江蘇省泰州市姜堰區(qū)高三上學(xué)期期中考試 理科數(shù)學(xué)試題及答案

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1、姜堰區(qū)2015-2016學(xué)年度第一學(xué)期期中調(diào)研測試 高三年級數(shù)學(xué)試題（理） 2015．11 命題人：史記祥（省姜堰二中） 審核人：王如進 孟太 數(shù)學(xué)Ⅰ （本卷考試時間：120分鐘 總分160分） 一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分． 請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上． 1．若復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），則的實部為 ▲ ． 2．已知，若，則實數(shù)的取值范圍為 ▲ ． 3．若樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則數(shù)據(jù)的平均數(shù)為 ▲ ． 4．若滿足，則的最大值為 ▲ ． 5．根據(jù)如圖所示的偽代碼，可知輸出的結(jié)果為 ▲ ． S←1 I←

2、1 While I10 S←S＋2 I←I＋3 End While Print S （第5題圖） 6．設(shè) ，則“ ”是“ ”的 ▲ 條件（從“充分不必要”、“必 要不充分”、“既不充分也不必要”、“充要”中選擇）． 7．袋中有形狀、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只紅球，2只黃球，從中一次隨機摸出2只球，則這2只球中有黃球的概率為 ▲ ． 8．將函數(shù)圖像上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再將所得到的圖像向右平移個單位長度得到函數(shù)，則 ▲ ． 9．設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為，若，則 ▲ ．

3、 10．在中，點滿足，若，則 ▲ ． 11．若函數(shù)的值域是，則實數(shù)的取值范圍是 ▲ ． 12．過點作曲線的切線，切點為，設(shè)在軸上的投影是點，過點再作曲線的切線，切點為，設(shè)在軸上的投影是點，依次下去，得到第個切點，則點的坐標為 ▲ ． 13．如果函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，則的最大值為 ▲ ． 14．設(shè)，其中均為實數(shù)，下列條件中，使得該三次方程僅有一個實根的有 ▲ （寫出所有正確條件的編號） ①；②；③；④；⑤ 二、解答題：本大題共6小題，共計90分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟． 15．（本小題滿分1

4、4分） 已知函數(shù)． （1）求的最小正周期； （2）求在區(qū)間上的最小值． 16．（本小題滿分14分） 在平面直角坐標系中，已知向量． （1）若，求的值； （2）若與的夾角為，求的值． 17．（本小題滿分14分） 已知關(guān)于的方程． （1）若方程的一根在區(qū)間內(nèi)，另一根在區(qū)間內(nèi)，求實數(shù)的取值范圍； （2）若方程的兩根都在區(qū)間，求實數(shù)的取值范圍． 18．（本小題滿分16分） 強度分別為的兩個光源間的距離為．已知照度與光的強度成正比，與光源距離的平方成反比，比例系數(shù)為．線段上有一點，設(shè)，點處總照度為．試就時回答下列問題．

5、（注：點處的總照度為受光源的照度之和） （1）試將表示成關(guān)于的函數(shù)，并寫出其定義域； （2）問：為何值時，點處的總照度最?。? 19．（本小題滿分16分） 已知是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列， 是等差數(shù)列，且 ． （1）求和的通項公式； （2）設(shè)，其前項和為． ①求； ②若對任意恒成立，求的最大值． 20．（本小題滿分16分） 已知函數(shù)． （1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間； （2）證明：當時，； （3）確定實數(shù)的所有可能取值，使得存在，當時，恒有．

6、 數(shù)學(xué)Ⅱ （本卷考試時間：30分鐘 總分40分） 21A．（本小題滿分10分） 已知分別是內(nèi)角的對邊，已知，，且 求的面積． 21B．（本小題滿分10分） 設(shè)數(shù)列的前項和，且成等差數(shù)列，求數(shù)列的通項公式． 22．（本小題滿分10分） 投資生產(chǎn)產(chǎn)品時，每生產(chǎn)需要資金200萬元，需場地200，可獲得利潤300萬元；投資生產(chǎn)產(chǎn)品時，每生產(chǎn)需要資金300萬元，需場地100，可獲得利潤200萬元．現(xiàn)某單位可使用資金1400萬元，場地900，問：應(yīng)作怎樣的組合投資，可使獲利最大？ 23．（本小題滿分10分） 已知函

