高中數(shù)學課件第二章第9節(jié)《函數(shù)與方程》.ppt

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1.結(jié)合二次函數(shù)的圖象，了解函數(shù)的零點與 方程根的聯(lián)系，判斷一元二次方程根的存在 性及根的個數(shù). 2.根據(jù)具體函數(shù)的圖象，能夠用二分法求相 應(yīng)方程的近似解.,1.函數(shù)零點的定義 (1)對于函數(shù)y＝f(x)(x∈D)，把使 成立的實數(shù)x叫做 函數(shù)y＝f(x)(x∈D)的零點. (2)方程f(x)＝0有實根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與 有交點? 函數(shù)y＝f(x)有 .,f(x)＝0,x軸,零點,[思考探究1] 函數(shù)的零點是函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸的交點嗎？,提示：不是.函數(shù)的零點是一個實數(shù)，是函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標.,2.函數(shù)零點的判定 如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一 條曲線，并且有 ，那么函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間 內(nèi)有零點，即存在c∈(a，b)，使得 ，這個 也就是方 程f(x)＝0的根.,f(a)f(b)＜0,(a， b),f(c)＝0,c,[思考探究2] (1)在上面條件下，(a，b)內(nèi)有幾個零點？,提示：不一定.如函數(shù)f(x)＝x2－1在[－2,2]內(nèi)有兩個零點，但f(2)f(－2)＞0.,提示：不一定，可能有一個，也可有多個.,(2)若函數(shù)f(x)在[a，b]內(nèi)有零點，一定有f(a)f(b)＜0嗎？,3.二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象與零點的關(guān)系,(x1 ， 0)，(x2 ， 0),(x1 ，0),無交點,兩個,一個,零個,4.用二分法求函數(shù)f(x)零點近似值的步驟 第一步，確定區(qū)間[a，b]，驗證 ，給定精確ε； 第二步，求區(qū)間(a，b)的中點x1； 第三步，計算 ： ①若 ，則x1就是函數(shù)的零點； ②若 ＜0，則令b＝x1(此時零點x0∈(a，x1))； ③若 ，則令a＝x1(此時零點x0∈(x1，b))； 第四步，判斷是否達到精確度ε：即若|a－b|＜ε，則得到 零點近似值a(或b)；否則重復第二、三、四步.,f(a)f(b)＜0,f(x1),f(x1)＝0,f(a)f(x1),f(b)f(x1)＜0,1.下圖的函數(shù)圖象與x軸均有交點，但不宜用二分法求交 點橫坐標的是 ( ),解析：因為B選項中，x0兩側(cè)的符號相同，所以無法用二分法求交點的橫坐標.,答案：B,2.若函數(shù)f(x)唯一的零點同時在區(qū)間(0,16)，(0,8)，(0,4)， (0,2)內(nèi)，那么下列命題正確的是 ( ) A.函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有零點 B.函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)或(1,2)內(nèi)有零點 C.函數(shù)f(x)在區(qū)間[2,16)上無零點 D.函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,16)內(nèi)無零點,解析：∵函數(shù)f(x)唯一零點同時在區(qū)間(0,16)，(0,8)， (0,4)，(0,2)內(nèi)，∴函數(shù)f(x)唯一零點必在區(qū)間(0,2)內(nèi).,答案：C,3.函數(shù)f(x)＝πx＋log2x的零點所在的區(qū)間為 ( ) A.[0， ] B.[ ， ] C.[ ] D.[ ,1],解析：因為選項中只有f( )f( )＜0，所以函數(shù)的零點所在的區(qū)間為[ ].,答案：C,4.已知函數(shù)f(x)＝4x＋m2x＋1有且只有一個零點，則實 數(shù)m的值為 .,解析：由題知：方程4x＋m2x＋1＝0只有一個零點. 令2x＝t(t0)， ∴方程t2＋mt＋1＝0只有一個正根， ∴由圖象可知 ∴m＝－2.,答案：－2,5.