大學(xué)物理第4章 狹義相對(duì)論時(shí)空觀習(xí)題解答(改)

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1、15 習(xí) 題 4-1 一輛高速車以0.8c的速率運(yùn)動(dòng)。地上有一系列的同步鐘，當(dāng)經(jīng)過(guò)地面上的一臺(tái)鐘時(shí)，駕駛員注意到它的指針在，他即刻把自己的鐘撥到。行駛了一段距離后，他自己的鐘指到6 us時(shí)，駕駛員看地面上另一臺(tái)鐘。問(wèn)這個(gè)鐘的讀數(shù)是多少？ 【解】 所以地面上第二個(gè)鐘的讀數(shù)為 4-2 在某慣性參考系S中，兩事件發(fā)生在同一地點(diǎn)而時(shí)間間隔為4 s，另一慣性參考系S′ 以速度相對(duì)于S系運(yùn)動(dòng)，問(wèn)在S′ 系中測(cè)得的兩個(gè)事件的時(shí)間間隔和空間間隔各是多少？ 【解】已知原時(shí)，則測(cè)時(shí) 由洛倫茲坐標(biāo)變換，得： 4-3 S系中測(cè)得兩個(gè)事件的時(shí)空坐標(biāo)是x1=61

2、04 m，y1=z1=0，t1=210-4 s和x2=12104 m，y2=z2=0，t2=110-4 s。如果S′ 系測(cè)得這兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生，則S′ 系相對(duì)于S系的速度u是多少？S′ 系測(cè)得這兩個(gè)事件的空間間隔是多少？ 【解】，，， 4-4 一列車和山底隧道靜止時(shí)等長(zhǎng)。列車高速穿過(guò)隧道時(shí)，山頂上一觀察者看到當(dāng)列車完全進(jìn)入隧道時(shí)，在隧道的進(jìn)口和出口處同時(shí)發(fā)生了雷擊，但并未擊中列車。試按相對(duì)論理論定性分析列車上的旅客應(yīng)觀察到什么現(xiàn)象？這現(xiàn)象是如何發(fā)生的？ 【解】系（山頂觀察者）看雷擊同時(shí)發(fā)生，但車廂長(zhǎng)度短于山洞長(zhǎng)度，故未被擊中。 系（列車觀察者）看雷擊不同時(shí)發(fā)生

3、。雖然車廂長(zhǎng)度長(zhǎng)于山洞長(zhǎng)度，但出洞處先遭雷擊，入洞處后遭雷擊，此時(shí)車尾已經(jīng)進(jìn)入山洞。故未被擊中。 4-5 一飛船以0.99c的速率平行于地面飛行，宇航員測(cè)得此飛船的長(zhǎng)度為400 m。（1）地面上的觀察者測(cè)得飛船長(zhǎng)度是多少？（2）為了測(cè)得飛船的長(zhǎng)度，地面上需要有兩位觀察者攜帶著兩只同步鐘同時(shí)站在飛船首尾兩端處。那么這兩位觀察者相距多遠(yuǎn)？（3）宇航員測(cè)得兩位觀察者相距多遠(yuǎn)？ 【解】（1） （2）這兩位觀察者需同時(shí)測(cè)量飛船首尾的坐標(biāo)，相減得到飛船長(zhǎng)度，所以兩位觀察者相距是56.4 m。 （3）上的兩位觀察者相距56.4 m，這一距離在地面參考系中是原長(zhǎng)，宇航員看地面是運(yùn)動(dòng)的，他

4、測(cè)得地面上兩位觀察者相距為 所以宇航員測(cè)得兩位觀察者相距7.96 m。 4-6 一艘飛船原長(zhǎng)為l0，以速度v相對(duì)于地面作勻速直線飛行。飛船內(nèi)一小球從尾部運(yùn)動(dòng)到頭部，宇航員測(cè)得小球運(yùn)動(dòng)速度為u，求地面觀察者測(cè)得小球運(yùn)動(dòng)的時(shí)間。 【解】宇航員測(cè)得小球離開(kāi)尾部的時(shí)空坐標(biāo)為，小球到達(dá)頭部的時(shí)空坐標(biāo)為。地面上測(cè)得小球運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為： ， 4-7 在實(shí)驗(yàn)室中測(cè)得兩個(gè)粒子均以0.75c的速度沿同一方向飛行，它們先后擊中同一靜止靶子的時(shí)間間隔為510-8 s。求擊中靶子前兩個(gè)粒子相互間的距離。 【解】 4-8 在參考系S中，一粒子沿x軸做直線運(yùn)動(dòng)，從坐標(biāo)原點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到

