自動(dòng)控制原理潘豐機(jī)械工業(yè)出版社習(xí)題及詳細(xì)案答docx.docx

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【教材習(xí)題及解答】 4-1 【答】所謂根軌跡，是指系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的某一參量從零變化到無窮時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程式的根在s平面上變化而形成的軌跡。 根軌跡反映了閉環(huán)系統(tǒng)特征根在s平面上的位置以及變化情況，所以應(yīng)用根軌跡可以直觀地分析參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的影響，以及要滿足系統(tǒng)動(dòng)態(tài)要求，應(yīng)如何配置系統(tǒng)的開環(huán)零極點(diǎn)，獲得期望的根軌跡走向與分布。 4-2【答】運(yùn)用相角條件可以確定s平面上的點(diǎn)是否在根軌跡上；運(yùn)用幅值條件可以確定根軌跡上的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)值。 4-3【答】考察開環(huán)放大系數(shù)或根軌跡增益變化時(shí)得到的閉環(huán)特征根移動(dòng)軌跡稱為常規(guī)根軌跡。除開環(huán)放大系數(shù)或根軌跡增益變化之外的根軌跡稱為廣義根軌跡，如系統(tǒng)的參數(shù)根軌跡、正反饋系統(tǒng)根軌跡和零度根軌跡等。 繪制參數(shù)根軌跡須通過閉環(huán)特征方程式的等效變換，將要考察的參數(shù)變換到開環(huán)傳遞函數(shù)中開環(huán)放大系數(shù)或根軌跡增益的位置上，才可應(yīng)用根軌跡繪制規(guī)則繪制參數(shù)變化時(shí)的根軌跡圖。 正反饋系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程1－G(s)H(s)=0與負(fù)反饋系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程1+G(s)H(s)=0存在一個(gè)符號(hào)差別。因此，正反饋系統(tǒng)的幅值條件與負(fù)反饋系統(tǒng)的幅值條件一致，而正反饋系統(tǒng)的相角條件與負(fù)反饋系統(tǒng)的相角條件反向。負(fù)反饋系統(tǒng)的相角條件（p+2kp）是180根軌跡，正反饋系統(tǒng)的相角條件（0+2kp）是0根軌跡。因此，繪制正反饋系統(tǒng)的根軌跡時(shí)，凡是與相角有關(guān)的繪制法則，如實(shí)軸上的根軌跡，根軌跡漸近線與實(shí)軸的夾角，根軌跡出射角與入射角等，都要變p+2kp角度為0+2kp。 4-4【答】由于開環(huán)零極點(diǎn)的分布直接影響閉環(huán)根軌跡的形狀和走向，所以增加開環(huán)零極點(diǎn)將使根軌跡的形狀和走向發(fā)生改變，從而使系統(tǒng)性能也隨之發(fā)生變化。 一般來說，增加合適的開環(huán)零點(diǎn)，可使閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡產(chǎn)生向左變化的趨勢，從而改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性和快速性。增加開環(huán)極點(diǎn)時(shí)，增加了根軌跡的條數(shù)，改變了根軌跡漸近線的方向，可使閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡產(chǎn)生向右變化的趨勢，削弱系統(tǒng)的穩(wěn)定性和快速性。 增加開環(huán)零極點(diǎn)，都將改變根軌跡漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)與夾角，可能改變根軌跡在實(shí)軸上的分布。 4-5 【解】(1) 將代入系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)有：，滿足根軌跡的相角條件，故是該根軌跡上的點(diǎn)。 當(dāng)點(diǎn)在根軌跡上時(shí)，有。即 于是，可得。 (2) 系統(tǒng)的特征方程為，由勞斯表 易得使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的K*值的范圍為-8 < K* < 90。 4-6【答案】 (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) 圖4-10 開環(huán)傳遞函數(shù)根軌跡圖 4-7 【解】(1) ，繪制步驟如下： 1) 該系統(tǒng)有3個(gè)開環(huán)極點(diǎn)，無開環(huán)零點(diǎn)，分別為p1＝-0.2，p2＝-0.5，p3＝-1。 2) 系統(tǒng)有3條根軌跡分支，均趨向于無窮遠(yuǎn)處。 3) 實(shí)軸上(-∞,-1]和[-0.5,-0.2]區(qū)域?yàn)楦壽E。 4) 由于n-m＝3，故系統(tǒng)有3條根軌跡漸近線，其傾角和起點(diǎn)坐標(biāo)分別為： 5) 確定根軌跡的分離點(diǎn)。 根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)表達(dá)式，有，，代入方程，整理得到 求解上述方程，得到 ， 由于s2在根軌跡[-0.5, -0.2]上，故取分離點(diǎn)坐標(biāo)為。 6) 確定根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。 由系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，可得對(duì)應(yīng)的閉環(huán)特征方程為 將s＝j(luò)ω代入上式，整理得到 分別令上式中的實(shí)部和虛部為零，即 解得ω＝0.89，K*＝1.26。 系統(tǒng)的完整根軌跡如圖4-11所示。 圖4-11 題4-7(1)系統(tǒng)的根軌跡圖 (2) ，繪制步驟如下： 1) 該系統(tǒng)有2個(gè)開環(huán)極點(diǎn)，1個(gè)開環(huán)零點(diǎn)，分別為p1,2＝-1j3，z1＝-2。 2) 系統(tǒng)有2條根軌跡分支，一條終止于有限開環(huán)零點(diǎn)z1＝-2，另一條趨向于無窮遠(yuǎn)處。 3) 實(shí)軸上(-∞,-2]區(qū)域?yàn)楦壽E。 4) 由于n-m＝1，故系統(tǒng)只有1條根軌跡漸近線，其傾角和起點(diǎn)坐標(biāo)分別為： 5) 確定根軌跡的分離點(diǎn)或會(huì)合點(diǎn)。 根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)表達(dá)式，有，，代入方程，整理得到 求解上述方程，得到 ， 由于s1在根軌跡(-∞,-2]上，故取分離點(diǎn)坐標(biāo)為。 6) 確定根軌跡的出射角。 由零、極點(diǎn)分布位置及出射角計(jì)算公式，得到點(diǎn)p1處的出射角為 根據(jù)對(duì)稱性，點(diǎn)p2處的出射角為-161.57。 系統(tǒng)的完整根軌跡如圖4-12所示。 圖4-12 題4-7(2)系統(tǒng)的根軌跡圖 (3) ，繪制步驟如下： 1) 該系統(tǒng)有3個(gè)開環(huán)極點(diǎn)，1個(gè)開環(huán)零點(diǎn)，分別為p1＝0，p2＝-2，p3＝-3，z1＝-5。 2) 系統(tǒng)有3條根軌跡分支，其中一條終止于有限開環(huán)零點(diǎn)z1＝-5處，另兩條則趨向于無窮遠(yuǎn)處。 3) 實(shí)軸上[-5,-3]和[-2,0]區(qū)域?yàn)楦壽E。 4) 由于n-m＝2，故系統(tǒng)有2條根軌跡漸近線，其與實(shí)軸的交角和交點(diǎn)分別為： 5) 確定根軌跡的分離點(diǎn)。 根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)表達(dá)式，有，，代入方程，整理得到 求解上述方程，得到 ，， 由于s3在根軌跡[-2,0]上，故取分離點(diǎn)坐標(biāo)為。 系統(tǒng)的完整根軌跡如圖4-13所示。 圖4-13 題4-7(3)系統(tǒng)的根軌跡圖 4-8【證】設(shè)s為系統(tǒng)根軌跡上的一點(diǎn)，則根據(jù)相角條件有 然后，將s＝σ＋jω代入上式，得到 即 移項(xiàng)，得 對(duì)上式兩邊取正切，可得 整理可得 可見，這是一個(gè)以（-6,0）為圓心，以為半徑的圓方程。即證明該系統(tǒng)的復(fù)數(shù)根軌跡部分為一圓，其圓心坐標(biāo)為（-6,0），半徑為。 4-9【解】K*＝1時(shí)，系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為 即 則以T為參變量時(shí)的等效開環(huán)傳遞函數(shù)為 以下繪制以T為參變量時(shí)的系統(tǒng)根軌跡： 1) 等效開環(huán)傳遞函數(shù)有3個(gè)開環(huán)極點(diǎn)，無開環(huán)零點(diǎn)，即p1＝0，p2,3＝-1。 