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2019年高中數(shù)學(xué) 第一章 推理與證明綜合檢測(cè) 北師大版選修2-2
一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)
1．“蛇、鱷魚、海龜、蜥蜴等爬行動(dòng)物是用肺呼吸的，所以所有的爬行動(dòng)物都是用肺呼吸的．”此推理方法是( )
A．演繹推理 B．歸納推理
C．類比推理 D．以上都不對(duì)
【解析】 由部分推斷全體，是歸納推理．
【答案】 B
2．在數(shù)列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…中，第25項(xiàng)為( )
A．25 B．6 C．7 D．8
【解析】 將數(shù)列分組得(1)，(2,2)，(3,3,3)，(4,4,4,4)，…，這樣每一組的個(gè)數(shù)為1,2,3,4，…；其和為，令n＝6，則有＝21，所以第25項(xiàng)在第7組，因此第25項(xiàng)是7.
【答案】 C
3．證明<1＋＋＋＋…＋
1)，當(dāng)n＝2時(shí)，中間式等于( )
A．1 B．1＋
C．1＋＋ D．1＋＋＋
【解析】 中間的式子共有2n項(xiàng)，故n＝2時(shí)，中間的式子等于1＋＋＋.
【答案】 D
4．否定結(jié)論“至多有兩個(gè)解”的說法中，正確的是( )
A．有一個(gè)解 B．有兩個(gè)解
C．至少有三個(gè)解 D．至少有兩個(gè)解
【解析】 “至多有兩個(gè)解”包含有兩解，僅有一解，和無解，故其否定為至少有三個(gè)解．
【答案】 C
5．已知c>1，a＝－，b＝－，則正確的結(jié)論是( )
A．a(chǎn)>b B．a(chǎn)0，a＋c>0，b＋c>0，則f(a)＋f(b)＋f(c)的值一定( )
A．大于零 B．等于零
C．小于零 D．正負(fù)都可能
【解析】 f(x)＝x3＋x是奇函數(shù)且在R上是增函數(shù)，由a＋b>0，得a>－b，故f(a)>f(－b)，可得f(a)＋f(b)>0.同理f(a)＋f(c)>0，f(b)＋f(c)>0.所以f(a)＋f(b)＋f(c)>0.
【答案】 A
9．(xx江西高考)觀察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，則a10＋b10＝( )
A．28 B．76
C．123 D．199
【解析】 記an＋bn＝f(n)，則f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通過觀察不難發(fā)現(xiàn)f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*，n≥3)，則f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a10＋b10＝123.
【答案】 C
10．?dāng)?shù)列{an}滿足a1＝，an＋1＝1－，則a2 013等于( )
A. B．－1
C．2 D．3
【解析】 ∵a1＝，an＋1＝1－，
∴a2＝1－＝－1，
a3＝1－＝2，
a4＝1－＝，
a5＝1－＝－1，
a6＝1－＝2，
∴an＋3k＝an(n∈N*，k∈N*)
∴a2 013＝a3＋3670＝a3＝2.
【答案】 C
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在橫線上)
11．一個(gè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)為，，，，，….則猜想它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝________.
【解析】 數(shù)列可寫成，，，，，….猜想通項(xiàng)公式an＝.
【答案】
12．觀察下列的圖形中小正方形的個(gè)數(shù)，則第6個(gè)圖中有________個(gè)小正方形，第n個(gè)圖中有________個(gè)小正方形．
圖1
【解析】
根據(jù)規(guī)律和第6個(gè)圖形中有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.
第n個(gè)圖形中有1＋2＋…＋(n＋1)＝.
【答案】 28
13．用反證法證明命題“若x2－(a＋b)x＋ab≠0，則x≠a且x≠b”時(shí)，應(yīng)假設(shè)為________．
【解析】 就x是否等于a，b而言有四種情形：①x＝a，x≠b；②x≠a，x＝b；③x＝a，x＝b；④x≠a，x≠b.
故應(yīng)假設(shè)x＝a或x＝b.
【答案】 x＝a或x＝b
14．已知等差數(shù)列{an}中，有＝，則在等比數(shù)列{bn}中，會(huì)有類似的結(jié)論：________________.
