2019-2020年高中數(shù)學(xué) 1.1 2基本計(jì)數(shù)原理和排列組合教案 新人教A版選修選修2-3.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 1.1 2基本計(jì)數(shù)原理和排列組合教案 新人教A版選修選修2-3一. 本周教學(xué)內(nèi)容：選修23 基本計(jì)數(shù)原理和排列組合二. 教學(xué)目標(biāo)和要求 1. 掌握分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理，并能用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題。 2. 理解排列和組合的概念，能利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式，組合數(shù)公式，并解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。 3. 讓學(xué)生體會(huì)思想與方法，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。注意問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，分類討論，注重?cái)?shù)形結(jié)合，學(xué)會(huì)從不同的切入點(diǎn)解決問(wèn)題。三. 重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn)：兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理的內(nèi)容；排列和組合的定義，排列數(shù)和組合數(shù)公式及其應(yīng)用難點(diǎn)：兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用和應(yīng)用排列組合數(shù)公式解決實(shí)際的問(wèn)題四. 知識(shí)要點(diǎn)解析1. 兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理（1）分類加法計(jì)數(shù)原理：做一件事情，完成它有n類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的辦法在第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事情共有Nm1m2mn種不同的方法 （2）分步乘法計(jì)數(shù)原理：做一件事情，完成它需要分成n個(gè)步驟，做第一個(gè)步驟有m1種不同的方法，做第二個(gè)步驟有m2種不同的辦法做第n個(gè)步驟有mn種不同的方法，那么完成這件事情共有Nm1m2mn種不同的方法說(shuō)明：（1）兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理是解決計(jì)數(shù)問(wèn)題最基本的理論根據(jù)，它們分別給出了用兩種不同方式（分類和分步）完成一件事情的方法總數(shù)的計(jì)算方法（2）考慮用哪個(gè)計(jì)數(shù)原理，關(guān)鍵是看完成一件事情是否能獨(dú)立完成，決定是分類還是分步。如果完成一件事情有n類辦法，每類辦法都能獨(dú)立完成，則用分類加法計(jì)數(shù)原理；如果完成一件事情，需要分成n個(gè)步驟，各個(gè)步驟都是不可缺少的，需要依次完成所有步驟，才能完成這件事情，則用分步乘法計(jì)數(shù)原理 （3）在解決具體問(wèn)題，要弄清是“分步”，還是“分類”，還要弄清“分步”或者“分類”的標(biāo)準(zhǔn)是什么，注意分類，分步不能重復(fù)，不能遺漏 2. 