7、數(shù)． （1）求的單調(diào)性； （2）設(shè)曲線與軸正半軸的交點為，曲線在點處的切線方程為，求證：對于任意的正實數(shù),都有． 姜堰區(qū)2015-2016學(xué)年度第一學(xué)期期中調(diào)研測試 高三年級數(shù)學(xué)試題（理）參考答案 數(shù)學(xué)Ⅰ 1.2 2. 3.15 4.2 5.7 6.充分不必要 7. 8. 9.或3 10. 11. 12. 13.18 14. ①②③⑤ 15. 解：（1） -----------4分 所以的最小正周期

8、 -----------7分 （2）因為，所以 -----------9分 所以當，即時 -----------11分 取最小值為 -----------14分 16．解：（1）因為，所以 -----------4分 所以 因為，所以 -----

9、------7分 （2）由 -----------10分 因為，所以 -----------12分 所以，即 -----------14分 17．解：（1）令，由題意可知 ，即 -----------4分 解得

10、 -----------7分 （2）由題意可知 -----------10分 解得 -----------14分 18．解：（1）由題意可知： 點處受光源的照度為 -----------2分 點處受光源的照度為 -----------4分 從而，點的總照度為，

11、 -----------6分 其定義域為 -----------7分 （2）對函數(shù)求導(dǎo)，可得， -----------9分 令，得， 因為，所以，所以，解得 -----------11分 當 -----------13分 因此，時，取得極小值，且是最小值 -----------15

12、分 答：時，點處的總照度最小 -----------16分 19．解：（1）設(shè)的公比為，的公差為，由題意， 由已知,有 -----------1分 解得 -----------3分 所以的通項公式為, 的通項公式為----------5分 （2）由（1）有 ，則

13、 ----------7分 兩式相減得 所以 -----------10分 （3）令 由，得，即 解得對任意成立，即數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列， 所以的最小項為 -----------13分 因為對任意恒成立，所以， 所以的最小值為 -----------16分 20．解：（1）函數(shù)

14、的定義域為 -----------1分 對函數(shù)求導(dǎo)，得 -----------2分 由，得，解得 故的單調(diào)遞增區(qū)間為 -----------4分 證明：（2）令， 則有 -----------5分 當時，，所以在上單調(diào)遞減， -----------7分 故當時，，即時，

15、 -----------9分 解：（3）由（2）知，當時，不存在滿足題意； -----------10分 當時，對于，有， 則，從而不存在滿足題意； -----------12分 當時，令 則有 由得，． 解得 -----------14分 所以當時，，故在內(nèi)單調(diào)遞增， 從而當時，，即 綜上，的取值范圍是 -----------16分 數(shù)學(xué)Ⅱ 21A．解：由題意及正弦

16、定理可知：； 　 -----------3分 因為，由勾股定理得； 　　 　 　 -----------5分 又，所以解得； 　　 -----------7分 所以的面積． 　 -----------10分 21B．解：由已知， 有， 即. 　　　 　　 -----------5分 從而， 又因為成等差數(shù)列，即， 所以，解得；

17、 　 　-----------8分 所以，數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列， 故. 　 　-----------10分 22.解：設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品百噸，生產(chǎn)B產(chǎn)品百米，利潤為S百萬元，則 約束條件為 ； 　 　-----------3分 目標函數(shù)為 . 　 　-----------5分 作出可行域，將目標函數(shù)變形為 這是斜率為，隨S變化的一族直線.是直線在軸

18、上的截距，當最大時，S最大. 由圖象可知，使取得最大值的是兩直線與的交點 此時 -----------9分 答：生產(chǎn)A產(chǎn)品325噸，生產(chǎn)B產(chǎn)品250米時，獲利最大，且最大利潤為1475萬元. --10分 23.解：（1）由,可得, -----------1分 當 ,即 時,函數(shù) 單調(diào)遞增； 當 ,即 時,函數(shù) 單調(diào)遞減； 所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是 ,單調(diào)遞減區(qū)間是. -----------4分 （2）設(shè) ,則 , -----------5分 曲線 在點P處的切線方程為, 即； 令 即 　　　-----------6分 則；由于在 單調(diào)遞減， 所以在 單調(diào)遞減,又因為， 所以當時,,所以當時,, -----------8分 所以 在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減, 所以對任意的實數(shù)x,， 即對于任意的正實數(shù),都有. 　　　　　　　　　　　　　――----10分