2019年高中數(shù)學 第二章 推理與證明綜合檢測 新人教A版選修1-2.doc

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2019年高中數(shù)學 第二章 推理與證明綜合檢測 新人教A版選修1-2 一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的) 1．(xx日照高二檢測)有一段演繹推理是這樣的“有些有理數(shù)是真分數(shù)，整數(shù)是有理數(shù)，則整數(shù)是真分數(shù)”結(jié)論顯然是錯誤的，是因為(　　) A．大前提錯誤　　　　　 B．小前提錯誤 C．推理形式錯誤 D．非以上錯誤 【解析】　該推理的形式不符合三段論推理模式，故結(jié)論錯誤． 【答案】　C 2．下列推理過程是類比推理的是(　　) A．人們通過大量試驗得出擲硬幣出現(xiàn)正面的概率為 B．科學家通過研究老鷹的眼睛發(fā)明了電子鷹眼 C．通過檢測溶液的pH值得出溶液的酸堿性 D．數(shù)學中由周期函數(shù)的定義判斷某函數(shù)是否為周期函數(shù) 【解析】　A為歸納推理，C，D均為演繹推理．故選B. 【答案】　B 3．求證：＋＜2. 證明：因為＋和2都是正數(shù)， 所以為了證明＋＜2， 只需證明(＋)2＜(2)2， 展開得10＋2＜20，即＜5， 只需證明21＜25. 因為21＜25成立， 所以不等式＋＜2成立． 上述證明過程應(yīng)用了(　　) A．綜合法 B．分析法 C．綜合法、分析法配合使用 D．間接證法 【解析】　結(jié)合證明特征可知，上述證明過程用了分析法，其屬于直接證明法． 【答案】　B 4．如圖1所示為一串白黑相間排列的珠子，按這種規(guī)律往下排，那么第36顆珠子的顏色是(　　) —○ ○ ○ ● ● ○ ○ ○ ● ● ○ ○ ○ ● ●— 圖1 A．白色 B．黑色 C．白色可能性大 D．黑色可能性大 【解析】　每3個白珠和2個黑珠看作一組，前7組共有35顆珠子，因此第36顆珠子應(yīng)為白色珠． 【答案】　A 5．(xx江西高考)觀察下列事實：|x|＋|y|＝1的不同整數(shù)解(x，y)的個數(shù)為4，|x|＋|y|＝2的不同整數(shù)解(x，y)的個數(shù)為8，|x|＋|y|＝3的不同整數(shù)解(x，y)的個數(shù)為12，…，則|x|＋|y|＝20的不同整數(shù)解(x，y)的個數(shù)為(　　) A．76　　　 B．80　　　 C．86　　　 D．92 【解析】　由題意知|x|＋|y|＝1的不同整數(shù)解的個數(shù)為4，|x|＋|y|＝2的不同整數(shù)解的個數(shù)為8，|x|＋|y|＝3的不同整數(shù)解的個數(shù)為12，則可歸納出等式右端值與不同整數(shù)解的個數(shù)成倍數(shù)關(guān)系，且解的個數(shù)為等式值的4倍，則|x|＋|y|＝20的不同整數(shù)解的個數(shù)為80. 【答案】　B 6．下面所示的三角形數(shù)組是我國古代數(shù)學家楊輝發(fā)現(xiàn)的，稱為楊輝三角形，根據(jù)圖中的數(shù)構(gòu)成的規(guī)律，α所表示的數(shù)是(　　) 1 1　2　1 1　3　3　1 1　4　α　4　1 1　5　10　10　5　1 圖2 A．2 B．4 C．6 D．8 【解析】　由楊輝三角形可以發(fā)現(xiàn)：每一行除1外，每個數(shù)都是它肩膀上的兩數(shù)之和．故α＝3＋3＝6. 【答案】　C 7．(xx大連高二檢測)由代數(shù)式的乘法法則類比推導向量的數(shù)量積的運算法則： ①由“mn＝nm”類比得到“ab＝ba”； ②由“(m＋n)t＝mt＋nt”類比得到“(a＋b)c＝ac＋bc”； ③由“t≠0，mt＝xt?m＝x”類比得到“p≠0，ap＝xp?a＝x”； ④由“|mn|＝|m||n|”類比得到“|ab|＝|a||b|”． 以上結(jié)論正確的是(　　) A．①③ B．①② C．②③ D．②④ 【解析】　因為向量運算滿足交換律、乘法分配律，向量沒有除法，不能約分，所以①②正確，③錯誤．又因為|ab|＝|a||b||cos〈a，b〉|，所以④錯誤． 【答案】　B 8．如圖3所示，4個小動物換座位，開始時鼠，猴，兔，貓分別坐1,2,3,4號座位，如果第1次前后排動物互換座位，第2次左右列動物互換座位，…，這樣交替進行下去，那么第2 012次互換座位后，小兔所坐的座位號是(　　) 圖3 A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】　由題意得第4次互換座位后，4個小動物又回到了原座位，即每經(jīng)過4次互換座位后，小動物回到原座位，所以第2 012次互換座位后的結(jié)果與最初的位置相同，故小兔坐在第3號座位上． 【答案】　C 9．用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角中至多有一個鈍角”時，反設(shè)正確的是(　　) A．三個內(nèi)角中至少有一個鈍角 B．三個內(nèi)角中至少有兩個鈍角 C．三個內(nèi)角都不是鈍角 D．三個內(nèi)角都不是鈍角或至少有兩個鈍角 【解析】　“至多有一個”即要么一個都沒有，要么有一個，故反設(shè)為“至少有兩個”． 【答案】　B 10．(xx唐山高二檢測)已知x∈(0，＋∞)，觀察下列式子：x＋≥2，x＋＝＋＋≥3，…類比有x＋≥n＋1(n∈N*)，則a的值為(　　) A．nn B．n C．n＋1 D．n－1 【解析】　由觀察可得：x＋＝＋≥(n＋1)＝(n＋1)＝n＋1，則a＝nn. 