2) 新系統(tǒng)具有3條根軌跡，均終止于無窮遠(yuǎn)處。 3) 實(shí)軸上的(-∞,-1]和[-1,0]均為根軌跡區(qū)域。 4) 新系統(tǒng)有3條根軌跡漸近線，與實(shí)軸正方向的夾角分別為和，交點(diǎn)為 5) 根軌跡的分離點(diǎn) 根據(jù)等效開環(huán)傳遞函數(shù)的表達(dá)式，有，，于是 解得s1＝-1，s2＝-1/3。顯然，分離點(diǎn)坐標(biāo)為d＝-1/3。 6) 根軌跡與虛軸的交點(diǎn) 以T為參變量時(shí)，系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為 將s＝j(luò)ω代入上式，并令實(shí)部和虛部分別為零，得到 求解上述方程組，得到解為 根據(jù)以上信息，繪制的根軌跡如圖4-14所示。 圖4-14 題4-9的參數(shù)根軌跡 4-10 圖4-15 題4-10的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 【解】系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為 則以τ為參變量時(shí)的等效開環(huán)傳遞函數(shù)為 以下繪制以τ為參變量時(shí)的系統(tǒng)根軌跡： 1) 等效開環(huán)傳遞函數(shù)有2個(gè)開環(huán)極點(diǎn)和1個(gè)開環(huán)零點(diǎn)，即p1,2＝-1j3，z1＝0。 2) 新系統(tǒng)具有2條根軌跡，一條終止于z1＝0，另一條終止于無窮遠(yuǎn)處。 3) 實(shí)軸上的(-∞,0]為根軌跡區(qū)域。 4) 新系統(tǒng)有2條根軌跡漸近線，與實(shí)軸正方向的夾角分別為和，交點(diǎn)為 5) 根軌跡的匯合點(diǎn) 根據(jù)等效開環(huán)傳遞函數(shù)的表達(dá)式，有，，于是 解得。顯然，匯合點(diǎn)坐標(biāo)為d＝-3.16。 6) 根軌跡的出射角 ， 根據(jù)以上信息，繪制的參數(shù)根軌跡如圖4-16所示。 圖4-16 題4-10的系統(tǒng)根軌跡 4-11【解】（1）確定滿足條件的極點(diǎn)容許區(qū)域。 由題意，及關(guān)系式，可得。根據(jù)，可得阻尼角。 又由，及（為極點(diǎn)實(shí)部），可知。 因此，極點(diǎn)容許區(qū)域如圖4-17中的陰影區(qū)所示。 圖4-17 極點(diǎn)容許區(qū)域 （2）確定根軌跡與容許區(qū)域邊界交點(diǎn)處的K*值。 用幅值條件不難確定實(shí)軸根軌跡與垂線s=-0.4375交點(diǎn)處的K*值為0.684；復(fù)平面上根軌跡與扇形區(qū)邊界交點(diǎn)－1j1.046處的K*值為2.094，故滿足條件的K*值范圍為 0.684 < K* < 2.094 4-12 【解】（1）由于已知開環(huán)傳遞函數(shù)是由兩個(gè)有限極點(diǎn)和一個(gè)有限零點(diǎn)組成的，故該系統(tǒng)根軌跡的復(fù)數(shù)部分為一圓，其中圓心在有限零點(diǎn)z1＝-6處，半徑為有限零點(diǎn)到分離點(diǎn)（會(huì)合點(diǎn)）的距離。 由開環(huán)傳遞函數(shù)知：，。代入方程，整理得到：。解得s1＝-1.76，s2＝-10.24。由圖可知，s1為分離點(diǎn)坐標(biāo)，s2為會(huì)合點(diǎn)坐標(biāo)。系統(tǒng)的根軌跡如圖4-18所示。 圖4-18 題4-12系統(tǒng)增加開環(huán)零點(diǎn)后的根軌跡圖 （2）根據(jù)幅值條件，可知： 分離點(diǎn)s1＝-1.76對(duì)應(yīng)的開環(huán)根軌跡增益為 會(huì)合點(diǎn)s2＝-10.24對(duì)應(yīng)的開環(huán)根軌跡增益為 由根軌跡圖可知，當(dāng)0＜K*＜0.515時(shí)，系統(tǒng)有兩個(gè)相異的負(fù)實(shí)根，此時(shí)系統(tǒng)處于過阻尼狀態(tài)，單位階躍響應(yīng)為非周期過程；當(dāng)0.515＜K*＜17.485時(shí)，系統(tǒng)有一對(duì)負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)根，此時(shí)系統(tǒng)處于欠阻尼狀態(tài)，單位階躍響應(yīng)為衰減振蕩過程；當(dāng)K*＞17.485時(shí)，系統(tǒng)又具有兩個(gè)相異的負(fù)實(shí)根，系統(tǒng)回到過阻尼狀態(tài)；當(dāng)K*＝0.515或17.485時(shí)，系統(tǒng)有兩個(gè)相等的負(fù)實(shí)根，此時(shí)系統(tǒng)處于臨界阻尼狀態(tài)，單位階躍響應(yīng)為非周期過程，響應(yīng)速度較過阻尼狀態(tài)快。 （3）過坐標(biāo)原點(diǎn)作根軌跡圓的切線，切點(diǎn)為A，如圖4-18所示。由關(guān)系式可知，該切線與負(fù)實(shí)軸夾角的余弦就是所要求的系統(tǒng)最小阻尼比，此時(shí) 相應(yīng)的A點(diǎn)坐標(biāo)為-3+3j。根據(jù)對(duì)稱性，系統(tǒng)最小阻尼比所對(duì)應(yīng)的閉環(huán)極點(diǎn)為-33j。 由幅值條件易知，A點(diǎn)處的開環(huán)根軌跡增益為 因此，系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 單位階躍輸入時(shí)，有，因此，系統(tǒng)階躍響應(yīng)的拉氏變換為 對(duì)上式求拉氏反變換，得到 圖4-19為該系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線。由圖可見，在系統(tǒng)最小阻尼比時(shí)，系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)具有較好的平穩(wěn)性和快速性。 圖4-19 題4-12系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線 4-13 【解】（1）具體繪制步驟省略，得到的根軌跡如圖4-20所示。 圖4-20 題4-13系統(tǒng)的根軌跡圖 （2）經(jīng)計(jì)算根軌跡在實(shí)軸上的分離點(diǎn)坐標(biāo)為d＝-0.423，根軌跡與虛軸的交點(diǎn)為，對(duì)應(yīng)的臨界開環(huán)根軌跡增益為K*＝6。 當(dāng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過程為衰減振蕩形式時(shí)，說明系統(tǒng)處于欠阻尼工作狀態(tài)，此時(shí)系統(tǒng)有一對(duì)負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)。從根軌跡圖4-20可以看出，當(dāng)閉環(huán)極點(diǎn)位于從分離點(diǎn)到虛軸交點(diǎn)之間的根軌跡時(shí)，系統(tǒng)處于欠阻尼工作狀態(tài)。因此，只要求出分離點(diǎn)及虛軸交點(diǎn)處對(duì)應(yīng)的開環(huán)根軌跡增益，就能得到滿足題意的K*值范圍。 由幅值條件，可得分離點(diǎn)d處對(duì)應(yīng)的開環(huán)根軌跡增益為 因此，當(dāng)0.385< K*<6時(shí)，系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過程為衰減振蕩形式。 （3）顯然，當(dāng)K*＝6時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)呈等幅振蕩形式，對(duì)應(yīng)的振蕩頻率為。 （4）由題意，時(shí)，阻尼角。過坐標(biāo)原點(diǎn)作兩條與負(fù)實(shí)軸成60的射線，與根軌跡交于A、B兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)即為系統(tǒng)的閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)。于是，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為。 由于系統(tǒng)的n－m≥2，因此閉環(huán)極點(diǎn)之和應(yīng)等于開環(huán)極點(diǎn)之和，即 由此可得第三個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)為 根據(jù)幅值條件，這三個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的開環(huán)根軌跡增益為 由此可得系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 由于離虛軸的距離是離虛軸距離的7倍多，所以是系統(tǒng)的閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)。