn)品數(shù)x（個）之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）完成200個以上所得報酬y（元）與產(chǎn)品數(shù)x（個）之間的函數(shù)關(guān)系式。 *11. 快、慢兩車分別從相距360千米路程的甲、乙兩地同時出發(fā)，勻速行駛，先相向而行，快車到達乙地后，停留1小時，然后按原路原速返回，快車比慢車晚1小時到達甲地，快、慢兩車距各自出發(fā)地的路程y（千米）與出發(fā)后所用的時間x（小時）的關(guān)系如圖所示。 請結(jié)合圖象信息解答下列問題： （1）快、慢兩車的速度各是多少？ （2）出發(fā)多少小時，快、慢兩車距各自出發(fā)地的路程相等？ （3）直接寫出在慢車到達甲地前，快、慢兩車相距的路程為150千米的次數(shù)。 *12. 快車甲和慢車乙分別從A、B兩站同時出發(fā)，相向而行?？燔嚨竭_B站后，停留1小時，然后原路原速返回A站，慢車到達A站即停運休息。下圖表示的是兩車之間的距離y（千米）與行駛時間x（小時）的函數(shù)圖象。請結(jié)合圖象信息。解答下列問題： （1）直接寫出快、慢兩車的速度及A、B兩站間的距離； （2）求快車從B返回A站時，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式； （3）出發(fā)幾小時，兩車相距200千米？請直接寫出答案。  1. A 解析：（1）根據(jù)圖象的縱坐標可得：他們都行駛了20km，故原說法正確；（2）根據(jù)圖象可得：小陸全程共用了：2－0.5=1.5h，故原說法正確；（3）根據(jù)圖象可得：小李與小陸相遇后，他們距離目的地有相同的路程，但是小陸用1個小時到B地，小李用1.5個小時到B地，所以小李的速度小于小陸的速度，故原說法正確；（4）根據(jù)圖象可得：表示小李的s－t圖象從0.5時開始到1時結(jié)束，時間在增多，而路程沒有變化，說明此時在停留，停留了1－0.5=0.5小時，故原說法正確。故選A。 2. D 解析：由圖象，得①6006=100米/天，故①正確；②（500－300）4=50米/天，故②正確；③甲隊4天完成的工作量是：1004=400米，乙隊4天完成的工作量是：300+250=400米，∵400=400，∴當x=4時，甲、乙兩隊所挖管道長度相同，故③正確；④由圖象得甲隊完成600米的時間是6天，乙隊完成60米的時間是：2+30050=8天，∵8－6=2天，∴甲隊比乙隊提前2天完成任務(wù)，故④正確；故選D。 3. B 解析：設(shè)甲車從M到N地的速度為akm/h，∵3小時后甲乙相距120km，∴3（a－60）=120，∴a=100，所以①正確；∵甲車先到達N地，停留1h后按原路返回，∴甲到達N時，甲乙相距最遠，此時甲行駛了3100=300（km），∴M、N兩地之間相距300km，所以②不正確；∵甲在N地停留1h時，乙行駛了160=60（km），∴4小時后甲乙相距120－60=60（km），∴A點坐標為（4，60），所以③正確；設(shè)當4≤x≤4.4時，函數(shù)解析式為y=kx+b（k≠0），把（4，60）、（4.4，0）代入得，，解得，∴函數(shù)解析式為y=－150x+660（4≤x≤4.4），所以④正確；當x=4.4，甲乙相遇，此時乙行駛了4.460=264km，∴甲返回時的速度==90（km/h），所以⑤不正確。故選B。 4. B 解析：由圖象得出小文步行720米，需要9分鐘，所以小文的運動速度為：7209=80（m/t），當?shù)?5分鐘時，小亮運動15－9=6（分鐘），運動距離為：1580=1200（m），∴小亮的運動速度為：12006=200（m/t），∴20080=2.5，故②小亮的速度是小文速度的2.5倍正確；當?shù)?9分鐘以后兩人之間距離越來越近，說明小亮已經(jīng)到達終點，故①小亮先到達青少年宮正確；此時小亮運動19－9=10（分鐘），運動總距離為：10200=2000（m），∴小文運動時間為：200080=25（分鐘），故a的值為25，故③a=24錯誤；∵小文19分鐘運動距離為：1980=1520（m），∴b=2000－1520=480，故④b=480正確．故正確的有：①②④。故選；B。 5. D 解析：A. 第一列動車從O點開始走，而普通快車從B點開始走，即普通快車比第一列動車晚發(fā)車0.5－0=0.5（h），正確，故本選項錯誤；B. 普通快車到達終點（C）時，對應(yīng)的時間是3.5h，而第一列動車到達終點（A）時，時間是2h，即3.5h－2h=1.5h，正確，故本選項錯誤；C. 