5、x=1.50108 m處，經(jīng)歷時(shí)間Δt=1 s。試計(jì)算粒子運(yùn)動(dòng)所經(jīng)歷的原時(shí)是多少？ 【解】粒子在系中的速度為 原時(shí)為： 4-9 一個(gè)在實(shí)驗(yàn)室中以0.8c的速度運(yùn)動(dòng)的粒子飛行了3 m后衰變。實(shí)驗(yàn)室中的觀察者測(cè)量該粒子存在了多少時(shí)間？與粒子一起運(yùn)動(dòng)的觀察者測(cè)得該粒子在衰變前存在了多少時(shí)間？ 【解】實(shí)驗(yàn)室中的觀察者測(cè)得粒子的存在時(shí)間為： 與粒子一起運(yùn)動(dòng)的觀察者測(cè)得粒子的存在時(shí)間為原時(shí) 4-10 遠(yuǎn)方的一顆星體以0.8c的速率離開(kāi)我們。我們接收到它輻射出來(lái)的閃光周期是5晝夜，求固定在星體上的參考系測(cè)得的閃光周期。 【解】我們接收的閃光周期是測(cè)時(shí)，固定在星體上的參考系測(cè)

6、得的閃光周期為原時(shí)，即原時(shí)為： 4-11 一星體與地球之間的距離是16光年。一觀察者乘坐以0.8c速度飛行的飛船從地球出發(fā)向著星體飛去。該觀察者測(cè)得飛船到達(dá)星體所花的時(shí)間是多少？試解釋計(jì)算結(jié)果。 【解】星體與地球之間的距離是原長(zhǎng)，飛船上的觀察者測(cè)得的距離是測(cè)長(zhǎng)，測(cè)長(zhǎng)為： 地球上的觀察者測(cè)得飛船到達(dá)星體所花的時(shí)間為： 飛船上的觀察者測(cè)得的時(shí)間是原時(shí)，地球上的觀察者測(cè)得飛船到達(dá)星體所花的時(shí)間為測(cè)時(shí)，這正是時(shí)間膨脹的一種表現(xiàn)。 4-12 一根固有長(zhǎng)度為1 m的尺子靜止在S′系中，與O′x′軸成30角。如果在S系中測(cè)得該尺與Ox軸成45角，則S′ 系相對(duì)于S系的速度u是多

7、少？S系測(cè)得該尺的長(zhǎng)度是多少？ 【解】在系中，米尺在x′ 軸方向的投影長(zhǎng)度為： 在y′ 軸方向的投影長(zhǎng)度為： 在系中，米尺在y 軸方向的投影長(zhǎng)度不變， 由于米尺在S系中測(cè)得該尺與Ox軸的夾角為45，則在x 軸方向的投影長(zhǎng)度為：，即 S′ 系相對(duì)于S系的速度為： S 系中測(cè)得該尺的長(zhǎng)度為： 4-13 一立方體的質(zhì)量和體積分別為m0和V0。求立方體沿其一棱的方向以速速u運(yùn)動(dòng)時(shí)的體積和密度。 【解】 設(shè)立方體沿x方向運(yùn)動(dòng)，立方體的一條棱邊平行于x軸。 立方體的原邊長(zhǎng)為 運(yùn)動(dòng)時(shí)，沿x軸方向邊長(zhǎng)為： 因此物體的體積為： 運(yùn)動(dòng)時(shí)，物體的質(zhì)量為： 因此運(yùn)動(dòng)時(shí)物體的密度

8、為： 4-14 直桿縱向平行于S系的Ox軸勻速運(yùn)動(dòng)，在S系中同時(shí)標(biāo)出該桿兩端的位置，并測(cè)得兩端坐標(biāo)差Δx1=4 m。若在固定于桿上的S′ 系中同時(shí)標(biāo)出該桿兩端的位置，則在S′ 系中測(cè)得兩端坐標(biāo)差Δx2=9 m。求桿本身的長(zhǎng)度和桿相對(duì)于S系的運(yùn)動(dòng)速度。 【解】根據(jù)題意可知，在S′ 系中測(cè)得桿的長(zhǎng)度即為原長(zhǎng)。 根據(jù)長(zhǎng)度收縮關(guān)系式 是在系中測(cè)得桿的長(zhǎng)度 【解】（邱雄習(xí)題答案）設(shè)直桿的原長(zhǎng)為，根據(jù)題意可知，在S′ 系中測(cè)得桿的長(zhǎng)度即為原長(zhǎng)。 是在系中測(cè)得桿的長(zhǎng)度 是系測(cè)得的距離（原長(zhǎng)），在系測(cè)得為（縮短了） 這個(gè)題目的Δx2=9 m