【解析】 根據(jù)等差、等比數(shù)列中運(yùn)算的性質(zhì)知：
在等比數(shù)列{bn}中會(huì)有
＝.
【答案】?。?
三、解答題(本大題共4小題，共50分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
15．(本小題滿分12分)用反證法證明：如果x>，那么x2＋2x－1≠0.
【證明】 假設(shè)x2＋2x－1＝0，
則解得x1＝－1，x2＝－－1.
又x1<，x2<，
這與已知x>矛盾．
故假設(shè)不成立，x2＋2x－1≠0成立．
16．(本小題滿分12分)試比較2n與n2(n∈N*)的大小關(guān)系，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．
【證明】 當(dāng)n＝1時(shí)，21>12，即2n>n2，
當(dāng)n＝2時(shí)，22＝22，即2n＝n2，
當(dāng)n＝3時(shí)，23<32，即2n52，即2n>n2，
當(dāng)n＝6時(shí)，26>62，即2n>n2，
…
猜測(cè)，當(dāng)n≥5時(shí)，2n>n2.
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明猜測(cè)成立．
①當(dāng)n＝5時(shí)，由上可知猜測(cè)成立．
②設(shè)n＝k(k≥5)時(shí)，命題成立，即2k>k2.
∴2k＋1＝22k>2k2＝k2＋k2>k2＋(2k＋1)
＝(k＋1)2，即n＝k＋1時(shí)命題也成立．
由①和②可得，n≥5時(shí)，2n>n2(n∈N*)．
17．(本小題滿分12分)某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史，圖2為她們刺繡中最簡(jiǎn)單的四個(gè)圖案，這些圖案都是由小正方形構(gòu)成，小正方形數(shù)越多刺繡越漂亮．現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同)，設(shè)第n個(gè)圖形包含f(n)個(gè)小正方形．
圖2
(1)求出f(5)的值；
(2)利用合情推理的“歸納推理思想”歸納出f(n＋1)與f(n)之間的關(guān)系式，并根據(jù)你得到的關(guān)系式求出f(n)的表達(dá)式；
(3)求＋＋＋…＋的值．
【解】 (1)f(5)＝41.
(2)因?yàn)閒(2)－f(1)＝4＝41，
f(3)－f(2)＝8＝42，
f(4)－f(3)＝12＝43，
f(5)－f(4)＝16＝44，
…
由以上規(guī)律，可得出f(n＋1)－f(n)＝4n，
因?yàn)閒(n＋1)－f(n)＝4n，所以f(n＋1)＝f(n)＋4n，所以f(n)＝f(n－1)＋4(n－1)＝f(n－2)＋4(n－1)＋4(n－2)＝f(n－3)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)
＝…
＝f[n－(n－1)]＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＋…＋4[n－(n－1)]
＝2n2－2n＋1.
(3)當(dāng)n≥2時(shí)，＝＝(－)，
所以＋＋＋…＋
＝1＋(1－＋－＋－＋…＋－)
＝1＋(1－)＝－.
18．(本小題滿分14分)已知a、b、c＞0，求證：a3＋b3＋c3≥(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)．
【證明】 ∵a、b、c＞0，
∴a2＋b2≥2ab，∴(a2＋b2)(a＋b)≥2ab(a＋b)，
∴a3＋b3＋a2b＋ab2≥2ab(a＋b)＝2a2b＋2ab2，
∴a3＋b3≥a2b＋ab2.
同理，b3＋c3≥b2c＋bc2，a3＋c3≥a2c＋ac2，
將三式相加得，2(a3＋b3＋c3)≥a2b＋ab2＋b2c＋bc2＋a2c＋ac2.
∴3(a3＋b3＋c3)≥(a3＋a2b＋a2c)＋(b3＋b2a＋b2c)＋(c3＋c2a＋c2b)＝(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)．
∴a3＋b3＋c3≥(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)．
2019年高中數(shù)學(xué) 第一章 推理與證明綜合檢測(cè) 北師大版選修2-2.doc
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