第二列動車和普通快車相遇在E點，第二列動車走了2－1=1（h），正確，故本選項錯誤；D. ∵第二列動車和普通快車相遇在E點，時間2h，第一列動車和普通快車相遇在F點，時間是1.4h，∴2h－1.4h=0.6h，錯誤，故本選項正確；故選D。 6. 24 解析：依題意，步行到考場需要時間為40分鐘，設(shè)乘出租車的路程y與時間x（分鐘）的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b（k≠0），則，解得，y=x－1，當y=1時，x=16，提前時間=40－16=24分鐘。故答案為：24。 7. 30， 解析：設(shè)甲原來每小時做x件，乙每小時作y件，乙提高工作效率后每小時比原來多做a件，由圖象，得，解得：，則甲每小時完成30件；設(shè)乙提高工作效率后再工作m小時與甲完成的工作量相等，由題意，得220+（20+40）m=230+30m，解得：m=，故答案為：30，。 8. 20 解析：設(shè)甲車的速度是a米/秒，乙車的速度為b米/秒，由題意得，，解得：。故答案為20。 9. 或 解析：由圖可知，小聰?shù)乃俣葹椋?63=12千米/時，小明的父親的速度為：36（3－2）=36千米/時，設(shè)小明的父親出發(fā)x小時兩車相距8千米，則小聰出發(fā)的時間為（x+2）小時，根據(jù)題意得，12（x+2）－36x=8或36x－12（x+2）=8，解得x=或x=，所以，出發(fā)或小時時，行進中的兩車相距8千米。故答案為：或。 10. 解：（1）y=1.5x （x≤100）；（2）y=1.5x+（x－100）0.3（100＜x≤200）；（3）y=1.5x+（x－100）0.3+（x－200）0.4 （x＞200）。 11. 解：（1）如圖所示：快車一共行駛了7小時，中間停留了1小時，慢車一共行駛了6小時，∵由圖可得出兩地相距360km，∴快車速度為：36026=120（km/h），慢車速度為：3606=60（km/h）； （2）∵快車速度為：120km/h，∴360120=3（h），∴A點坐標為；（3，360）∴B點坐標為（4，360），可得E點坐標為：（6，360），D點坐標為：（7，0），∴設(shè)BD解析式為：y=kx+b（k≠0），，解得：，∴BD解析式為：y=－120x+840，設(shè)OE解析式為：y=ax（a≠0），∴360=6a，解得：a=60，∴OE解析式為：y=60x，當快、慢兩車距各自出發(fā)地的路程相等時：60x=－120x+840，解得：x=，答：出發(fā)小時，快、慢兩車距各自出發(fā)地的路程相等； （3）根據(jù)兩車第一次相遇前可以相距150km，第一次相遇后兩車再次相距150km，當快車到達乙地后返回時兩車可以相距150km，綜上所述：在慢車到達甲地前，快、慢兩車相距的路程為150千米的次數(shù)是3次。 12. 解：（1）∵從圖上可以看出來10小時時，快車到達B地，隨后的1個小時，快車在休息，只有慢車在走，它1小時走的路程是880－800=80km，∴慢車的速度是：80km/小時．快車的速度是：680（10－6）=120km/小時；∴兩地之間的距離是：6（120+80）=1200km．答：快車的速度120千米/小時；慢車的速度80千米/小時；A、B兩站間的距離1200千米。 （2）快車從B出發(fā)到慢車到站時，二者的距離減小：（120－80）（15－11）=160千米，則此時兩車的距離是：880－160=720千米，則點Q的坐標為（15，720）。設(shè)直線PQ的解析式為y=kx+b（k≠0），由P（11，880），Q（15，720）得1，解得。 故直線PQ的解析式為：y=－40x+1320．設(shè)直線QH的解析式為y=mx+n（m≠0），由Q（15，720），H（21，0）得，解得。 故直線QH的解析式為：y=－120x+2520。 故快車從B返回A站時，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y＝?40x+1320。（11＜x≤15）y＝?120x+2520。（15＜x≤21）。 （3）在相遇前兩車相距200km的時間是：（1200－200）（120+80）=5小時；在兩車相遇后，快車到達B地前相距200km的時間是：（1200+200）（120+80）=7小時；在慢車到達A地后，快車在返回A地前相距200km的時間是：11+（1200－200）120=19小時。故出發(fā)5小時或7小時或19小時，兩車相距200千米。