安徽省皖南八校高三第二次模擬考試 理科數(shù)學(xué)試題及答案

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1、 2014屆皖南八校高三第二次聯(lián)考 數(shù)學(xué)（理科）參考答案 一、 選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分） 題 號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答 案 A C B A A D B C D C 二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分） 11． 12． 13． 14． 15． ②③⑤ 三、解答題（本大題共6小題，共75分） 16．（本題滿分12分）已知中，、、是三個(gè)內(nèi)角、、的對(duì)邊，關(guān)于的不等式的解集是空集． （Ⅰ）求角的最大值； （Ⅱ）若，的面積，求角取最大值

2、時(shí)的值． 解：（Ⅰ）顯然 不合題意， 則， 即， 即 解得： 故角的最大值為． -------------------- 6分 （Ⅱ）當(dāng)=時(shí)，，∴， 由余弦定理得：， ∴，∴． -------------------- 12分 17．（本題滿分12分）從正方體的各個(gè)表面上的12條面對(duì)角線中任取兩條，設(shè)為兩條面對(duì)角線所成的角（用弧度制表示），如當(dāng)兩條面對(duì)角線垂直時(shí)，． （Ⅰ）求概率； （Ⅱ）求的分布列，并求其數(shù)學(xué)期望． 解：（Ⅰ）當(dāng)ξ＝0時(shí)，即所選的兩條面對(duì)角線平行．則P(ξ＝0)=．-------- 4分 （

3、Ⅱ）ξ＝0，； P(ξ＝0)==， P(ξ＝ )==， P(ξ＝ )==； ξ 0 P -------------------- 10分 Eξ＝． -------------------- 12分 18．（本題滿分12分）已知是正方形，直線⊥平面，且， （Ⅰ）求二面角的大?。? （Ⅱ）設(shè)為棱的中點(diǎn)，在的內(nèi)部或邊上 是否存在一點(diǎn)，使，若存在， 求出點(diǎn)的位置，若不存在說(shuō)明理由． 解：方法一： （Ⅰ）因?yàn)?，? 設(shè)平面的法向量為，則， 令，得，同理得平面的法向量為， 所以其法向量的夾角為，即二面角為．----------------

4、6分 （Ⅱ）∵，設(shè)，（，，），則． 由面，得． ∴存在點(diǎn)（即棱的的中點(diǎn)），使面．------------- 12分 F M O I H G 方法二： （Ⅰ）連結(jié)交于，則面， 作于，連結(jié)，則就是 二面角的平面角． ．=， ∴二面角為． （Ⅱ）存在的中點(diǎn)，使⊥平面． 是△中位線，，而面，故⊥平面． 19．（本題滿分13分）數(shù)列：滿足， （Ⅰ）設(shè)，求證是等比數(shù)列； （Ⅱ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （Ⅲ）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：． 解：（Ⅰ）由得， ，即， ∴是以2為公比的等比數(shù)列； -------------------- 4分 （Ⅱ）

5、 由， 即， ∴ -------------------- 8分 （Ⅲ） 　　　 ∴． -------------------- 13分 20．（本題滿分13分） 已知命題“若點(diǎn)是圓上一點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)的圓的切線方程為”． （Ⅰ）根據(jù)上述命題類比：“若點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)的切線方程為 ．”（寫(xiě)出直線的方程，不必證明）． （Ⅱ）已知橢圓：的左焦點(diǎn)為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，）． （ⅰ）求橢圓的方程； （ⅱ）過(guò)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)、分別作橢圓的兩條切線，求其交點(diǎn)的軌跡方程． 解：（Ⅰ）； ------

6、-------------- 3分 （Ⅱ）（ⅰ）； -------------------- 7分 （ⅱ）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)為，直線的方程為， 設(shè)A，B， 則橢圓在點(diǎn)處的切線方程為： ① 橢圓在點(diǎn)的切線方程為： ② 聯(lián)解方程① ②得：， 即此時(shí)交點(diǎn)的軌跡方程：． -------------------- 11分 當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為， 此時(shí)，經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的切線交點(diǎn)為 綜上所述，切線的交點(diǎn)的軌跡方程為：． -------------------- 13分 21．（本題滿分13分）已知函數(shù)

7、，（） （Ⅰ）若在定義域上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍； （Ⅱ）若函數(shù)有唯一零點(diǎn)，試求實(shí)數(shù)的取值范圍． 解：（Ⅰ）， ∴，∴， ∴， -------------------- 2分 令，則有根：， ，，函數(shù)單增； ，，函數(shù)單減； -------------------- 5分 ∴； -------------------- 6分 （Ⅱ）方法一： 由題，即有唯一正實(shí)數(shù)根； 令，即函數(shù)與函數(shù)有唯一交點(diǎn)；----------- 9分 ； 再令，，且易得， 故，當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)單調(diào)遞減； 草圖 當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)單調(diào)

8、遞增； 即， 又當(dāng)時(shí)，， 而當(dāng)時(shí)，且， 故滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍為：． -------------------- 13分 方法二： 有唯一正實(shí)數(shù)根， ，記； （?。┤簦?，即函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增， 又，，即函數(shù)有唯一零點(diǎn)； （ⅱ）若即，則，從而， 又當(dāng)時(shí)，，而當(dāng)時(shí)，； 故函數(shù)有唯一零點(diǎn)； （ⅲ）若，則，但方程的兩根滿足： ，即兩根均小于0， 故，從而， 由（ⅱ）同理可知，仍滿足題意； （ⅳ）若，同樣，則方程的兩根為： ，（舍）； 當(dāng)時(shí)，，故在為增函數(shù)， 當(dāng)時(shí)，，故在為減函數(shù)， 故，當(dāng)時(shí)，取得最大值； 則，即， 所以，即； 令，則，即為定義域上增函數(shù)， 又，所以方程有唯一解， 故，解得； 綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為：．