于是，可將此時(shí)的三階系統(tǒng)，即時(shí)的閉環(huán)系統(tǒng)近似為二階系統(tǒng)來處理。簡化后系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 由此可得，。單位階躍信號(hào)作用下的性能指標(biāo)為 由系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)知該系統(tǒng)為I型系統(tǒng)，故其靜態(tài)速度誤差系數(shù)為 因此，系統(tǒng)在單位斜坡輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差為 4-14【解】（1）正反饋系統(tǒng)的根軌跡（此時(shí)應(yīng)按零度根軌跡規(guī)則繪制） 1) 該系統(tǒng)有4個(gè)開環(huán)極點(diǎn)和1個(gè)開環(huán)零點(diǎn)，即p1,2＝0，p3＝-2和p4＝-4，z1＝-1。 2) 該系統(tǒng)有4條根軌跡分支，一條趨向于z1＝-1，其余三條均趨向于無窮遠(yuǎn)處。 3) 實(shí)軸上[-4,-2]、[-1,0]和[0,+∞)為根軌跡區(qū)域。 4) 由于n－m＝3，故系統(tǒng)有3條根軌跡漸近線，其與實(shí)軸的交角和交點(diǎn)分別為： 5) 根軌跡的分離點(diǎn)。 根據(jù)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的表達(dá)式，可知，。代入方程，整理得到 求解上述方程，得到方程的根為 s1＝0，s2＝－3.0837，s3,4＝－1.1248j0.6814 根據(jù)實(shí)軸上系統(tǒng)根軌跡的分布，所以分離點(diǎn)坐標(biāo)應(yīng)取d＝-3.0837。 正反饋系統(tǒng)的根軌跡如圖4-21(a)所示。 （2）負(fù)反饋系統(tǒng)的根軌跡（此時(shí)應(yīng)按常規(guī)根軌跡規(guī)則繪制） 1) 該系統(tǒng)有4個(gè)開環(huán)極點(diǎn)和1個(gè)開環(huán)零點(diǎn)，即p1,2＝0，p3＝-2和p4＝-4，z1＝-1。 2) 該系統(tǒng)有4條根軌跡分支，一條趨向于z1＝-1，其余三條均趨向于無窮遠(yuǎn)處。 3) 實(shí)軸上(-∞,-4]和[-2,-1]為根軌跡區(qū)域。 4) 由于n-m＝3，故系統(tǒng)有3條根軌跡漸近線，其與實(shí)軸的交角和交點(diǎn)分別為： 5) 根軌跡的分離點(diǎn)。 根據(jù)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的表達(dá)式，可知，。代入方程，整理得到 求解上述方程，得到方程的根為 s1＝0，s2＝-3.0837，s3,4＝-1.1248j0.6814 根據(jù)實(shí)軸上系統(tǒng)根軌跡的分布，所以分離點(diǎn)坐標(biāo)應(yīng)取d＝0。 6) 根軌跡與虛軸的交點(diǎn) 系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為 將s＝j(luò)ω代入上式，并令實(shí)部和虛部分別為零，得到 求解上述方程組，得到解為 負(fù)反饋系統(tǒng)的根軌跡如圖4-21(b)所示。 (a)正反饋系統(tǒng)根軌跡 (b)負(fù)反饋系統(tǒng)根軌跡 圖4-21 題4-14的系統(tǒng)根軌跡 4-15 【解】(1) 當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 于是，以Kt為參變量的等效開環(huán)傳遞函數(shù)為 繪制以Kt為參變量的根軌跡，如圖4-23所示。 圖4-23當(dāng)時(shí)的參數(shù)根軌跡圖 根據(jù)參變量的等效開環(huán)傳遞函數(shù)表達(dá)式，可知，。代入方程，整理得到分離點(diǎn)方程如下： 求解得到 根據(jù)實(shí)軸上系統(tǒng)根軌跡的分布，取分離點(diǎn)坐標(biāo)為d＝-6.28。此時(shí)，對(duì)應(yīng)的根軌跡增益為 在這種情況下，可以在0< Kt <0.7886范圍內(nèi)，通過改變Kt的值使系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)具有的最佳阻尼比。 (2) 當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 于是，以Ka為參變量的等效開環(huán)傳遞函數(shù)為 繪制以Ka為參變量的根軌跡，如圖4-24所示。 圖4-24當(dāng)時(shí)的參數(shù)根軌跡圖 這種情況下，由于Ka的值越大，系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)就越靠近虛軸，從而使系統(tǒng)的穩(wěn)定性越差，因此不能通過改變Ka的值來使系統(tǒng)的性能達(dá)到最佳。 (3) 當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 于是，以Ka為參變量的等效開環(huán)傳遞函數(shù)為 繪制以Ka為參變量的根軌跡，如圖4-25所示。 圖4-25當(dāng)時(shí)的參數(shù)根軌跡圖 這種情況下，也不能通過改變Ka的值來使系統(tǒng)的性能達(dá)到最佳。 綜上所述，應(yīng)選取第一種傳遞函數(shù)，即。 5-1 解：系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為 則，閉環(huán)頻率特性為 由線性系統(tǒng)頻率特性的特點(diǎn)和已知的輸入信號(hào)可得，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出分別為： (3) 根據(jù)線性系統(tǒng)疊加性有： 5-2 解：系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為 對(duì)應(yīng)的幅頻和相頻特性表達(dá)式分別為 由題設(shè)條件知，，。則： 解之得：。 5-3 解： 奈氏曲線起點(diǎn)坐標(biāo)為(∞，-90)，終點(diǎn)坐標(biāo)為(0，-180)，可知圖形位于第Ⅲ象限。如圖5-10(a)所示。 由傳遞函數(shù)知，該系統(tǒng)為典型Ⅰ型系統(tǒng)，當(dāng)時(shí)的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線分別如圖5-10(b)中的①和②所示。 圖5-10 題5-3（1）解答圖 奈氏曲線起點(diǎn)坐標(biāo)為(∞，-180)，終點(diǎn)坐標(biāo)為(0，-180) 系統(tǒng)相位 可見，時(shí)奈氏曲線位于第Ⅱ象限，時(shí)時(shí)奈氏曲線位于第Ⅲ象限。如圖5-11(a)(b)所示。由傳遞函數(shù)知該系統(tǒng)為典型Ⅱ型系統(tǒng)，兩種情況下的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線如圖5-11(c)(d)所示。 圖5-11 題5-3（2）解答圖 。奈氏曲線起點(diǎn)為(1,0)，終點(diǎn)為(,0) 系統(tǒng)相位為 可見，時(shí)奈氏曲線位于第Ⅰ象限，如圖5-12(a)中的①所示；時(shí)奈氏曲線位于第Ⅳ象限，如圖5-12(a)中的②所示。 時(shí)的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線如圖5-12 (b) 中的①所示；時(shí)的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線如圖5-12 (b) 中的②所示。 圖5-12 題5-3（3）解答圖 (4) 則， 奈氏曲線起點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)，終點(diǎn)坐標(biāo)為(1/T，-180) 系統(tǒng)相位為 可見，奈氏曲線位于第Ⅳ、Ⅲ象限，如圖5-13(a)所示。 由傳遞函數(shù)知該系統(tǒng)為非最小相位系統(tǒng)，Bode圖與第（3）題相同。 和時(shí)的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線分別如圖5-13 (b) 中的①和②所示。 圖5-13 題5-3（4）解答圖 奈氏曲線起點(diǎn)坐標(biāo)為(∞，-90)，終點(diǎn)坐標(biāo)為(0，-270) 因此，奈氏曲線位于第Ⅲ、Ⅱ象限，與負(fù)實(shí)軸有交點(diǎn)。 令： 則， 由此概略繪制奈氏圖如圖5-14(a)所示。 對(duì)數(shù)幅頻特性圖如圖5-14 (b)所示。 圖5-14 題5-3（5）解答圖 奈氏曲線起點(diǎn)坐標(biāo)為(∞，-180)，終點(diǎn)坐標(biāo)為(0，-360) 因此，奈氏曲線位于第Ⅲ、Ⅱ象限，與負(fù)實(shí)軸有交點(diǎn)。 令 則， 由此概略繪制奈氏圖如圖5-15(a)圖所示。 由此概略繪制對(duì)數(shù)幅頻特性圖如圖5-15 (b)圖所示。 