下列是函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上一些點的函數(shù)值.,由此可判斷：方程f(x)＝0的一個近似解為 (精確度0.1，且近似解保留兩位有效數(shù)字).,解析：∵f(1.438)f(1.4065)＜0，且|1.438－1.4065|＝0.0315＜0.1，∴f(x)＝0的一個近似解為1.4.,答案：1.4,函數(shù)零點的存在性問題常用的方法有： (1)解方程：當能直接求解零點時，就直接求出進行判斷. (2)用定理：零點存在性定理.,[特別警示] 如果函數(shù)y＝f(x)在[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的曲線，且x0是函數(shù)在這個區(qū)間上的一個零點，但f(a)f(b)＜0不一定成立. (3)利用圖象的交點：有些題目可先畫出某兩個函數(shù)y＝f(x)，y＝g(x)圖象，其交點的橫坐標是f(x)－g(x)的零點.,判斷下列函數(shù)在給定區(qū)間是否存在零點. (1)f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]； (2)f(x)＝x3－x－1，x∈[－1,2]； (3)f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]； (4)f(x)＝ －x，x∈(0,1).,[思路點撥],[課堂筆記] (1)∵f(1)＝－200， ∴f(1)f(8)0， ∴f(－1)f(2)log22－1＝0， f(3)＝log2(3＋2)－3log28－3＝0，∴f(1)f(3)0， 故f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]存在零點.,(4)畫出函數(shù)f(x)＝ －x的圖象如圖. 由圖象可知，f(x)＝ －x在(0,1)內(nèi)圖象與x軸沒有交點， 故f(x)＝ －x在(0,1)內(nèi)不存在零點.,函數(shù)零點個數(shù)的判定有下列幾種方法： (1)直接求零點：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個解就 有幾個零點. (2)零點存在性定理：利用該定理不僅要求函數(shù)在[a，b]上 是連續(xù)的曲線，且f(a)f(b)＜0.還必須結(jié)合函數(shù)的圖象和 性質(zhì)(如單調(diào)性)才能確定函數(shù)有多少個零點. (3)畫兩個函數(shù)圖象，看其交點的個數(shù)有幾個，其中交點 的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點.,判斷函數(shù)f(x)＝4x＋x2－ x3在區(qū)間[－1,1]上零點的個數(shù)，并說明理由.,[思路點撥],[課堂筆記] ∵f(－1)＝－4＋1＋ ＝－ ＜0， f(1)＝4＋1－ ＝ ＞0， ∴f(x)在區(qū)間[－1,1]上有零點. 又f′(x)＝4＋2x－2x2＝ －2(x－ )2， 當－1≤x≤1時，0≤f′(x)≤ ， ∴f(x)在[－1,1]上是單調(diào)遞增函數(shù)， ∴f(x)在[－1,1]上有且只有一個零點.,函數(shù)零點的求法有兩種：代數(shù)法和幾何法.代數(shù)法即求方程f(x)＝0的實數(shù)根；但當有些方程無法求實根時，就要用幾何法，即將它與函數(shù)y＝f(x)的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點.,求下列函數(shù)的零點： (1)f(x)＝x3－2x2－x＋2； (2)f(x)＝x－,[思路點撥],[課堂筆記] (1)由x3－2x2－x＋2＝0， 得x2(x－2)－(x－2)＝0， ∴(x－2)(x－1)(x＋1)＝0， ∴x＝2或x＝1或x＝－1. 故函數(shù)f(x)的零點是2,1，－1.,(2)由x－ ＝0， 得 ＝0， ∴ ＝0， ∴(x－2)(x＋2)＝0. ∴x＝2或x＝－2. 故函數(shù)f(x)的零點是2或－2.,判斷函數(shù)零點的存在性以及函數(shù)零點的個數(shù)是高考對本節(jié)內(nèi)容的常規(guī)考法.09年廣東高考將函數(shù)的零點與二次函數(shù)、導數(shù)等內(nèi)容相結(jié)合考查了函數(shù)零點的應(yīng)用，是一個新的考查方向.,[考題印證] (2009廣東高考)(12分)已知二次函數(shù)y＝g(x)的導函數(shù)的圖象與直線y＝2x平行，且y＝g(x)在x＝－1處取得極小值m－1(m≠0).設(shè)f(x)＝ ， (1)若曲線y＝f(x)上的點P到點Q(0,2)的距離的最小值為2，求m的值； (2)k(k∈R)如何取值時，函數(shù)y＝f(x)－kx存在零點，并求出零點.,【解】 ∵y＝g′(x)＝2ax＋b的圖象與直線y＝2x平行， ∴a＝1. 又∵y＝g(x)在x＝－1處取得極小值m－1， ∴－ ＝－1，g(－1)＝a(－1)2＋b(－1)＋c＝m－1， 所以b＝2，c＝m.從而f(x)＝ ＋x＋2.┄(2分),(1)已知m≠0，設(shè)曲線y＝f(x)上點P的坐標為 P(x，y)，則點P到點Q(0,2)的距離為 |PQ|＝ ＝ ＝ 當且僅當2x2＝ ?x＝ 時等號成立.┄┄(4分) ∵|PQ|的最小值為 ， ∴ ＋m＝1.,①當m＞0時，解得m＝ ＝ －1. ②當m＜0時，解得m＝ ＝－ －1. 故m＝ －1或m＝－ －1.