排列問(wèn)題（1）排列的定義：一般的，從n個(gè)不同的元素中任取m（mn）個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列說(shuō)明：定義中包含兩個(gè)基本內(nèi)容：一是“取出元素”，二是“按一定順序排列”一個(gè)排列就是完成一件事情的一種方法不同的排列就是完成一件事情的不同方法兩個(gè)排列相同，需要滿足兩個(gè)條件：一是元素相同，二是順序相同從n個(gè)不同的元素全部取出的一個(gè)排列，叫做n個(gè)不同元素的一個(gè)全排列，記作（2）排列數(shù)的定義：從n個(gè)不同的元素中任取m（mn）個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中任取m個(gè)元素的排列數(shù)。用符號(hào) （3）排列數(shù)公式：（讀作n的階乘），0！1 說(shuō)明： 公式右邊是m個(gè)從大到小的連續(xù)正整數(shù)之積，最大的因數(shù)是n，最小的因數(shù)是nm1n的階乘是正整數(shù)n到1的連乘積3. 組合問(wèn)題（1）組合的定義：一般地，從n個(gè)不同的元素中任取m（mn）個(gè)元素，并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合 說(shuō)明： 如果兩個(gè)組合中元素完全相同，不管它們的順序如何都是相同的組合當(dāng)兩個(gè)組合中元素不完全相同，就是不同的組合排列和組合的區(qū)別：排列和順序有關(guān)，而組合和順序無(wú)關(guān)（2）組合數(shù)定義：從n個(gè)不同的元素中任取m（mn）個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中任取m個(gè)元素的組合數(shù)。用符號(hào) （3）組合數(shù)公式： （4）組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)： 4. 排列和組合的關(guān)系：（1）二者區(qū)別的關(guān)鍵：是否和順序有關(guān)（2）二者的聯(lián)系： 5. 解決站隊(duì)和組數(shù)的常用方法：（1）特殊位置（或元素）優(yōu)先考慮法：解決在與不在的問(wèn)題（2）捆綁法：解決元素相鄰的問(wèn)題（3）插空法：解決元素不相鄰的問(wèn)題（4）間接法：先總體考慮，后排除不符合條件的，轉(zhuǎn)化問(wèn)題【典型例題】例1. （1993年全國(guó)高考） 同室4人各寫一張賀年卡片，先集中起來(lái)，然后每人從中拿一張別人送出的賀年卡片，則4張賀年卡片不同的分配方式有：（ ） A. 6種B. 9種C. 11種D. 23種 錯(cuò)解： 32116 選（A） 3221111 選（C） 3222123 選 （D） 錯(cuò)解原因：由于本人不能拿自己寫的卡片這一限制條件，導(dǎo)致它們之間有過(guò)多的相互影響的限制，因此三種解法都沒(méi)有能全面考慮。有的重復(fù)有的遺漏，思路不清晰，從而錯(cuò)解本題。 由于本題4這個(gè)數(shù)目不大，設(shè)4人分別編號(hào)甲，乙，丙，丁，4人對(duì)應(yīng)卡片分別編號(hào)1，2，3，4，我們可以采用窮舉法逐一列舉如下：2 1 4 3 2 3 4 1 2 4 1 33 1 4 2 3 4 2 1 3 4 1 24 1 2 3 4 3 1 2 4 3 2 1共有9種，所以正確答案選（B）分析：建立數(shù)學(xué)模型將賀年卡片的分配問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，用1，2 ，3，4這4個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)的四位數(shù)，其中1不在千位，2不在百位，3不在十位，4不在個(gè)位的4位數(shù)共有多少個(gè)？思路：用乘法原理，千位只能放2，3，4三種；在放過(guò)數(shù)字2后，百位只能放1，3，4三種，后兩位已經(jīng)確定。