圖5-15 題5-3（6）解答圖 5-4 解： 令 則， 由此概略繪制對(duì)數(shù)幅頻特性圖如圖5-17(a)圖所示。 令 則， 由此概略繪制對(duì)數(shù)幅頻特性圖如圖5-17(b)圖所示。 令 則， 令 則， 再設(shè) 則有， 由此概略繪制對(duì)數(shù)幅頻特性圖如圖5-17(c)圖所示。 圖5-17 題5-4解答圖 5-5 解： 則， ，則 且有兩個(gè)慣性環(huán)節(jié) 則， 且在處有兩個(gè)慣性環(huán)節(jié) 則， 則， 在處為振蕩環(huán)節(jié)，；在處為二階微分環(huán)節(jié)， 則， 由，在處有一振蕩環(huán)節(jié) 由 則， 在有兩個(gè)慣性環(huán)節(jié)，在處有一個(gè)慣性環(huán)節(jié) 則， 5-6解：由 奈氏曲線起點(diǎn)坐標(biāo)為(∞，-180)，終點(diǎn)坐標(biāo)為(0，-270) 令， 可知，在時(shí)，奈氏曲線與負(fù)實(shí)軸有交點(diǎn)，位于第Ⅲ、Ⅱ象限。 且此時(shí)，可判斷，奈氏圖如圖5-19(a)所示，作增補(bǔ)線，由奈氏判據(jù)可知系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。 在時(shí)，奈氏圖與負(fù)實(shí)軸無交點(diǎn)，位于Ⅱ象限，如圖5-19(b)所示，作增補(bǔ)線，由奈氏判據(jù)可知系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定。 圖5-19 習(xí)題5-6解答圖 5-7 解：奈氏判據(jù)的內(nèi)容是：如果系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中有P個(gè)不穩(wěn)定的極點(diǎn)（即[s]右半平面的極點(diǎn)），則當(dāng)ω=0→∞變化時(shí)，開環(huán)奈氏曲線逆時(shí)針方向包圍（-1, j0）點(diǎn)的圈數(shù)為N = P/2（即Z = 0）時(shí)系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定；否則，不穩(wěn)定。 對(duì)于(a)圖，P =1，N =1/2 = P/2，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定； 對(duì)于(b)圖，P =1，N = -1/2≠ P/2，系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定； 對(duì)于(c)圖，P =1，N = -1/2≠ P/2，系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定； 對(duì)于(d)圖，P =0，需做輔助線如圖5-21(d)， 則N = 0 = P/2，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定； 對(duì)于(e)圖，P =2，需做輔助線如圖5-21 (e)， 則 N = 1= P/2，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定； 對(duì)于(f)圖，P =0，需做輔助線如圖5-21 (f )， 則N = -1 ≠ P/2，系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定； 對(duì)于(g)圖，P =1， 則N = 0.5 = P/2，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定； 對(duì)于(h)圖， P =2， 則N = 1= P/2，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定； 對(duì)于(i)圖，P =0，需做輔助線如圖5-21 (i)， 則N+ = N-=1，N = N+ =N- =0 = P/2，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定； 對(duì)于(j)圖，P =1，需做輔助線如圖5-21(j)， 則N = -1≠P/2，系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定； 對(duì)于(k)圖，P =0，需做輔助線如圖5-21(k)， 則N = -1≠P/2，系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定； 對(duì)于(l)圖，P =2， 則N = 0≠ P/2，系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定； 圖5-21 習(xí)題5-7解答圖 5-8 解： 奈氏曲線起點(diǎn)坐標(biāo)為(∞，-90)，終點(diǎn)坐標(biāo)為(0，-270)，曲線位于第Ⅲ、Ⅱ象限，與負(fù)實(shí)軸有交點(diǎn)，如圖5-22所示。 令 (1)T=2時(shí)，, 根據(jù)奈氏判據(jù)，要使系統(tǒng)穩(wěn)定，奈氏曲線應(yīng)不包圍(-1, j0)點(diǎn)，即有： （2）時(shí), 根據(jù)奈氏判據(jù)，要使系統(tǒng)穩(wěn)定，奈氏曲線應(yīng)不包圍(-1, j0)點(diǎn)，即有： （3）同（2）方法可求出：, 根據(jù)奈氏判據(jù)，要使系統(tǒng)穩(wěn)定，奈氏曲線應(yīng)不包圍(-1, j0)點(diǎn)，即有： 或者 圖5-22 習(xí)題5-8解答圖 5-9 解：由圖知，開環(huán)奈氏曲線與負(fù)實(shí)軸有三個(gè)交點(diǎn)，設(shè)從左到右交點(diǎn)處相位截止頻率頻率分別為，系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)可寫為 由題設(shè)條件知： 當(dāng)取時(shí)， 若令，可得對(duì)應(yīng)的K值分別為 分別畫出時(shí)的奈氏圖，并作對(duì)應(yīng)的增補(bǔ)輔助線，如圖5-24所示。由奈氏判據(jù)可判斷： ，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。由此可得，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定時(shí)K的取值范圍是。 圖5-24 習(xí)題5-9解答圖 5-10 解：（1）對(duì)于(a)圖有，， 則 對(duì)于(b)圖有，且低頻段延長線與軸的交點(diǎn)頻率為，則有 對(duì)于(c)圖有，且低頻段與軸的交點(diǎn)頻率為 則， （2）對(duì)于(a)圖，由對(duì)應(yīng)傳遞函數(shù)知，相頻特性為 可見，時(shí)，。 由此可大致畫出相頻特性如圖5-26(a)所示。 再由得， 奈氏曲線起點(diǎn)坐標(biāo)（100,0），終點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-180)，由此可大致畫出系統(tǒng)奈氏圖如圖5-26(b)所示。 圖5-26 習(xí)題5-10（a）解答圖 對(duì)于(b)圖，由對(duì)應(yīng)傳遞函數(shù)知，該系統(tǒng)為典型Ⅱ型系統(tǒng)，相頻特性為 ，且 時(shí)，，由此可大致畫出其相頻特性如圖5-27(a)所示。 再由，奈氏曲線起點(diǎn)坐標(biāo)為（∞,-180），終點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-180)，且由相頻特性可知奈氏曲線位于第Ⅲ象限。由此可大致畫出其奈氏圖如圖5-27(b)所示。 圖5-27 習(xí)題5-10(b)解答圖 對(duì)于(c)圖，有對(duì)應(yīng)傳遞函數(shù)知，相頻特性為 且，即從的幾何中心穿過軸。由此可大致畫出其相頻特性如圖5-28(a)所示。 再由知 時(shí)， 奈氏曲線起點(diǎn)坐標(biāo)為（0,90），終點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-90)，且由相頻特性可知奈氏曲線位于第Ⅱ、Ⅴ象限。由此可大致畫出其奈氏圖如圖5-28(b)所示。 圖5-28 習(xí)題5-10(c)解答圖 5-11 解：（1）由相位裕量定義得 由 （2）由相位裕量定義得 由。 （3）由 令 由和得 5-12 解：（1）由低頻段延長線 由圖有， （2）該系統(tǒng)為最小相位系統(tǒng)，且 則，系統(tǒng)相位裕量為 ，可知系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。 （3）令 則， 系統(tǒng)幅值裕量為，。 5-13解：由結(jié)構(gòu)圖得，系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 第一種方法，用勞斯判據(jù)。系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為： 因方程中，，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。 第二種方法，用奈氏判據(jù)。 