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2019年高中數(shù)學(xué) 1.3.2 極大值與極小值課后知能檢測 蘇教版選修2-2
一、填空題
1．(xx廣州高二檢測)函數(shù)f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________處取得極小值．
【解析】 由題意得f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．當(dāng)x<0時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)0
2時(shí)，f′(x)>0.故當(dāng)x＝2時(shí)取得極小值．
【答案】 2
2．若函數(shù)f(x)＝x2x在x0處有極值，則x0＝________．
【解析】 f′(x)＝2x＋x2xln 2＝2x(1＋xln 2)，
由已知f′(x0)＝0，∴2x0(1＋x0ln 2)＝0，
即1＋x0ln 2＝0.∴x0＝－.
【答案】?。?
3．若函數(shù)f(x)＝在x＝1處取極值，則a＝________．
【解析】 由f′(x)＝＝0，
∴x2＋2x－a＝0，x≠－1，
又f(x)在x＝1處取極值，
∴x＝1是x2＋2x－a＝0的根，∴a＝3.
【答案】 3
4．(xx杭州高二檢測)設(shè)a∈R，若函數(shù)y＝ex－ax，x∈R有大于零的極值點(diǎn)，則a的取值范圍為________．
【解析】 y′＝ex－a，令y′＝0得x＝ln a，
令ln a＞0，則a＞1.
【答案】 (1，＋∞)
5．若函數(shù)y＝－x3＋6x2＋m的極大值為13，則實(shí)數(shù)m等于________．
【解析】 y′＝－3x2＋12x＝－3x(x－4)．
令y′＝0得x1＝0，x2＝4.
x，y′，y之間的關(guān)系如下表
x
(－∞，0)
0
(0，4)
4
(4，＋∞)
y′
－
0
＋
0
－
y
極小
極大
由表可知y極大＝f(4)＝32＋m＝13.
∴m＝－19.
【答案】?。?9
6．(xx連云港高二檢測)已知函數(shù)f(x)＝x3＋(3－5cos α)x2－3x在x＝1處有極值，則cos 2α＝________．
【解析】 ∵f′(x)＝3x2＋2(3－5cos α)x－3，
且f(x)在x＝1處有極值．
∴f′(1)＝3＋2(3－5cos α)－3＝0，∴cos α＝，
因此cos 2α＝2cos2α－1＝－.
【答案】?。?
7．已知函數(shù)f(x)＝x3－ax2＋3ax＋1在區(qū)間(－∞，＋∞)內(nèi)既有極大值，又有極小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
【解析】 依題意，f′(x)＝3x2－2ax＋3a＝0有兩個(gè)不同實(shí)根，
∴Δ＝(－2a)2－433a＞0，
解得a＜0或a＞9.
【答案】 (－∞，0)∪(9，＋∞)
8．函數(shù)f(x)＝aln x＋bx2＋3x的極值點(diǎn)為x1＝1，x2＝2，則a＋b＝________．
【解析】 f′(x)＝＋2bx＋3＝，
∵函數(shù)的極值點(diǎn)為x1＝1，x2＝2，
∴x1＝1，x2＝2是方程f′(x)＝＝0的兩根，
即為2bx2＋3x＋a＝0的兩根，
∴由根與系數(shù)的關(guān)系知
解得故a＋b＝－.
【答案】?。?
二、解答題
9．設(shè)函數(shù)f(x)＝kx3－3x2＋1(k＞0)．
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若函數(shù)f(x)的極小值大于0，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．
【解】 (1)f′(x)＝3kx2－6x＝3kx(x－)．
∵k＞0，令f′(x)＞0，得x＞或x＜0；令f′(x)＜0，得0＜x＜.
∴f(x)的增區(qū)間是(－∞，0)與(，＋∞)；減區(qū)間是(0，)．
(2)由(1)知，f(x)的極小值f()＝－＋1＝1－，
依題意，1－＞0，∴k＞2.
故實(shí)數(shù)k的取值范圍是(2，＋∞)．
10．設(shè)函數(shù)f(x)＝x2ex－1＋ax3＋bx2，且x＝－2和x＝1為f(x)的極值點(diǎn)．
(1)求實(shí)數(shù)a和b的值；
(2)討論f(x)的單調(diào)性．
【解】 (1)因?yàn)閒′(x)＝ex－1(2x＋x2)＋3ax2＋2bx＝xex－1(x＋2)＋x(3ax＋2b)，
又x＝－2和x＝1為f(x)的極值點(diǎn)，
所以f′(－2)＝f′(1)＝0，
因此
解方程組得a＝－，b＝－1.
(2)因?yàn)閍＝－，b＝－1.
所以f′(x)＝x(x＋2)(ex－1－1)．
令f′(x)＝0，
解得x1＝－2，x2＝0，x3＝1.
因?yàn)楫?dāng)x∈(－∞，－2)∪(0，1)時(shí)，f′(x)＜0；
當(dāng)x∈(－2，0)∪(1，＋∞)時(shí)，f′(x)＞0.
所以f(x)在(－2，0)和(1，＋∞)上是單調(diào)遞增的；在(－∞，－2)和(0，1)上是單調(diào)遞減的．
11．(xx重慶高考)設(shè)f(x)＝aln x＋＋x＋1，其中a∈R，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線垂直于y軸．
(1)求a的值；
(2)求函數(shù)f(x)的極值．
【解】 (1)因?yàn)閒(x)＝aln x＋＋x＋1，
故f′(x)＝－＋.
由于曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線垂直于y軸，故該切線斜率為0，即f′(1)＝0，從而a－＋＝0，解得a＝－1.
(2)由(1)知f(x)＝－ln x＋＋x＋1(x＞0)，
f′(x)＝－－＋＝
＝.
令f′(x)＝0，解得x1＝1，x2＝－(因?yàn)閤2＝－不在定義域內(nèi)，舍去)．
當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，f′(x)＜0，故f(x)在(0，1)上為減函數(shù)；
當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)＞0，故f(x)在(1，＋∞)上為增函數(shù)．
故f(x)在x＝1處取得極小值f(1)＝3.
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