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1、2014—2015學年度吉林一中“教與學”質(zhì)量檢測1
高三數(shù)學試題(理科)
(答題時間120分鐘，滿分150分)
一、選擇題(每小題5分，共60分)
1．已知集合，，則集合
A． B． C． D．
2．已知向量，若，則等于
A． B． C． D．
3． 若命題：，則：
A． B．
C． D．
4．兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于a km，燈塔A在觀察站C的北偏東20，燈塔B在觀察站C的南偏東40，則燈塔A與
2、燈塔B的距離為
A．a(chǎn) km B.a km
C．2a km D.a km
5．某程序框圖如圖所示，若輸出的S = 57，則判斷框內(nèi)應為
A．k＞5? B．k＞4?
C．k＞7? D．k＞6?
6．過點可作圓的兩條切線，則實數(shù)的取值范圍為
A．或 B．
C． 或 D．或
7. 若，若的最大值為，則的值是
A． B． C． D．
8．函數(shù)，若，則下列不等式一定成立的是
A
3、． B． C． D．
9．已知函數(shù)，其中為實數(shù)，若對恒成立，
且 ，則的單調(diào)遞增區(qū)間是
A． B．
C． D．
10．已知等比數(shù)列的公比且，又，則
A． B．
C． D．
11．已知橢圓，為其左、右焦點，為橢圓上任一點，的重心為，內(nèi)心，且有（其中為實數(shù)），橢圓的離心率
A． B． C． D．
12．已知函數(shù)，其導函數(shù)為．
①的單調(diào)減區(qū)間是； ②的極小值是；
③當時，對任意的且，恒有
④函數(shù)有且只有一個零點．其中真命題的個數(shù)為
A．1個
4、 B．2個 C．3個 D．4個
二、填空題(每小題5分，共20分)
13．設(shè) (其中e為自然對數(shù)的底數(shù))，則的值為 _________．
14．在平面直角坐標系中，已知的頂點和，頂點在雙曲線上，則為___________.
15．設(shè)是不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)的任意一點，向量，若，則的最大值為 ．
16．已知函數(shù)，若數(shù)列滿足（），且是遞增數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍是 ___________．
三、解答題
17．(本小題滿分10分)
已知是函數(shù)圖象的一條對稱軸．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）化簡的解析式，并作出函數(shù)在上的圖象簡圖（不要求寫作
5、圖過程）．
18．(本小題滿分12分)
已知等差數(shù)列{}的公差，它的前n項和為，若，且成等比數(shù)列，
（Ⅰ）求數(shù)列{}的通項公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{}的前n項和為，求證：．
19．(本小題滿分12分)
在中，內(nèi)角、、所對的邊分別為，其外接圓半徑為6， ，
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求的面積的最大值．
20．(本小題滿分12分)
在直角坐標系中，以原點為圓心的圓與直線相切．
（Ⅰ）求圓的方程；
（Ⅱ）若已知點，過點作圓的切線，求切線的方程．
21．(本小題滿分12分)
已知函數(shù)的圖象在點處的切線方程為.
（Ⅰ
6、）用表示出，；
（Ⅱ）若在上恒成立，求的取值范圍．
22．(本小題滿分12分)
已知橢圓：的一個焦點為，左右頂點分別為，.
經(jīng)過點的直線與橢圓交于，兩點.
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）當直線的傾斜角為時，求線段的長；
（Ⅲ）記與的面積分別為和，求的最大值.
數(shù)學 (理科)
參考答案及評分標準
一、選擇題
1． D； 2． D；3． A；4． D； 5． B；6． D ；7. A；8． A ；
9． C ；10． A ；11．A ；12． C ．
二、填空題
13．；14． ；15． 5 ；16．（2,3）．
三、解答題
17． (本
7、小題滿分10分)
解：（I）方法1：， ………………2分
∵是函數(shù)圖象一條對稱軸，∴， …………… 4分
即，∴； ………………6分
方法2：∵，∴最值是，
………………2分
∵是函數(shù)圖象的一條對稱軸，∴，
………………4分
∴，
整理得，∴； ………………6分
（II）
8、 ………………7分
在上的圖象簡圖如下圖所示． ………………10分
18．(本小題滿分12分)
解：(Ⅰ)由已知，， ………………2分
又成等比數(shù)列，
由且可
解得， ………………4分
，
故數(shù)列{}的通項公式為； ………………6分
(Ⅱ)證明：由(Ⅰ)， ………………7分
， …………
9、……9分
顯然，． ………………12分
19．(本小題滿分12分)
(Ⅰ)解： ，
………………3分
，……………………6分
(Ⅱ) ，即.
又. ………………………………8分
. ……………………10分
而時，. …………………………………………12分
20．(本小題滿分12分)
解：(Ⅰ)設(shè)圓的方程為x2＋y2＝r2， ……………
10、……………1分
由題可知，半徑即為圓心到切線的距離，故r＝＝2， ……………………3分
∴圓的方程是x2＋y2＝4； ………………………………4分
(Ⅱ) ∵|OP|＝＝>2，∴點P在圓外．
顯然，斜率不存在時，直線與圓相離． ……………………………6分
故可設(shè)所求切線方程為y－2＝k(x－3)，
即kx－y＋2－3k＝0. ……………………………8分
又圓心為O(0,0)，半徑r＝2，
而圓心到切線的距離d＝＝2，即|3k－2|＝2, ………………9分
∴k＝或k＝0，
11、 …………………………………11分
故所求切線方程為12x－5y－26＝0或y－2＝0． ……………………12分
21．(本小題滿分12分)
解： (Ⅰ)， ………………………………………1分
由題設(shè)，則有， …………………………3分
解得. ………………………………………4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，，
令，
則 ， ………………………………………5分
……………7分
①當 ，
若 ，則，是減函數(shù)，
12、
所以，當時，有， 即，
故在上不能恒成立． ……………………………9分
②當時，有
若，則，在上為增函數(shù)．
所以，當時，， 即，
故當時，． ……………………………………11分
綜上所述，所求的取值范圍為 ……………………12分
22．(本小題滿分12分)
解：（I）因為為橢圓的焦點,所以又
所以所以橢圓方程為 …………………………3分
（Ⅱ）因為直線的傾斜角為,所以直線的斜率為1,
所以直線方程為,和橢圓方程聯(lián)立得到
,消掉,得到 …………………………5分
所以
所以
13、…………………………6分
（Ⅲ）當直線無斜率時,直線方程為,
此時, 面積相等， …………7分
當直線斜率存在（顯然）時,設(shè)直線方程為,
設(shè)
和橢圓方程聯(lián)立得到,消掉得
顯然，方程有根，且 ………………8分
此時
………………………………10分
因為,上式，（時等號成立）
所以的最大值為 ………………………………12分
另解：（Ⅲ）設(shè)直線的方程為：，則
由 得，．
設(shè)，，
則，． ………………8分
所以，，，
……………………10分
當時，．
由，得 ．
當時，
從而，當時，取得最大值．…………………………12分
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