由 奈氏曲線起點(diǎn)坐標(biāo)為（∞,-90），終點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-270)，曲線位于第Ⅲ、Ⅱ象限。由此可大致畫出其奈氏圖如圖5-31所示。 令 則，。 可見，奈氏曲線包圍（-1,j0）點(diǎn)，而中不含[s]有半平面極點(diǎn)，即P =0，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。 圖5-31 習(xí)題5-13解答圖 5-14解：由教材5.3節(jié)圖5-29可知，延遲系統(tǒng)的奈氏曲線是一條繞坐標(biāo)原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的螺旋線。要使系統(tǒng)穩(wěn)定，則螺旋線應(yīng)不包圍(-1, j0)點(diǎn)，即對(duì)應(yīng)于最小的相位穿越頻率 (離原點(diǎn)最遠(yuǎn)的穿越頻率) ωx處應(yīng)有。 即 又由 可見，的減函數(shù)，所以系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)有。 5-15解：本系統(tǒng)含有延遲環(huán)節(jié)，奈氏曲線為螺旋線。 由可得 由可知，隨的增大幅值遞減，因此在系統(tǒng)穩(wěn)定的范圍內(nèi)，對(duì)應(yīng)最小穿越頻率處 K 值最大。系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時(shí)，在最小的處應(yīng)有 則，。 5-16 解：系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 對(duì)應(yīng)的相位為 在穿越頻率ωx處，令 系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時(shí)，其奈氏曲線必經(jīng)過(-1, j0)點(diǎn)，可令 將代入上式，可求得系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時(shí)Kh=1。 5-17 解：（1）根據(jù)開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性圖可知：K=10，ν=1。則系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 （2）根據(jù)開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性圖有： 則系統(tǒng)相位裕量為： 所以，系統(tǒng)穩(wěn)定。但由于相位裕量太小，系統(tǒng)仍不能穩(wěn)定工作。 將其對(duì)數(shù)幅頻特性向右平移10倍頻程后，各段斜率不變，幅值抬高，穩(wěn)態(tài)精度提高，抗干擾能力降低。中頻段ωc增大，快速性提高，但其斜率和中頻寬度都沒有改變，因此穩(wěn)定性沒有得到改善。 5-18 解：（1）根據(jù)已知的開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性圖可知： 圖a為Ⅱ型系統(tǒng)，低頻段延長線與ω軸交點(diǎn)頻率值為，則有： 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 系統(tǒng)的相位裕量為： 圖b為Ⅰ型系統(tǒng)，低頻段延長線與ω軸交點(diǎn)頻率值為K，則有： 。 則系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 系統(tǒng)的相位裕量為： （2）根據(jù)求得的開環(huán)傳遞函數(shù)可知 對(duì)(a)圖： 則，在作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為 對(duì)(b)圖： 則，在作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為 5-19 解：（1）根據(jù)的要求有： 由系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)知：該系統(tǒng)為Ⅰ型系統(tǒng)，且其幅頻Bode圖第一個(gè)轉(zhuǎn)折頻率 ，所以有：。 （2）該系統(tǒng)為Ⅰ型系統(tǒng)，。 5-20 解：（1）時(shí)，系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 根據(jù)穿越頻率的定義有 則，幅值裕量 （2）時(shí)，系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 由系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)，按照各轉(zhuǎn)折頻率其幅值可近似表示為 根據(jù)幅值截止頻率的定義有 則，系統(tǒng)相位裕量為 5-21 解：由題意得： 由Bode圖得： 所以，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為： 本系統(tǒng)為典型Ⅱ型系統(tǒng)，系統(tǒng)的靜態(tài)位置、速度、加速度誤差系數(shù)分別為： 所以，系統(tǒng)對(duì)階躍信號(hào)、斜坡信號(hào)的輸入，穩(wěn)態(tài)誤差為零；對(duì)單位加速度信號(hào)輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為： 本系統(tǒng)為三階型系統(tǒng)，時(shí)閉環(huán)極點(diǎn)為。不存在閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)，故按高階系統(tǒng)估算超調(diào)量和調(diào)節(jié)時(shí)間。 時(shí)系統(tǒng)的相位裕量為： 閉環(huán)諧振峰值為 對(duì)應(yīng)的超調(diào)量為 調(diào)節(jié)時(shí)間為 則， 6-1 解：（1）由傳遞函數(shù)知，該系統(tǒng)為Ⅰ型系統(tǒng)。 令，可得，原系統(tǒng)的相位裕量為 因此，可用串聯(lián)超前校正比較合適。 （2）設(shè)，并取 此時(shí)，近似有 或者由校正原理圖6-14可知 圖6-14 習(xí)題6-1圖 則：， 故，校正裝置傳遞函數(shù)為。 （3）校正后系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 由此可求得校正后系統(tǒng)的相位裕量為 滿足要求。 6-2 解：（1）由傳遞函數(shù)知，該系統(tǒng)為Ⅰ型系統(tǒng)。則由穩(wěn)態(tài)指標(biāo)要求有： 故，滿足穩(wěn)態(tài)性能的未校正系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為。 令，可得，原系統(tǒng)的相位裕量為 因此，選用串聯(lián)超前校正比較合適。 （2）設(shè)，并取。 根據(jù)，則有：，取α=5 按超前校正原理，應(yīng)有，此時(shí)，近似有 或者根據(jù)超前校正原理圖6-15 圖6-15 習(xí)題6-2解答圖 有： 則：， 故，校正裝置傳遞函數(shù)為。 （3）校正后系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 由此可求得校正后系統(tǒng)的相位裕量為 滿足要求。 6-3 解：(1) 滿足的原系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為。 其對(duì)數(shù)幅頻特性如圖6-16中所示。 圖6-16 習(xí)題6-3解答圖 由圖可見，，則 則校正前系統(tǒng)相位裕量為 可見原系統(tǒng)不穩(wěn)定，故選用串聯(lián)滯后校正。 (2) 設(shè)，并取 則校正后系統(tǒng)的相位裕量應(yīng)為： 。 令 解之得：（即通過計(jì)算法求得）。 原系統(tǒng)在處的幅值近似為： 則其對(duì)數(shù)幅值近似為： 或者由圖得： 選擇校正裝置的轉(zhuǎn)折頻率，則。 則，校正裝置的傳遞函數(shù)為 繪制對(duì)應(yīng)的對(duì)數(shù)頻率特性圖如圖6-16中所示。 (4) 指標(biāo)驗(yàn)算 校正后系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 繪制對(duì)應(yīng)的對(duì)數(shù)頻率特性圖如圖6-16中所示。 由此可求得校正后系統(tǒng)的相位裕量為 由圖可知，，滿足系統(tǒng)性能指標(biāo)的要求。 6-4 解：(1) ，滿足穩(wěn)態(tài)要求的原系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為。 其對(duì)數(shù)幅頻特性如圖6-17中所示。 圖6-17 習(xí)題6-4解答圖 由圖可見，，則 則校正前系統(tǒng)相位裕量為 可見原系統(tǒng)不穩(wěn)定，故選用串聯(lián)滯后校正。 (2) 設(shè)，取校正后系統(tǒng)截止頻率s-1 原系統(tǒng)在處的幅值近似為： 則，其對(duì)數(shù)幅值近似為： 或由圖得： 選取校正裝置的轉(zhuǎn)折頻率，則。 則，校正裝置的傳遞函數(shù)為 繪制對(duì)應(yīng)的對(duì)數(shù)頻率特性圖如圖6-17中所示。 (4) 指標(biāo)驗(yàn)算 校正后系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 繪制對(duì)應(yīng)的對(duì)數(shù)頻率特性圖如圖6-17中所示。 由此可求得校正后系統(tǒng)的相位裕量為 滿足要求。 6-5 設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 若要求校正后系統(tǒng)的開環(huán)增益不小于12，超調(diào)量小于，調(diào)節(jié)時(shí)間小于3s，試確定串聯(lián)滯后校正裝置。 參考答案：（方法同6-4） 6-6 參考答案：（采用期望頻率特性法，方法同例6-5） 6-7 解：（1）系統(tǒng)為標(biāo)準(zhǔn)Ⅰ型，，取K=256，則 用分段線性化法分析得， 原系統(tǒng)相位裕量為 系統(tǒng)不穩(wěn)定。 （2）用期望頻率特性法設(shè)計(jì)校正裝置 做原系統(tǒng)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線如圖6-18中的所示。 根據(jù)題意取，過做-20dB/dec直線段作為的中頻段，為使校正后系統(tǒng)保持K=256，使預(yù)期開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性與原系統(tǒng)在低頻段重合；為使校正裝置及校正后系統(tǒng)簡單，可使此在后的高頻段與平行或重合。 再由題意選取，則，期望特性中頻段兩端轉(zhuǎn)折頻率為 則，中頻寬度滿足一般設(shè)計(jì)要求。 從開始向左做-40dB/dec直線段與相交于；從開始向右做-40dB/dec直線段到，從處向右做-60dB/dec的直線。從而得到預(yù)期開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線如圖6-18中所示。對(duì)應(yīng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 圖6-18 題6-7解答圖 由可得對(duì)應(yīng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 由可得到，校正裝置對(duì)數(shù)幅頻特性曲線如圖6-18中的所示。 則，校正裝置傳遞函數(shù)為 （3）指標(biāo)校驗(yàn) 由和表達(dá)式得，校正后系統(tǒng)相位裕量為 滿足設(shè)計(jì)要求。 6-8 解：(1) 原系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為，Kv=K=200滿足穩(wěn)態(tài)要求。 其開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線如圖6-20中所示，由圖得。 圖6-20 題6-8解答圖 (2) 期望開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性的設(shè)計(jì) 把性能指標(biāo)，，代入公式 求校正后系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)指標(biāo)，并?。骸? 為滿足指標(biāo)要求，必須使校正后系統(tǒng)中頻段以穿過0dB線。可認(rèn)為期望頻率特性的規(guī)律為：→→→。 為使校正裝置簡單，過作直線，交于，并取，使校正后系統(tǒng)中頻寬度。相應(yīng)的相位裕量為。 過做的直線，交于。為使校正后系統(tǒng)簡單，且不影響原系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度和抗干擾能力，使校正后系統(tǒng)的低、高頻段均與原系統(tǒng)重合。 至此期望特性繪制完成，如圖6-20中所示。 由圖可得校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 (3) 確定校正環(huán)的開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性 由圖可見，反饋校正裝置只在的頻段內(nèi)起作用，此時(shí)由可得到此頻段內(nèi)校正環(huán)的開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性如圖；而在的頻段內(nèi)不起作用，因此，為了使校正裝置盡可能簡單，一般要求曲線在這兩個(gè)頻段內(nèi)，保持穿越斜率不變。由此可得到校正環(huán)的開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線，如圖6-20中所示。 由可得到校正環(huán)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 (4) 檢驗(yàn)校正環(huán)的穩(wěn)定性 檢驗(yàn)校正環(huán)的穩(wěn)定性主要就是檢驗(yàn)在處的相位裕量。 可見校正環(huán)穩(wěn)定。 在處的對(duì)數(shù)幅值 基本滿足的要求，說明誤差在允許的范圍之內(nèi)。 (5) 確定校正裝置傳遞函數(shù) 由圖6-19得 則， (5) 驗(yàn)算 有上述計(jì)算過程有 則 全部滿足系統(tǒng)性能指標(biāo)要求。 6-9 解：①比例控制器，②比例-微分（PD）控制器，③比例-積分（PI）控制器，④比例-積分-微分（PID）控制器，⑤比例校正裝置，⑥微分校正裝置，⑦檢測裝置，⑧按擾動(dòng)補(bǔ)償?shù)那梆佈b置，⑨按輸入補(bǔ)償?shù)那梆佈b置。 6-10 解：比較可知： （1）校正后低頻段斜率沒變但高度下降，所以K減小，穩(wěn)態(tài)精度降低。 （2）校正后中頻段斜率在之前由原來的，變?yōu)?，所以增大，減小，穩(wěn)定性提高；但，快速性變差。 （3）校正后高頻段衰減值增大，抗干擾能力提高。 6-11 解：（1）由 由 （2），如圖所示。 （3）由圖得， （4）比較可知： ① 低頻段斜率增大（系統(tǒng)由0型變?yōu)棰裥停腋叨忍岣?，K增大，使穩(wěn)態(tài)精度提高。 ② 中頻段斜率由-40dB/dec變成-20dB/dec，所以穩(wěn)定性提高（相位裕量由43.5提高到59），但減小使增大，快速性變差。 ③ 高頻段衰減值增大，抗干擾能提高。 6-12解：（1）由 由 （2） （3）由圖得 （4）校正前后系統(tǒng)的相位裕量為 （5）比較可知，校正前后： ① 低頻段高度和斜率都不變，因此穩(wěn)態(tài)精度不變。 ② 中頻段斜率由-40dB/dec變成-20dB/dec，所以穩(wěn)定性提高（相位裕量由負(fù)變正），但減小，使得增大，快速性變差。 ③ 高頻段不變，抗干擾性不變。 6-13 解： （1）由(a)圖由 由(b)圖由 （2）(a)圖為滯后校正，可以改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性，同時(shí)可以提高系統(tǒng)的抗干擾性，但要以犧牲快速性為代價(jià)；(b)圖為超前校正，可以改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，包括快速性和穩(wěn)定性，但會(huì)使系統(tǒng)抗擾性下降。 6-14 解：（1）設(shè)PD控制器傳遞函數(shù)為 則，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，當(dāng)是時(shí)，有 相位裕量為： (2) 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 當(dāng)，可以得到： 相位裕量為： 6-15 解：（1）有兩種方法可以解答 方法一 用Bode圖定性分析。具體如下： 先根據(jù)繪制校正前系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線，再根據(jù)串聯(lián)校正原理，分別將將曲線與圖6-27所示三種校正裝置的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線在同一對(duì)數(shù)坐標(biāo)系中分段疊加，得到校正后系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線。如圖6-28所示。 圖6-28 習(xí)題6-15解答圖 由圖2-28可知，(a)圖校正后系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線中頻段斜率為-40db/dec，而且之前的頻段較短，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定；(b)(c)圖校正后系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線中頻段斜率都為-20db/dec，因此兩種校正都能使系統(tǒng)穩(wěn)定。