9、是在S系中的兩個(gè)坐標(biāo)之差，不是原長(zhǎng)。如果用洛侖茲變換解這題的第二次測(cè)量，會(huì)更容易理解。以下是我的解法。 【解】在S′ 系中，不管是否同時(shí)測(cè)量，桿兩端坐標(biāo)差都是原長(zhǎng)，設(shè)直桿的原長(zhǎng)為。 第一次測(cè)量，Δx1=4 m是動(dòng)長(zhǎng)，可以直接用長(zhǎng)度收縮公式，有以下關(guān)系： （1） 第二次測(cè)量，Δt2′ =0 Δx2=9 m Δx2′ =L0 由洛侖茲變換 得到下面式子 （2） 由（1）（2）得到 4-15 從地球上測(cè)得地球到最近的恒星半人馬座α星的距離是4.31016 m，設(shè)一宇宙飛船以速

10、度0.99c從地球飛向該星。（1）飛船中的觀察者測(cè)得地球和該星間距離是多少？（2）按照地球上的時(shí)鐘計(jì)算，飛船往返一次需要多少時(shí)間？若以飛船上的時(shí)鐘計(jì)算，往返一次的時(shí)間又為多少？ 【解】（1）設(shè)地球?yàn)镾系，飛船為S’系。地球上測(cè)得地球到半人馬座α星的距離為原長(zhǎng)，飛船測(cè)得的距離為測(cè)長(zhǎng)。則： （2）地球上的時(shí)鐘計(jì)算飛船往返一次所需的時(shí)間為 地球上的時(shí)鐘計(jì)算飛船往返一次所需的時(shí)間為測(cè)時(shí)，以飛船時(shí)鐘計(jì)為原時(shí)，則 4-16 天津和北京相距120 km。在北京于某日上午9時(shí)整有一工廠因過(guò)載而斷電。同日在天津于9時(shí)0分0.0003秒有一自行車與卡車相撞。試求在以沿北京到天津方向飛行的

11、飛船中的觀察者看來(lái)，這兩個(gè)事件相距多遠(yuǎn)？這兩個(gè)事件之間的時(shí)間間隔是多少？哪一事件發(fā)生的更早？ 【解】（1）設(shè)飛船為系，地球?yàn)橄?，北京發(fā)生事件1，天津發(fā)生事件2。飛船測(cè)得這兩個(gè)事件的距離為： （2）飛船測(cè)得這兩個(gè)事件的時(shí)間間隔為： ，所以天津的事件先發(fā)生。 4-17 地球上的觀察者發(fā)現(xiàn)，一艘以的速度航行的宇宙飛船在5 s后同一個(gè)以的速度與飛船相向飛行的彗星相撞。（1）飛船上的人看到彗星以多大速率向他們接近。（2）按照飛船上觀察者的鐘，還有多少時(shí)間允許它離開(kāi)原來(lái)的航線以避免相撞？ 【解】（1）設(shè)地球?yàn)橄?，飛船為系。由洛倫茲速度變換，在飛船測(cè)得的彗星速度為： 即彗星

12、以的速率向飛船接近。 （2）飛船上測(cè)得測(cè)得離發(fā)生碰撞的時(shí)間間隔為： 4-18 一原子核以0.6c的速率離開(kāi)某觀察者運(yùn)動(dòng)。原子核在它的運(yùn)動(dòng)方向上向后發(fā)射一光子，向前發(fā)射一電子。電子相對(duì)于核的速度為0.8c。對(duì)于靜止的觀察者，電子和光子各具有多大的速度？ 【解】設(shè)觀察者所在參考系為S系，原子核為S’系。 洛倫茲速度變換式 由題意可知，，電子，光子 電子的速度 光子的速度 4-19 （1）火箭A以0.8c的速度相對(duì)于地球向正東飛行，火箭B以0.6c的速度相對(duì)于地球向正西飛行，求火箭B測(cè)得火箭Ａ的速度大小和方向。（2）如果火箭A向正北飛行，火箭B仍向正西

