2019年高中數(shù)學(xué) 2.6 矩陣的簡單應(yīng)用綜合檢測 蘇教版選修4-2.doc

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2019年高中數(shù)學(xué) 2.6 矩陣的簡單應(yīng)用綜合檢測 蘇教版選修4-2 1．某車間有甲、乙兩臺機(jī)床，可用于生產(chǎn)三種工件，假定全年的產(chǎn)量見下表(單位：件)： 工件1 工件2 工件3 甲 800 600 300 乙 200 300 600 又已知工件1、工件2、工件3的銷售價(jià)格分別為20元、30元和10元，請給出甲機(jī)床、乙機(jī)床全年的產(chǎn)值分別是多少？ 【解】　兩機(jī)床全年產(chǎn)量可用一個23矩陣表示，記為 P＝， 各工件的銷售價(jià)格向量為Q＝， 從而PQ＝ ＝. 故全年中甲機(jī)床的產(chǎn)值為37 000元，乙機(jī)床的產(chǎn)值為19 000元． 2．四種食品(F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3，F(xiàn)4)在三家商店(S1，S2，S3)中，單位量的售價(jià)(以某種貨幣單位計(jì))可用下面的矩陣表示： 那么在商店S1購買F2食品9單位，在商店S2購買F3食品3單位，在商店S3購買F4食品5單位，共需多少貨幣？ 【解】　M＝＝197，即共需197單位貨幣． 3．在密碼學(xué)中，常用二階矩陣對信息進(jìn)行加密，現(xiàn)在我們先將英文字母數(shù)字化，a→1，b→2，…，z→26，發(fā)送方要傳遞的信息是e.雙方約定的矩陣為，求發(fā)送的密碼． 【解】　∵c→3，o→15，m→13，e→5， ∴由題意可得＝， 所以發(fā)送的密碼為30,66,70,106. 4．如圖是A、B、C三個城市間的交通情況，魯川想從其中某一個城市出發(fā)直達(dá)另一個城市，他可以有幾種選擇？ 如果他想從某一個城市出發(fā)，先經(jīng)過一個城市，再到達(dá)另外一個城市，他又有幾種選擇？ 【解】　從某城市出發(fā)直接到達(dá)另一城市的走法可以表示為 　 A　B　C M＝. 其中第i行第j列的元素表示的第i個城市到第j個城市的直達(dá)交通情況． 從某城市出發(fā)，先經(jīng)過一個城市，再到達(dá)另外一個城市的走法可以表示為 　 A　B　C N＝ 其中第i行第j列的元素表示從第i個城市出發(fā)途徑另外一個城到達(dá)第j個城的走法種類． 5．某運(yùn)動服銷售店經(jīng)銷A，B，C，D四種品牌的運(yùn)動服，其尺寸有S(小號)，M(中號)，L(大號)，XL(特大號)四種，一天內(nèi)，該店的銷售情況如下表所示(單位：件)： 　品牌 型號　　 A B C D S 3 2 0 1 M 5 3 4 3 L 2 4 5 5 XL 1 0 1 1 假設(shè)不同品牌的運(yùn)動服的平均利潤是A為20元/件，B為15元/件，C為30元/件，D為25元/件，求S號的運(yùn)動服在這天獲得的總利潤是多少？ 【解】　S號運(yùn)動服的銷售量是，不同品牌的平均利潤是，于是 ＝＝， 故S號運(yùn)動服在這天獲得的總利潤是115元． 6．已知盒子A中裝有4只大小和重量相同的小球，其中2只黑色的，2只白色的；盒子B中裝有5只大小和重量相同的小球，其中3只黑色的，2只白色的．假定A，B兩個盒子很難分辨，而且可以任取一個，現(xiàn)在要求先取一個盒子，那么從中摸到一只白色小球的概率有多大？ 【解】　不妨設(shè)摸到黑色小球的可能性為X，摸到白色小球的可能性為Y，取出一個盒子的概率可以表示為M＝，從兩個盒子中摸到一只黑色小球(X)和一只白色小球(Y)的概率可以用矩陣表示為 N＝，于是先取一個盒子，再從里面摸到一只黑色小球或白色小球的概率可由矩陣運(yùn)算得＝， 因此，先取一個盒子，從中摸到一只白色小球的概率為. 7．研究某城市的天氣變化趨勢，得到如下結(jié)論：若今天晴，則明天晴的概率為0.8，若今天陰，則明天晴的概率為0.4，如果該地區(qū)4月20日清晨天氣預(yù)報(bào)當(dāng)天晴的概率為0.6. (1)4月21日為晴天的概率是多少？ (2)5月1日為晴天的概率是多少？ 【解】　天氣變化情況如圖所示： 天氣變化的轉(zhuǎn)移矩陣為M＝，今天天氣情況可用向量β＝表示． 第n天與第n＋1天的天氣關(guān)系可表示為 (1)4月21日的天氣情況為 Mβ＝＝， 即4月21日為晴天的概率是0.64. (2)矩陣M的特征多項(xiàng)式為 f(λ)＝ ＝λ2－1.4λ＋0.4， 由f(λ)＝0解得λ1＝0.4，λ2＝1. 當(dāng)λ1＝0.4時，代入特征方程 解出特征向量α1＝； 當(dāng)λ2＝1時，代入特征方程 解出特征向量α2＝； 由β＝mα1＋nα2， 即＝m＋n， 解得 M11β＝－(0.4)11＋111＝≈， 即5月1日為晴天的概率約為. 8．工業(yè)發(fā)展時常伴有環(huán)境污染，怎樣減少甚至消除環(huán)境污染是很重要的問題．某研究機(jī)構(gòu)提出了有關(guān)污染和工業(yè)發(fā)展的工業(yè)增長模型．設(shè)P是目前的污染程度，D是目前的工業(yè)發(fā)展水平，P1和D1分別是5年以后的污染程度和工業(yè)發(fā)展水平．在許多發(fā)展中國家，工業(yè)發(fā)展模型實(shí)際上是：P1＝P＋2D，D1＝2P＋D. (1)設(shè)P2和D2分別是第二個5年以后的污染程度和工業(yè)發(fā)展水平，試求P2、D2與P、D的關(guān)系式； (2)某發(fā)展中國家目前的污染程度和工業(yè)發(fā)展水平都是1，設(shè)第n個5年以后，污染程度和工業(yè)發(fā)展水平分別為Pn和Dn，試求Pn、Dn，并說明污染程度和工業(yè)發(fā)展的趨勢． 【解】　(1)∵P1＝P＋2D，D1＝2P＋D， ∴＝. 設(shè)A＝， ∴＝A＝A2 ＝ ＝. ∴P2＝5P＋4D，D2＝4P＋5D. (2)＝An＝An， 矩陣A的特征值為λ1＝3，λ2＝－1， 對應(yīng)的一個特征向量分別為 α1＝，α2＝， ∴＝λα1＝3n. λ1＝3說明污染程度和工業(yè)發(fā)展水平同時以3倍的速度增加，高水平工業(yè)能提高人們的生活水平，但處理不當(dāng)，隨之加重的環(huán)境污染會造成不堪設(shè)想的后果，這個結(jié)果告誡人們在發(fā)展工業(yè)的同時一定要注意減輕污染，治理污染．