但(c)圖中頻寬度為H=40/2=20倍，而(b)圖中頻寬度只有H=100/10=10倍，因此(c)圖的校正裝置會(huì)使校正后系統(tǒng)的穩(wěn)定程度最好。 方法二 用計(jì)算相位裕量來定量分析。具體如下： 對(duì)(a)圖 校正后系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 由 則， (b)圖 校正后系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 同理可求得， (c)圖 校正后系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 同理可求得 可見，以圖(c)為校正網(wǎng)絡(luò)，系統(tǒng)的相位裕量最大，穩(wěn)定性最好。 （2），將12Hz的正弦噪聲削弱10倍左右，也就是使處的幅值（增益）為0.1左右，或者使處的對(duì)數(shù)幅值為-20dB左右，應(yīng)該采用(c)圖的PID校正裝置。 原因分析如下： 以(a)圖做校正裝置時(shí)， 以(b)圖做校正裝置時(shí)， 以(c)圖做校正裝置時(shí)， 故采用(c)圖校正網(wǎng)絡(luò)可達(dá)到將12Hz的正弦噪聲削弱10倍左右的要求。 7-1 解：（1）令=0，即 得系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為0，-1，1。 （2）設(shè)時(shí)，系統(tǒng)的初始狀態(tài)為，由微分方程可得 兩端積分后可得 相軌跡如圖7-22所示。當(dāng)初始條件時(shí)，，并且隨著的增大，顯然上式分子的衰減速率大于分母的衰減速率，使得遞減，并收斂至平衡原點(diǎn)；而當(dāng)時(shí)，，若，且隨著增大，顯然上式分母的衰減速率大于分子的衰減速率，因此遞增；尤其當(dāng)時(shí)，上式分母，為無窮大，系統(tǒng)發(fā)散不穩(wěn)定。 圖7-22 系統(tǒng)相軌跡 7-2 解：（1）由于 因此令，可得奇點(diǎn)為（0，0）。又由于，因此 ， 可知特征根為，故奇點(diǎn)（0，0）為中心點(diǎn)。根據(jù)奇點(diǎn)的位置和奇點(diǎn)類型，利用MATLAB程序可繪制出系統(tǒng)在奇點(diǎn)附近的相軌跡如圖7-23所示。 圖7-23 系統(tǒng)相軌跡 （2）由于，因此系統(tǒng)方程 同理可得 令，得奇點(diǎn)為（0，0）。根據(jù)系統(tǒng)的特征方程，可得相應(yīng)的特征根為鞍點(diǎn)，，。 另由于，令，得等傾線方程為 其中為等傾線的斜率。由于相軌跡的漸近線是特殊的等傾線，滿足，則由上式不難得到，。相軌跡在這兩條特殊的等傾線附近將沿著漸近線收斂或發(fā)散。根據(jù)不同值下等傾線的斜率，并利用MATLAB程序可作出系統(tǒng)的相軌跡如圖7-24所示。 圖7-24 系統(tǒng)相軌跡 （3）令，則，可知系統(tǒng)的奇點(diǎn)為 ，，， 當(dāng)，，，時(shí)，令，原方程變?yōu)? 在奇點(diǎn)（即）處的線性化方程為 根據(jù)特征方程可得系統(tǒng)的特征根為，奇點(diǎn)為中心點(diǎn)。 當(dāng)，，，時(shí)，令，原方程變?yōu)? 在奇點(diǎn)（即）處的線性化方程為 根據(jù)特征方程可得系統(tǒng)的特征根為，奇點(diǎn)為鞍點(diǎn)。 令，得等傾線方程為 根據(jù)不同值下等傾線的斜率和奇點(diǎn)類型，可繪制出系統(tǒng)的相軌跡如圖7-25所示。 圖7-25 系統(tǒng)相軌跡 7-3 解：（1）非線性系統(tǒng)的微分方程可改寫為 ， 其中，表示非線性函數(shù)。令 聯(lián)立可得系統(tǒng)的奇點(diǎn)為。 奇點(diǎn)處一階偏導(dǎo)數(shù)及增量線性化方程為 ， ， 則 根據(jù)特征方程可得系統(tǒng)的特征根為 可知此時(shí)由于系統(tǒng)特征根為一對(duì)具有正實(shí)部的共軛復(fù)根，因此奇點(diǎn)為不穩(wěn)定焦點(diǎn)。 （2）極限環(huán)討論 令，，并代入原方程后可得 經(jīng)整理可知以極坐標(biāo)變量和所描述的運(yùn)動(dòng)方程為 因此可知，當(dāng)和時(shí)，即和時(shí)，相軌跡為封閉圓。當(dāng)時(shí)，，此時(shí)相軌跡向封閉單位圓發(fā)散逼近。當(dāng)時(shí)，，此時(shí)的相軌跡向封閉單位圓收斂逼近。而當(dāng)時(shí)，，此時(shí)的相軌跡發(fā)散至無窮遠(yuǎn)處。可知系統(tǒng)的封閉單位圓即為該非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定極限環(huán)。系統(tǒng)的相軌跡圖如圖7-26所示。 圖7-26 系統(tǒng)相軌跡 7-4 解：由于，所以當(dāng)幅值大小一致時(shí)，則越小，就越小，所以周期。而當(dāng)幅值大小一致時(shí)，則越小，就越大，所以周期。 7-5 解：（1）圖7-28的左圖經(jīng)過如下結(jié)構(gòu)圖簡化 圖7-29 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖簡化 得線性部分的傳遞函數(shù) （2）圖7-28右圖經(jīng)過如下結(jié)構(gòu)圖簡化 圖7-30 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖簡化 得線性部分的傳遞函數(shù) 7-6 解：圖a）為帶死區(qū)的飽和特性，根據(jù)表7-1可知，其描述函數(shù)為： , 圖b)中的非線性環(huán)節(jié)相當(dāng)于下列死區(qū)繼電非線性和死區(qū)非線性環(huán)節(jié)的并聯(lián) 圖7-32 非線性環(huán)節(jié) 并聯(lián)等效非線性特性的描述函數(shù)為各非線性特性描述函數(shù)的代數(shù)和。因此 圖c)中的非線性環(huán)節(jié)相當(dāng)于下列兩個(gè)死區(qū)繼電非線性環(huán)節(jié)的并聯(lián)，因此 圖7-33 非線性環(huán)節(jié) ， 7-7 解：設(shè)當(dāng)輸入為時(shí)有 ； 因?yàn)槭堑钠婧瘮?shù)，所以；同時(shí)是的奇函數(shù)，故。因此具有半周期對(duì)稱特性，所以 由定積分公式 可得 則該非線性系統(tǒng)的描述函數(shù)為 7-8 判斷圖7-35所示各系統(tǒng)是否穩(wěn)定； 圖7-35 題7-8的自振分析 與的交點(diǎn)是否為自振點(diǎn)。 解：（a）由于曲線與曲線有交點(diǎn)，在該點(diǎn)處產(chǎn)生穩(wěn)定自激振蕩。 （b）由于曲線與曲線存在三個(gè)交點(diǎn)，由于在和點(diǎn)處，曲線沿著振幅增加的方向由不穩(wěn)定區(qū)域進(jìn)入穩(wěn)定區(qū)域，因此在和點(diǎn)處產(chǎn)生穩(wěn)定自激振蕩。在點(diǎn)處，曲線由穩(wěn)定區(qū)域進(jìn)入不穩(wěn)定區(qū)域，產(chǎn)生不穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)。 （c）由于曲線與曲線有交點(diǎn)，在該點(diǎn)處產(chǎn)生穩(wěn)定自激振蕩。 （d）由于曲線與曲線沒有交點(diǎn)，而且位于穩(wěn)定區(qū)域，因此系統(tǒng)穩(wěn)定。 7-9 解：曲線逆時(shí)針補(bǔ)畫半徑為的圓。 （1）時(shí)，由奈氏判據(jù)可知，其中為包圍負(fù)倒描述函數(shù)的個(gè)數(shù)：當(dāng)，時(shí)，由奈氏判據(jù)可知初始振幅位于不穩(wěn)定區(qū)域，因此的值不斷增大。同理可知，當(dāng)，時(shí)，初始振幅位于穩(wěn)定區(qū)域，的值會(huì)不斷減小。 （2）時(shí)，由奈氏判據(jù)可知，當(dāng)，時(shí)，由奈氏判據(jù)可知初始振幅位于不穩(wěn)定區(qū)域，因此的值不斷增大。同時(shí)可知，當(dāng)，時(shí)，初始振幅位于穩(wěn)定區(qū)域，的值不斷減小。 7-10 解：（1）非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)為 ， 其負(fù)倒描述函數(shù)為 為單調(diào)減函數(shù)，作曲線如圖7-38所示。 圖7-38 穩(wěn)定性分析 線性部分的曲線如圖7-38所示，其穿越頻率 曲線與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)為 當(dāng)時(shí)，曲線不包圍曲線，系統(tǒng)穩(wěn)定。 當(dāng)時(shí)，曲線和曲線存在交點(diǎn)（，0），曲線由不穩(wěn)定區(qū)域進(jìn)入穩(wěn)定區(qū)域，系統(tǒng)存在穩(wěn)定的自振。 當(dāng)時(shí)，曲線完全包圍曲線，系統(tǒng)不穩(wěn)定。 由以上討論可知，隨著的增大，系統(tǒng)由穩(wěn)定變成自振，最終不穩(wěn)定。 （2）當(dāng)系統(tǒng)產(chǎn)生穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)時(shí)，確定自振參數(shù) 由描述函數(shù)分析法可知 得系統(tǒng)振幅為 ， 另外由（1）分析可知，系統(tǒng)的振蕩頻率為。 7-11 解：根據(jù)串聯(lián)合并關(guān)系，描述函數(shù)： ， 令，則： 令=0，解得。由極值條件知，當(dāng)時(shí)，負(fù)倒描述函數(shù)曲線有一個(gè)極大值，為。大致曲線如圖7-40所示。 圖7-40 穩(wěn)定性分析 在同一平面內(nèi)繪制曲線，其穿越負(fù)實(shí)軸的頻率為 與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)為： 根據(jù)，可以求出 即 。 求解可得： ，。 根據(jù)周期運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性判定辦法可知，對(duì)應(yīng)不穩(wěn)定的運(yùn)動(dòng)，對(duì)應(yīng)于穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)，因此，當(dāng)擾動(dòng)使得時(shí)，存在自激震蕩。 7-12 解：由圖7-41可得 開關(guān)線為。求解可以得到 這兩個(gè)方程分別對(duì)應(yīng)平面上開口向右、向左頂點(diǎn)在軸上的兩條拋物線。位置與初始條件或另一個(gè)區(qū)域的想軌跡與開關(guān)線的交點(diǎn)有關(guān)。開關(guān)線是過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線，斜率與值有關(guān)。 1）當(dāng)時(shí)，開關(guān)線為軸，相軌跡由兩個(gè)拋物線封閉組成，對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)是周期運(yùn)動(dòng)，如圖7-42所示。 圖7-42 系統(tǒng)相軌跡 2）當(dāng)時(shí)，開關(guān)線向右傾斜，位于Ⅰ，Ⅲ象限，相軌跡仍由拋物線組成，但每次轉(zhuǎn)換時(shí)，，均增加，對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)為震蕩發(fā)散，如圖7-43所示。 圖7-43 系統(tǒng)相軌跡 當(dāng)時(shí)，開關(guān)線向左傾斜，位于Ⅱ，Ⅳ象限，相軌跡還是由拋物線組成，但每次轉(zhuǎn)換時(shí)，，均減小，對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)是震蕩收斂，相軌跡如圖7-44所示。 圖7-44 系統(tǒng)相軌跡 7-13 解：由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖可知 另由于，因此進(jìn)而可得： 根據(jù)線性系統(tǒng)特征根的分布，來判定奇點(diǎn)的類型。在區(qū)，奇點(diǎn)，為平衡點(diǎn)。在區(qū)，奇點(diǎn)，為平衡點(diǎn)。根據(jù)MATLAB可得系統(tǒng)的相軌跡如圖7-46所示。可見系統(tǒng)振蕩收斂于平衡點(diǎn)。 圖7-46 系統(tǒng)相軌跡 7-14 解：根據(jù)圖7-47，有系統(tǒng)的分段微分方程： 其相軌跡如圖7-48所示?？梢?，在開關(guān)線上相軌跡跳至另一條相軌跡。 圖7-48 系統(tǒng)相軌跡 在升溫時(shí)，相軌跡沿著AB運(yùn)動(dòng)，且AB的相軌跡方程為： 結(jié)合相平面圖可見，保溫精度為。 7-15 解：由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖可知，其中為非線性環(huán)節(jié)的輸出 在比較點(diǎn)處，，，綜合各式并整理可得 在Ⅰ區(qū)（），奇點(diǎn)為，其特征方程的特征根為兩純虛根，因此奇點(diǎn)為中心點(diǎn)。在Ⅱ區(qū)（），奇點(diǎn)為，其特征方程的特征根為兩純虛根，因此奇點(diǎn)為中心點(diǎn)。在Ⅲ區(qū)（），奇點(diǎn)為，其特征方程的特征根為兩純虛根，因此奇點(diǎn)為中心點(diǎn)。下面利用積分法來求解系統(tǒng)相軌跡。 在Ⅰ區(qū)（） ， 積分可得，為一橢圓。 在Ⅱ區(qū)（） ， 積分可得，為一中心在的圓。 在Ⅲ區(qū)（） ， 積分可得，為一中心在的圓。 該非線性系統(tǒng)的相軌跡和輸出曲線分別如圖7-50和圖7-51所示。由圖7-50可知，相軌跡從Ⅰ區(qū)的點(diǎn)處出發(fā)，在點(diǎn)切換至Ⅱ區(qū)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)又切換至Ⅰ區(qū)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)處后再次進(jìn)入Ⅱ區(qū)，然后運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)處后最終又切換回Ⅰ區(qū)，并回到點(diǎn)，形成一個(gè)循環(huán)。由圖7-51可見系統(tǒng)的輸出是一個(gè)周期運(yùn)動(dòng)。 圖7-50 系統(tǒng)相軌跡 圖7-51 系統(tǒng)輸出曲線 7-16 解:在simulink中搭建系統(tǒng)框圖，運(yùn)行得到仿真結(jié)果如圖7-52所示。 （1）由飽和特性的數(shù)學(xué)表達(dá)式和系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過程的微分方程，可以寫出以誤差為輸出變量的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程，。由于階躍響應(yīng)時(shí)，有，因此系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程可寫成：。當(dāng)非線性系統(tǒng)工作在Ⅰ區(qū)，即線性區(qū)時(shí)的運(yùn)動(dòng)方程為 。不難求出，原點(diǎn)(0，0)為I區(qū)相軌跡的奇點(diǎn)，該奇點(diǎn)因位于I區(qū)內(nèi)，故為實(shí)奇點(diǎn)。若，則系統(tǒng)在I區(qū)工作于欠阻尼狀態(tài)，會(huì)有超調(diào)，且此時(shí)的奇點(diǎn)(0，0)為穩(wěn)定焦點(diǎn)。 圖7-52 系統(tǒng)輸出曲線 （2）結(jié)合simulink仿真如可以看出，飽和特性的存在，使等效增益隨輸入的增大而減小，使穩(wěn)定系統(tǒng)的開環(huán)增益下降，超調(diào)量減小，因此有利于動(dòng)態(tài)響應(yīng)的平穩(wěn)性，但同時(shí)會(huì)降低系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度。 （3）系統(tǒng)的開環(huán)放大倍數(shù)由于飽和限幅環(huán)節(jié)的存在而變小，阻尼比變大，無阻尼自振頻率變小，慣性時(shí)間常數(shù)變大。 7-17 解：將3個(gè)串聯(lián)非線性環(huán)節(jié)進(jìn)行等效合并。由于反饋通道飽和特性與前向通道飽和特性同時(shí)進(jìn)入飽和狀態(tài)，所以反饋通道的非線性環(huán)節(jié)相當(dāng)于不起作用。將前向通道的另兩個(gè)非線性環(huán)節(jié)合并可得如圖7-54所示，即非線性環(huán)節(jié)的輸出為 圖7-54 非線性系統(tǒng)簡化 因此可得非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)為 其負(fù)倒描述函數(shù)為 式中，，。因?qū)υ撠?fù)倒描述函數(shù)求導(dǎo)后，可知在取得極值，即 同時(shí)該系統(tǒng)線性環(huán)節(jié)的頻率特性為 令，有，則，。 繪制與的曲線于圖7-55中?？芍c曲線相交，系統(tǒng)存在自激振蕩。另由可知，自振頻率，自振振幅。最后，利用下列MATLAB程序可得系統(tǒng)的相平面圖和系統(tǒng)狀態(tài)曲線分別如圖7-56和圖7-57所示。 圖7-55 穩(wěn)定性分析 圖7-56 系統(tǒng)相軌跡 圖7-57 系統(tǒng)狀態(tài)曲線 8-1 解：（1） 該函數(shù)采樣后所得的脈沖序列為 代入變換的定義式可得 兩邊同時(shí)乘以，得 兩式相減，若，該級(jí)數(shù)收斂，同樣利用等比級(jí)數(shù)求和公式，可得 最后該變換的閉合形式為 （2） 對(duì)取拉普拉斯變換，得 展開為部分分式，即 可以得到 化簡后得 （3） 解：將上式展開為部分分式，得 查表可得 （4） 解： 對(duì)上式兩邊進(jìn)行變換可得 查表可得 8-2 解：（1） 由于 所以 查表可得 ， 所以可得的反變換為 （2） 由于 所以 查表可得 所以的反變換為 （3） 由長除法可得 所以其反變換為 （4） 解法1：由反演積分法，得 解法2：