類似的，當(dāng)千位數(shù)字是3，十位只能放1，2，4，其余也已確定 3319 ，共有9種，所以正確答案選（B）評(píng)析：要分析清楚它們之間的關(guān)系，注意問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，和數(shù)學(xué)問(wèn)題聯(lián)系起來(lái)，建立數(shù)學(xué)模型。例2. （xx年全國(guó)高考文科）將3種作物種植在如圖所示的5塊試驗(yàn)田里，每塊種植一種作物且相鄰的試驗(yàn)田不能種植同一作物，不同的種植方法共有 種（以數(shù)字作答）錯(cuò)解：按照乘法原理3222248種錯(cuò)解原因：這48種里面有不符合條件的，設(shè)三種作物為ABC，例如下面情況是存在的ABABA，BABAB只有兩種作物，不符合題意，共有種正確解法：48642種例3. 從包含甲的若干名同學(xué)中選出4名分別參加數(shù)學(xué)，物理，化學(xué)和英語(yǔ)競(jìng)賽，每名學(xué)生只能參加一科競(jìng)賽，且任2名同學(xué)不能參加同一科競(jìng)賽，若甲不參加物理和化學(xué)競(jìng)賽，則共有72種不同的參賽方案，問(wèn)一共有多少同學(xué)？分析：若設(shè)共有n名同學(xué)，則我們可以用n把參賽方法總數(shù)表示出來(lái)，這種實(shí)際上就是得到了一個(gè)關(guān)于n的方程，解方程即可求出n的值解：設(shè)共有n名同學(xué)，首先從這n名同學(xué)中選出4人，然后再分別參加競(jìng)賽，按同學(xué)甲分類：第一類，不選甲，則從剩下的n1名同學(xué)中選出4人分別參加4科競(jìng)賽，有種參賽方式；第二類，選甲，首先安排甲，有種方法，再?gòu)氖Ｏ碌膎1名同學(xué)中選出3人參加剩下的3科競(jìng)賽，有種方法，共有種參賽方式，所以根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，一共有種方法，根據(jù)題意得72，解得n5評(píng)析：對(duì)于這類較為復(fù)雜的問(wèn)題，我們往往感到無(wú)從下手，如果，從競(jìng)賽學(xué)科的角度來(lái)思考，則需要分很多種情況，容易出錯(cuò)。這時(shí)我們可以采用“先取后排”的原則：即首先取出符合條件的元素，再按要求把它們排起來(lái)，這樣解答比較條理，有利于問(wèn)題的解決。同學(xué)們?cè)谒伎歼@個(gè)問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是要理清思路，注意問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，不要“一條道走到黑”，不要“鉆牛角尖”。當(dāng)然這道題也可采用“先特殊后一般”的原則解決，大家不妨一試。例4. 用0到9這十個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的（1）五位數(shù) （2）五位奇數(shù) （3） 五位偶數(shù) （4）數(shù)字0不選上，但數(shù)字2，3必須選上且相鄰的五位數(shù)解：（1）首位是特殊位置，按照特殊位置優(yōu)先考慮的方法，第一步：首位共有方法，第二步：從剩余的9個(gè)數(shù)字（包括數(shù)字0）中選取4個(gè)排列，共有種方法 根據(jù)乘法原理：共有27216種（2）填空法思路一：首位和末位都是特殊位置，如果先考慮首位，則有首位是奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況，分類討論：首位奇數(shù)，則有種，末位為奇數(shù)有種，其余種，所以共有6720種方法。首位偶數(shù)，不能為0，則有種，末位為奇數(shù)有種，其余種，所以共有6720種方法，則共有13440種思路二：先確定末位為奇數(shù)，有種，首位不能為0，則有種，其余種，所以共有13440種分析：兩個(gè)特殊位置中末位更特殊，注意分析，有利于解決問(wèn)題，在這里我詳細(xì)分析，注意體會(huì)，并在解題中加以應(yīng)用。