┄┄┄┄┄┄┄┄(6分),(2)y＝f(x)－kx的零點， 即方程 ＋(1－k)x＋2＝0的解， ∵x≠0，∴ ＋(1－k)x＋2＝0與(k－1)x2－2x－m＝0有相同的解. ①若k＝1，(k－1)x2－2x－m＝0?x＝－ ≠0， 所以函數(shù)y＝f(x)－kx有零點x＝－ .┄┄┄┄(8分) ②若k≠1，(k－1)x2－2x－m＝0的判別式 Δ＝4[1＋m(k－1)]. 若Δ＝0?k＝1－ ， 此時函數(shù)y＝f(x)－kx有一個零點x＝－m.,若Δ＞0?1＋m(k－1)＞0， ∴當m＞0，k＞1－ ，或m＜0，k＜1－ 時， 方程(k－1)x2－2x－m＝0有兩個解. X1＝ 和x2＝ . 此時函數(shù)y＝f(x)－kx有兩個零點x1和x2. 若Δ＜0?1＋m(k－1)＜0， ∴當m＞0，k＜1－ ，或m＜0，k＞1－ 時， 方程(k－1)x2－2x－m＝0無實數(shù)解， 此時函數(shù)y＝f(x)－kx沒有零點.┄┄┄┄┄┄(12分),[自主體驗] 已知函數(shù)f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋ (x＞0). (1)若g(x)＝m有零點，求m的取值范圍. (2)確定m的取值范圍，使得函數(shù)F(x)＝g(x)－f(x)有兩個不同的零點.,解：(1)法一：∵g(x)＝x＋ ＝2e， 等號成立的條件是x＝e， 故g(x)的值域是[2e，＋∞)， 因而只需m≥2e，則g(x)＝m就有零點.,法二：作出g(x)＝x＋ 的圖象如圖： 可知若使g(x)＝m有零點，則只需m≥2e. (2)函數(shù)F(x)＝g(x)－f(x)有兩個不同的零點， 即g(x)－f(x)＝0有兩個相異的實根，,即g(x)＝f(x)中g(shù)(x)與f(x)的圖象有兩個不同的交點， 作出g(x)＝x＋ (x＞0)的圖象. ∵f(x)＝－x2＋2ex＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2， 其對稱軸為x＝e，開口向下，最大值為m－1＋e2， 故當m－1＋e2＞2e，即m＞－e2＋2e＋1時， g(x)與f(x)有兩個交點， 即g(x)－f(x)＝0有兩個相異實根. ∴m的取值范圍是(－e2＋2e＋1，＋∞).,1.函數(shù)f(x)＝ 的零點有 ( ) A.0個 B.1個 C.2個 D.3個,解析：由f(x)＝ ＝0得：x＝1， ∴f(x)＝ 只有一個零點.,答案：B,2.(2009天津高考)設(shè)函數(shù)f(x)＝ x－lnx(x0)，則y＝f(x)( ) A.在區(qū)間( ,1)，(1，e)內(nèi)均有零點 B.在區(qū)間( ,1)，(1，e)內(nèi)均無零點 C.在區(qū)間( ,1)內(nèi)有零點，在區(qū)間(1，e)內(nèi)無零點 D.在區(qū)間( ,1)內(nèi)無零點，在區(qū)間(1，e)內(nèi)有零點,解析：f( )＝ ＋10，f(1)＝ －00， f(e)＝ －10，∵f′(x)＝ － ＝ ， ∴當f(x)在(0,3)上是減函數(shù).根據(jù)閉區(qū)間上根的存在性定理與函數(shù)的單調(diào)性.,答案：D,3.設(shè)函數(shù)y＝x3與y＝( )x－2的圖象的交點為(x0，y0)， 則 x0所在的區(qū)間是 ( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4),解析：令g(x)＝x3－22－x，可求得：g(0)0，g(3)0，g(4)0，g′(x)＝3x2＋4( )xln2＞0，易知函數(shù)g(x)的零點所在區(qū)間為(1,2).,答案：B,4.若函數(shù)f(x)＝ax2－x－1僅有一個零點，求實數(shù)a的取 值是 .,解析：若a＝0，則f(x)＝－x－1為一次函數(shù)，易知函數(shù) 僅有一個零點；若a≠0，則函數(shù)f(x)為二次函數(shù)，若其 中有一個零點，則方程ax2－x－1＝0僅有一個實數(shù)根， 故 判別式Δ＝1＋4a＝0，得a＝－ .綜上可知a＝0 或a＝ － .,答案：0或－,5.(2010福建四地六校聯(lián)考)若函數(shù)f(x)＝ax＋b有一 個零點是1，則g(x)＝bx2－ax的零點是 .,解析：∵f(x)＝ax＋b的零點是1， ∴a＋b＝0， ∴g(x)＝bx2＋bx＝bx(x＋1)， ∴g(x)的零點是0，－1.,答案：0，－1,6.m為何值時，f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4 (1)有且僅有一個零點；(2)有兩個零點且均比－1大. 解：(1)若函數(shù)f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4有且僅有一個 零點， 則等價于Δ＝4m2－4(3m＋4)＝0， 即4m2－12m－16＝0，即m2－3m－4＝0， 解得m＝4或m＝－1. (2)若f(x)有兩個零點且均比－1大， 設(shè)兩零點分別為x1，x2，,則x1＋x2＝－2m，x1x2＝3m＋4， 故只需 故m的取值范圍是{m|－5＜m＜－1}.,