北京市東城區(qū)高三第二學(xué)期綜合練習(xí)（一） 理科數(shù)學(xué)試題及答案

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1、 北京市東城區(qū)2014屆高三第二學(xué)期綜合練習(xí)（一） 數(shù)學(xué)理試題 2014．4 第一部分（選擇題 共40分） 一、選擇題共8小題，每小題3分，共40分，在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目 要求的一項(xiàng)． 1． 已知集合，則（ ）． A． B．或 C． D． 2． 復(fù)數(shù)（ ）． A． B． C． D． 3． 為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象（ ）． A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 4． 設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（ ）． A．27

2、 B．36 C．42 D．63 5． 在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)到直線的距離等于（ ）． A． B． C． D．2 6． 如圖，在中，，，是的中點(diǎn)，則（ ）． A．3 B．4 C．5 D．不能確定 7． 若雙曲線的漸近線與圓相切，則雙曲線的離心率為（ ）． A．2 B． C． D． 8． 已知符號(hào)函數(shù)則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）． A．1 B．2 C．3 D．4 第二部分（非選擇題 共110分） 二、填空題共6小題，每小題5分，共30分． 9． 的二項(xiàng)展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)

3、_______．（用數(shù)字作答） 10． 如圖，是圓的直徑，延長(zhǎng)至，使，且，是圓的切線，切點(diǎn)為，連接，則________，________． 11． 設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)?，在區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，則的概率為_(kāi)_______． 12． 已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則時(shí)，的解析式為_(kāi)_____，不等式的解集為_(kāi)_______． 13． 某寫(xiě)字樓將排成一排的6個(gè)車(chē)位出租給4個(gè)公司，其中有兩個(gè)公司各有兩輛汽車(chē)，如果這兩個(gè)公司要求本公司的兩個(gè)車(chē)位相鄰，那么不同的分配方法共有________種．（用數(shù)字作答） 14． 如圖，在三棱錐中，，，平面平面，為中點(diǎn)，點(diǎn)分別為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不含端

4、點(diǎn)），且，則三棱錐體積的最大值為_(kāi)_______． 三、解答題共6小題，共80分． 15． （本小題共13分） 在中，． （1）求角的值； （2）如果，求面積的最大值． 16、（本小題共13分） 某學(xué)校為了解高三年級(jí)學(xué)生寒假期間的學(xué)習(xí)情況，抽取甲、乙兩班，調(diào)查這兩個(gè)班的學(xué)生在寒假期間每天平均學(xué)習(xí)的時(shí)間（單位：小時(shí)），統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪成頻率分布直方圖（如圖）．已知甲、乙兩班學(xué)生人數(shù)相同，甲班學(xué)生每天平均學(xué)習(xí)時(shí)間在區(qū)間的有8人． （1）求直方圖中的值及甲班學(xué)生每天平均學(xué)習(xí)時(shí)間在區(qū)間的人數(shù)； （2）從甲、乙兩個(gè)班每天平均學(xué)習(xí)時(shí)間大于10個(gè)小時(shí)的學(xué)生中任取4人參加測(cè)試，設(shè)4人中甲

5、班學(xué)生的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望． 17、（本小題共14分） 如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面，，，是中點(diǎn)，為上一點(diǎn)． （1）求證：平面； （2）當(dāng)為何值時(shí)，二面角為． 18、（本小題共13分） 已知函數(shù)，． （1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間； （2）已知點(diǎn)和函數(shù)圖象上動(dòng)點(diǎn)，對(duì)任意，直線傾斜角都是鈍角，求的取值范圍． 19、（本小題共13分） 已知橢圓過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)． （1）求橢圓的方程； （2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且，求直線的方程． 20、（本小題共14分） 已知集合，若該集合具有下列性質(zhì)的子

6、集：每個(gè)子集至少含有2個(gè)元素，且每個(gè)子集中任意兩個(gè)元素之差的絕對(duì)值大于1，則稱這些子集為子集，記子集的個(gè)數(shù)為． （1）當(dāng)時(shí)，寫(xiě)出所有子集； （2）求； （3）記，求證： 北京市東城區(qū)2014屆高三第二學(xué)期綜合練習(xí)（一） 數(shù)學(xué)參考答案（理科） 一、選擇題 1．C 2．C 3．D 4．D 5．A 6．B 7．C 8．B 二、填空題 9． 10．； 11． 12．； 13．24 14． 三、解答題 15．（共13分） 解：⑴ 因?yàn)?，? 所以，．

7、 因?yàn)椋? 所以． ⑵ 因?yàn)椋? 所以， 因?yàn)椋? 所以， 所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）， 所以，， 所以面積最大值為． 16． （共13分） 解：⑴ 由直方圖知，， 解得， 因?yàn)榧装鄬W(xué)習(xí)時(shí)間在區(qū)間的有8人， 所以甲班的學(xué)生人數(shù)為， 所以甲、乙兩班人數(shù)均為40人． 所以甲班學(xué)習(xí)時(shí)間在區(qū)間的人數(shù)為 （人）． ⑵ 乙班學(xué)習(xí)時(shí)間在區(qū)間的人數(shù)為（人）． 由⑴知甲班學(xué)習(xí)時(shí)間在區(qū)間的人數(shù)為3人， 在兩班中學(xué)習(xí)時(shí)間大于10小時(shí)的同學(xué)共7人，的所有可能取值為0，1，2，3． ， ， ， ． 所以隨機(jī)變量的分布列為： 0 1 2

8、 3 ． 17．（共14分） 證明⑴ 因?yàn)槠矫?，平面? 所以， 因?yàn)槭蔷匦?，所以? 因?yàn)?，所以平面? 因?yàn)槠矫妫裕? 因?yàn)?，是中點(diǎn)，所以， 因?yàn)? 所以平面． ⑵ 解：因?yàn)槠矫?，? 所以以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，． 所以，． 設(shè)平面的法向量為，則 所以 令，得，， 所以． 平面的法向量為． 所以． 所以． 所以當(dāng)時(shí)，二面角為． 17． （共13分） 解：⑴ 當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)椋? ↘ ↗ 所以當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為． ⑵ 因?yàn)閷?duì)任

9、意，直線的傾斜角都是鈍角， 所以對(duì)任意，直線的斜率小于0， 即，， 即在區(qū)間上的最大值小于1， ，． 令 ①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減， ，顯然成立，所以． ②當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向下， 且，， ，， 故，在上單調(diào)遞減， 故在上單調(diào)遞減，，顯然成立，所以． ⑶ 當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向上， 且，． 所以，當(dāng)時(shí)，． 當(dāng)時(shí)，． 所以在區(qū)間內(nèi)先遞減再遞增． 故在區(qū)間上的最大值只能是或． 所以 即 所以． 綜上． 19．(共13分) 解：（Ⅰ）因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)． 所以，由，得． 所以橢圓的方程為． （Ⅱ）顯然直

10、線的斜率存在，且． 設(shè)直線的方程為． 由消去并整理得， 由，． 設(shè)，，中點(diǎn)為， 得，． 由，知， 所以，即． 化簡(jiǎn)得，滿足． 所以． 因此直線的方程為． （20）(共14分) 解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，所以子集：，，，，，，． （Ⅱ）的子集可分為兩類： 第一類子集中不含有，這類子集有個(gè)； 第二類子集中含有，這類子集成為的子集與的并，或?yàn)榈膯卧刈蛹c的并，共有個(gè)． 所以． 因?yàn)椋? 所以，，，，，． （Ⅲ）因?yàn)椋? ① 所以 ② ①②得 所以． 15