（3）思路一：末位偶數(shù)，分兩類：末位是0，則首位有種，其余有；末位不是0，有種， 則首位有種，其余有，所以共有13776種思路二：（間接法）利用五位數(shù)的方法數(shù)27216種，減去五位奇數(shù)的方法數(shù)13440種，所以共有272161344013776種（4）數(shù)字0不選上，但數(shù)字2，3必須選上且相鄰的五位數(shù)第一步：選元素，數(shù)字2，3必須選上，然后再選擇3個(gè)元素，有種第二步：排順序，把2，3看成一個(gè)元素，俗稱“捆綁”，共有4個(gè)元素排順序，有種，但，2，3兩元素還有順序，有種所以共有1680種分析：該例題涉及組數(shù)，關(guān)鍵分清題目中的條件的限制，常用方法就是，特殊位置（元素）優(yōu)先考慮，優(yōu)先安排；相鄰問(wèn)題可以用捆綁法；不相鄰問(wèn)題可以用插空法；直接來(lái)求情況較多，也可以用間接法。只有理解了題意，明白題目的意圖，這些方法才能熟練應(yīng)用。 思考：如何解決這個(gè)問(wèn)題？用1到9這九個(gè)數(shù)組成九位數(shù)，要求偶數(shù)不能相鄰，問(wèn)有多少種不同的排法？例5. 六本不同的書，根據(jù)下列條件分配，各有多少種不同的分配方案？（1）甲兩本，乙兩本，丙兩本（2）甲一本，乙兩本，丙三本（3）一人一本，一人兩本，一人三本（4）平均分成3堆解：（1）有編號(hào)，有分步計(jì)算原理得種 （2）有編號(hào)，甲有，乙有，丙有，所以共有60種（3）無(wú)編號(hào)，先分組后分配給甲乙丙，分組有，分配有，所以共有360種 （4）平均分組種【模擬試題】一、選擇題1. 已知橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，且，這樣的橢圓共有（ ）個(gè) A. 9B. 12C. 15D. 302. 某賽季足球比賽的計(jì)分規(guī)則是：勝一場(chǎng)得3分，平一場(chǎng)得1分，負(fù)一場(chǎng)得0分，一球隊(duì)打完15場(chǎng)比賽，積分33分，若不考慮順序，該隊(duì)勝平負(fù)的情況共有（ ）種 A. 3B. 4C. 5D. 63. （1991年全國(guó)高考） 從4名甲型和5名乙型電視機(jī)中任意取出3臺(tái)，其中至少要有甲型與乙型電視機(jī)各一臺(tái)，不同的取法共有（ ）種 A. 140B. 84C. 70D. 354. 四個(gè)不同的小球放入編號(hào)1，2，3，4的四個(gè)盒子中，則恰有一個(gè)空盒的方法共有（ ）種 A. 288B. 144C. 72D. 以上都不對(duì)5. 四面體的和各棱中點(diǎn)共有10個(gè)點(diǎn)，在其中取四個(gè)不共面的點(diǎn)，不同的取法有（ ）種 A. 150B. 147C. 144D. 1416. 八個(gè)不同顏色的小球已平均分裝在4個(gè)箱子中，現(xiàn)從不同的箱子中取出2個(gè)彩球，則不同的取法共有（ ）種 A. 6B. 12C. 24D. 287. 每天上午有4節(jié)課，下午2節(jié)課，安排5門不同的課程，其中安排一門課兩節(jié)連在一起上，則一天安排不同課程的種數(shù)為（ ） A. 96B. 120C. 480D. 6008. 五個(gè)人排成一排，其中甲不在排頭，乙不在排尾，不同的排法有（ ）種 A. 120B. 78C. 96D. 729. 從不同號(hào)碼的5雙鞋中任取4只，其中恰好有一雙的取法種數(shù)為（ ） A. 120B. 60C. 240D. 280 10. 分別在三張卡片的正反面上寫有1與2，3與4 ，5與6，且6可以當(dāng)9用，把這三張卡片拼在一起，表示一個(gè)三位數(shù)，則三位數(shù)的個(gè)數(shù)共有（ ）個(gè) A. 12B. 24C. 48D. 72二、填空題1. 有100個(gè)三好學(xué)生名額，分配到高三年級(jí)60班，每班至少一個(gè)名額，共有 種不同的分配方案。