13、飛行，由火箭B測(cè)得火箭Ａ的速度大小和方向又是如何？ 【解】取正東為軸的正向，正北為軸的正向，根據(jù)洛倫茲速度相對(duì)變換式 ， ， （1）將，，，代入，得： 即在火箭B上測(cè)得火箭Ａ的速度大小為，方向?yàn)檎龞|。 （2）將，，，代入，得： ， 即在火箭B上測(cè)得火箭Ａ的速度大小為，方向?yàn)闁|偏北。 4-20 北京正負(fù)電子對(duì)撞機(jī)中，電子可以被加速到能量為。求：（1）這個(gè)電子的質(zhì)量是其靜止質(zhì)量的多少倍？（2）這個(gè)電子的速率為多大？和光速相比相差多少？（3）這個(gè)電子的動(dòng)量有多大？ 【解】（1）根據(jù)，可得： 即這個(gè)電子的質(zhì)量是其靜止質(zhì)量的5883倍。

14、（2）由上式可計(jì)算出這個(gè)電子的速率為： 與光速相比，相差： （3）電子的動(dòng)量為： 由于，所以有 4-21 一個(gè)電子的總能量是它靜能的5倍，求它的速率、動(dòng)量、總能分別是多少？ 【解】（1）根據(jù)，，可得： 由，求得電子的速率為： （2）電子的動(dòng)量： （3）電子的能量： 4-22 （1）把一個(gè)靜止質(zhì)量為m0的粒子由靜止加速到0.1c所需的功是多少？（2）由速率0.89c加速到0.99c所需的功又是多少？ 【解】（1）由相對(duì)論的功能關(guān)系，電子由靜止加速到0.1c所需的功為： （2）同理，電子由速率0.89c加速到0.99c所需的功為： 4-

15、23 一個(gè)電子由靜止出發(fā)，經(jīng)過(guò)電勢(shì)差為1.0104 V的均勻電場(chǎng)，電子被加速。已知電子靜止質(zhì)量為m0=9.1110-31 kg，求：（1）電子被加速后的動(dòng)能；（2）電子被加速后質(zhì)量增加的百分比；（3）電子被加速后的速率。 【解】（1）根據(jù) （2）由相對(duì)論的動(dòng)能表達(dá)式，可得質(zhì)量的增量為： 電子質(zhì)量增加的百分比為： （3）電子加速后質(zhì)量為： 由質(zhì)速關(guān)系式，可得： 4-24 一個(gè)質(zhì)子的靜止質(zhì)量為，一個(gè)中子的靜止質(zhì)量為，一個(gè)質(zhì)子和一個(gè)中子結(jié)合成的氘核的靜止質(zhì)量為。求結(jié)合過(guò)程中放出的能量是多少M(fèi)eV？這能量稱為氘核的結(jié)合能，它是氘核靜能的多少倍？ 【解】氘核的結(jié)合能為：

16、 即這一結(jié)合能是氘核靜能的0.12%倍。 4-25 太陽(yáng)發(fā)出的能量是由質(zhì)子參與一系列反應(yīng)產(chǎn)生的，其總結(jié)果相當(dāng)于熱核反應(yīng)：。 已知：一個(gè)質(zhì)子（）的靜止質(zhì)量是，一個(gè)氦核（）的靜止質(zhì)量是，一個(gè)正電子（）的靜止質(zhì)量是。求：這一反應(yīng)所釋放的能量是多少？（2）消耗1kg的質(zhì)子可以釋放的能量是多少？（3）目前太陽(yáng)輻射的總功率為，它一秒鐘消耗多少千克質(zhì)子？ 【解】（1）釋放能量為： （2）消耗1kg的質(zhì)子釋放的能量為： （3）太陽(yáng)一秒鐘消耗質(zhì)子的質(zhì)量為： 4-26 兩個(gè)靜止質(zhì)量都是m0 的小球，其中一個(gè)靜止，另一個(gè)以v=0.8c運(yùn)動(dòng)。它們對(duì)心碰撞后粘在一起，求碰后合成小球的靜止質(zhì)量。 【解】?jī)尚∏蚺鲎睬昂竽芰渴睾?，則有： 兩小球碰撞前后動(dòng)量守恒，則有： 將代入，解得：， 因?yàn)?，所以有? 即碰撞后合成小球的靜止質(zhì)量為。 4-27 在什么速度下粒子的動(dòng)量等于非相對(duì)論動(dòng)量的2倍？又在什么速度下粒子的動(dòng)能等于非相對(duì)論動(dòng)能的2倍？ 【解】對(duì)動(dòng)量問(wèn)題，由題意可知： 解得： 對(duì)能量問(wèn)題有： 解得： 15