【答案】　A 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上) 11．(xx蘇州高二檢測)對于平面幾何中的命題“如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)垂直，那么這兩個角相等或互補”，在立體幾何中，類比上述命題，可以得到命題“__________________________”，這個類比命題的真假性是____________． 【解析】　邊類比半平面，角類比二面角可得． 【答案】　如果兩個二面角的兩個半平面分別對應(yīng)垂直，那么這兩個二面角相等或互補　假命題 12．函數(shù)f(x)對于任意實數(shù)x滿足條件f(x＋2)＝，若f(1)＝－5，則f(f(5))＝________. 【解析】　∵f(x＋2)＝， ∴f(x＋4)＝＝f(x)， ∴f(5)＝f(1＋4)＝f(1)＝－5， ∴f(f(5))＝f(－5)＝f(3)＝＝－. 【答案】?。? 13．(xx馬鞍山高二檢測)觀察以下不等式 1＋＜， 1＋＋＜， 1＋＋＋＜， …… 可歸納出對大于1的正整數(shù)n成立的一個不等式1＋＋＋…＋＜f(n)，則不等式右端f(n)的表達式應(yīng)為________(n＞1，n∈N)． 【解析】　由所給不等式可知，分子為3,5,7，…；分母為2,3,4，… 尋找規(guī)律可知f(n)＝. 【答案】　 14．在△ABC中，D為BC的中點，則＝(＋)．將命題類比到三棱錐中，得到一個類似的命題為__________________________________. 【答案】　在三棱錐A－BCD中，G為△BCD的重心，則＝(＋＋) 三、解答題(本大題共4小題，共50分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟) 15．(本小題滿分12分)已知a，b是正有理數(shù)，，是無理數(shù)，證明：＋必為無理數(shù)． 【證明】　假設(shè)＋為有理數(shù)，記p＝＋，因為a，b是正有理數(shù)，所以p＞0.將＝p－兩邊平方，得a＝p2＋b－2p，所以＝.因為a，b，p均為有理數(shù)，所以必為有理數(shù)，這與已知條件矛盾，故假設(shè)錯誤． 所以＋必為無理數(shù)． 16．(本小題滿分12分)如圖4，在四棱錐P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60，E、F分別是AP、AD的中點． 圖4 求證：(1)直線EF∥平面PCD； (2)平面BEF⊥平面PAD. 【證明】　(1)在△PAD中，因為E、F分別為AP、AD的中點，所以EF∥PD. 又因為EF?平面PCD，PD?平面PCD， 所以直線EF∥平面PCD. (2)連接BD.因為AB＝AD，∠BAD＝60，所以△ABD為正三角形．因為F是AD的中點，所以BF⊥AD. 因為平面PAD⊥平面ABCD，BF?平面ABCD， 平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面PAD. 又因為BF?平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD. 17．(本小題滿分12分)(xx廣東高考)設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和為Sn，滿足4Sn＝a－4n－1，n∈N*，且a2，a5，a14構(gòu)成等比數(shù)列． (1)證明：a2＝； (2)求數(shù)列{an}的通項公式； (3)證明：對一切正整數(shù)n，有＋＋…＋<. 【解】　(1)證明：由4Sn＝a－4n－1，得4S1＝a－4－1， 即4a1＝a－4－1，所以a＝4a1＋5. 因為an>0，所以a2＝. (2)因為4Sn＝a－4n－1， ① 所以當n≥2時，4Sn－1＝a－4(n－1)－1， ② 由①－②得4an＝a－a－4， 即a＝a＋4an＋4＝(an＋2)2(n≥2)． 因為an>0，所以an＋1＝an＋2，即an＋1－an＝2(n≥2)． 因為a2，a5，a14成等比數(shù)列，所以a＝a2a14， 即(a2＋32)2＝a2(a2＋122)，解得a2＝3. 又由(1)知a2＝，所以a1＝1，所以a2－a1＝2. 綜上知an＋1－an＝2(n∈N*)， 所以數(shù)列{an}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列． 所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1. 所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n－1(n∈N*)． (3)證明：由(2)知＝ ＝(－)， 所以＋＋…＋ ＝(1－＋－＋…＋－) ＝(1－)＝－<. 18．(本小題滿分14分)(xx寧波高二檢測)已知△ABC的三邊a、b、c的倒數(shù)成等差數(shù)列，試分別用分析法和綜合法證明∠B為銳角． 【證明】　法一(分析法)　要證明∠B為銳角，只需證cos B＞0，又因為cos B＝，所以只需證明a2＋c2－b2＞0，即a2＋c2＞b2. 因為a2＋c2≥2ac，所以只需證明2ac＞b2. 由已知＝＋， 即2ac＝b(a＋c)， 所以只需證明b(a＋c)＞b2， 即只需證明a＋c＞b.而a＋c＞b顯然成立，所以∠B為銳角． 法二(綜合法)　由題意：＝＋＝， 則b＝，∴b(a＋c)＝2ac. ∵a＋c＞b， ∴b(a＋c)＝2ac＞b2. ∴cos B＝≥＞0. 又∵0＜∠B＜π， ∴0＜∠B＜，即∠B為銳角．