2. 馬路上有8盞路燈，為節(jié)約用電又不影響正常的照明，可把其中的3盞燈關(guān)掉，但不能同時(shí)關(guān)掉相鄰的兩盞或者三盞，也不能關(guān)掉兩端的燈，那么滿足條件的關(guān)燈方法共有 種。3. 三個(gè)人坐在一排8個(gè)座位上，若每人兩邊都有空位，則坐法種數(shù)為 4. 計(jì)算 5. 若 ，則x 6. 十只產(chǎn)品中有4只次品，6只正品，每次取出一個(gè)測(cè)試，直到 4只次品全測(cè)出為止，則第4只次品在第5次測(cè)試時(shí)被發(fā)現(xiàn)的情形共有 種 三、解答題（套題） 有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，不同的排法有多少種？（1）全體排成一排（2）選其中5人排成一排（3）全體排成一排，其中甲只能在中間或者兩頭位置（4）全體排成一排，甲乙必須在兩頭（5）全體排成一排，甲不在最左邊，乙不在最右邊（6）全體排成一排，男女生各一邊（7）全體排成一排，男生必須排在一起（8）全體排成一排，其中甲必須在乙的左邊（9）全體排成一排，男生不能排在一起（10）全體排成一排，甲乙兩人之間必須有3人（11）排成前后兩排，前排3人，后排4人（12）排成前后2排，甲必須在前排請(qǐng)做完之后，再看答案【試題答案】一、選擇題1. A2. A3. C4. B5. D6. C7. C8. B9. A10. D二、填空題1. 擋板法，把100個(gè)名額看成100個(gè)位置，中間有99個(gè)空，插入59個(gè)擋板，分成60部分，即 種 2. 插空法：?jiǎn)栴}轉(zhuǎn)化為“在5盞亮燈的4個(gè)空中插入3盞暗燈”所以4種3. 244. 利用 ，結(jié)果為 5. 2x7x或2x7x20，解得x7或x96. 第4只次品在第5次測(cè)試時(shí)被發(fā)現(xiàn)，說(shuō)明前四次測(cè)試中有3只次品，一只正品，第5次一定是次品，所以共有 種不同的方法。三、解答題（套題）【勵(lì)志故事】寬恕的力量在美國(guó)南北戰(zhàn)爭(zhēng)期間，有個(gè)名叫羅斯韋爾麥金太爾的年輕人被征入騎兵營(yíng)。由于戰(zhàn)事進(jìn)展不順，士兵奇缺，在幾乎沒(méi)有接受任何訓(xùn)練的情況下，他就被臨時(shí)派往戰(zhàn)場(chǎng)。在戰(zhàn)斗中，年輕的麥金太爾擔(dān)驚受怕，終于開小差逃跑了。后來(lái)，他以臨陣脫逃的罪名被軍事法庭判處死刑。當(dāng)麥金太爾的母親得知這個(gè)消息后，她向當(dāng)時(shí)的總統(tǒng)林肯發(fā)出請(qǐng)求。她認(rèn)為自己的兒子年紀(jì)輕輕，少不更事，他需要第二次機(jī)會(huì)來(lái)證明自己。然而部隊(duì)的將軍們力勸林肯嚴(yán)肅軍紀(jì)，聲稱如果開了這個(gè)先例，必將削弱整個(gè)部隊(duì)的戰(zhàn)斗力。在這種情況下，林肯陷入兩難境地。經(jīng)過(guò)一番深思熟慮后，他最終決定寬恕這個(gè)年輕人，并說(shuō)了這樣一句著名的話：“我認(rèn)為，把一個(gè)年輕人槍斃對(duì)他本人絕對(duì)沒(méi)有好處?！睘榇怂H自寫了一封信，要求將軍們放麥金太爾一馬：“本信將確保羅斯韋爾麥金太爾重返兵營(yíng)，在服完規(guī)定年限的兵役后，他將不受臨陣脫逃的指控?！比缃?，這封褪了色的林肯親筆簽名信被一家著名的圖書館收藏展覽。這封信的旁邊還附帶了一張紙條，上面寫著：“羅斯韋爾麥金太爾犧牲于弗吉尼亞的一次激戰(zhàn)中，此信是在他的貼身口袋里發(fā)現(xiàn)的?！币坏┍唤o予第二次機(jī)會(huì)，麥金太爾就由怯懦的逃兵變成了無(wú)畏的勇士，并且戰(zhàn)斗到自己生命的最后時(shí)刻。由此可見(jiàn)，寬恕的力量何等巨大！由于種種原因，人不可能不犯錯(cuò)誤，但只有寬恕才能給他第二次機(jī)會(huì)，也才有可能讓他彌補(bǔ)先前的過(guò)失。小編插語(yǔ)寬恕別人，也是在善待自己，這樣我們才能收獲更多。