2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 函數(shù) 第10課時(shí) 函數(shù)模型及其應(yīng)用教學(xué)案.doc

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2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 函數(shù) 第10課時(shí) 函數(shù)模型及其應(yīng)用教學(xué)案2建立函數(shù)模型：將變量y表示為x的函數(shù)，在中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)，我們建立的函數(shù)模型一般都是函數(shù)的解析式；3求解函數(shù)模型：根據(jù)實(shí)際問題所需要解決的目標(biāo)及函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)正確選擇函數(shù)知識(shí)求得函數(shù)模型的解，并還原為實(shí)際問題的解.這些步驟用框圖表示是：實(shí)際問題函數(shù)模型抽象概括實(shí)際問題的解函數(shù)模型的解還原說明運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)典型例題例1. 如圖所示，在矩形ABCD中，已知AB=a，BC=b（ba）,在AB，AD，CD，CB上分別截取AE，AH，CG，CF都等于x，當(dāng)x為何值時(shí)，四邊形EFGH的面積最大？并求出最大面積.解： 設(shè)四邊形EFGH的面積為S，則SAEH=SCFG=x2,SBEF=SDGH=（a-x）（b-x），S=ab-22+（a-x）（b-x）=-2x2+（a+b）x=-2（x-2+由圖形知函數(shù)的定義域?yàn)閤|0xb.又0ba,0b,若b,即a3b時(shí)，則當(dāng)x=時(shí)，S有最大值;若b,即a3b時(shí)，S（x）在（0,b上是增函數(shù)，此時(shí)當(dāng)x=b時(shí)，S有最大值為-2(b-)2+=ab-b2,綜上可知，當(dāng)a3b時(shí)，x=時(shí)，四邊形面積Smax=,當(dāng)a3b時(shí)，x=b時(shí)，四邊形面積Smax=ab-b2.變式訓(xùn)練1：某商人將進(jìn)貨單價(jià)為8元的某種商品按10元一個(gè)銷售時(shí)，每天可賣出100個(gè)，現(xiàn)在他采用提高售價(jià)，減少進(jìn)貨量的辦法增加利潤(rùn)，已知這種商品銷售單價(jià)每漲1元，銷售量就減少10個(gè)，問他將售價(jià)每個(gè)定為多少元時(shí)，才能使每天所賺的利潤(rùn)最大？并求出最大值. 解：設(shè)每個(gè)提價(jià)為x元（x0），利潤(rùn)為y元，每天銷售總額為（10+x）（100-10x）元，進(jìn)貨總額為8（100-10x）元，顯然100-10x0,即x10,則y=（10+x）（100-10x）-8(100-10x)=(2+x)(100-10x)=-10(x-4)2+360 (0x10).當(dāng)x=4時(shí)，y取得最大值，此時(shí)銷售單價(jià)應(yīng)為14元，最大利潤(rùn)為360元.例2. 據(jù)氣象中心觀察和預(yù)測(cè)：發(fā)生于M地的沙塵暴一直向正南方向移動(dòng)，其移動(dòng)速度v（km/h）與時(shí)間t（h）的函數(shù)圖象如圖所示，過線段OC上一點(diǎn)T（t，0）作橫軸的垂線l，梯形OABC在直線l左側(cè)部分的面積即為t（h）內(nèi)沙塵暴所經(jīng)過的路程s（km）.（1）當(dāng)t=4時(shí)，求s的值；（2）將s隨t變化的規(guī)律用數(shù)學(xué)關(guān)系式表示出來；（3）若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，試判斷這場(chǎng)沙塵暴是否會(huì)侵襲到N城，如果會(huì)，在沙塵暴發(fā)生后多長(zhǎng)時(shí)間它將侵襲到N城？如果不會(huì)，請(qǐng)說明理由.解：（1）由圖象可知：當(dāng)t=4時(shí)，v=34=12,s=412=24.（2）當(dāng)0t10時(shí)，s=t3t=t2，當(dāng)10t20時(shí)，s=1030+30（t-10）=30t-150；當(dāng)20t35時(shí)，s=1030+1030+(t-20)30-(t-20)2(t-20)=-t2+70t-550.綜上可知s=(3)t0，10時(shí)，smax=102=150650.t（10，20時(shí)，smax=3020-150=450650.當(dāng)t（20，35時(shí)，令-t2+70t-550=650.解得t1=30,t2=40,20t35,t=30，所以沙塵暴發(fā)生30 h后將侵襲到N城.變式訓(xùn)練2：某工廠生產(chǎn)一種機(jī)器的固定成本（即固定投入）為0.5萬元，但每生產(chǎn)100臺(tái)，需要加可變成本（即另增加投入）0.25萬元.市場(chǎng)對(duì)此產(chǎn)品的年需求量為500臺(tái)，銷售的收入函數(shù)為R（x）=5x-（萬元）(0x5)，其中x是產(chǎn)品售出的數(shù)量（單位：百臺(tái)）.（1）把利潤(rùn)表示為年產(chǎn)量的函數(shù)；（2）年產(chǎn)量是多少時(shí)，工廠所得利潤(rùn)最大？（3）年產(chǎn)量是多少時(shí)，工廠才不虧本？解：（1）當(dāng)x5時(shí)，產(chǎn)品能售出x百臺(tái)；當(dāng)x5時(shí)，只能售出5百臺(tái)，故利潤(rùn)函數(shù)為L(zhǎng)（x）=R（x）-C（x）= (2)當(dāng)0x5時(shí)，L（x）=4.75x-0.5，當(dāng)x=4.75時(shí)，L(x)max=10.781 25萬元.當(dāng)x5時(shí)，L（x）=12-0.25x為減函數(shù)，此時(shí)L（x）10.75(萬元）.生產(chǎn)475臺(tái)時(shí)利潤(rùn)最大.（3）由得x4.75-=0.1(百臺(tái)）或x48(百臺(tái)).產(chǎn)品年產(chǎn)量在10臺(tái)至4 800臺(tái)時(shí)，工廠不虧本.例3. 某市居民自來水收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：每戶每月用水不超過4噸時(shí)，每噸為1.80元，當(dāng)用水超過4噸時(shí)，超過部分每噸3.00元，某月甲、乙兩戶共交水費(fèi)y元，已知甲、乙兩用戶該月用水量分別為5x，3x噸.（1）求y關(guān)于x的函數(shù)；（2）若甲、乙兩戶該月共交水費(fèi)26.4元，分別求出甲、乙兩戶該月的用水量和水費(fèi).解：（1）當(dāng)甲的用水量不超過4噸時(shí)，即5x4，乙的用水量也不超過4噸，y=（5x+3x）1.8=14.4x;當(dāng)甲的用水量超過4噸，乙的用水量不超過4噸時(shí)，即3x4且5x4,y=41.8+3x1.8+3(5x-4)=20.4x-4.8.當(dāng)乙的用水量超過4噸時(shí)，即3x4,y=81.8+3(8x-8)=24x-9.6，所以y=(2)由于y=f(x)在各段區(qū)間上均為單調(diào)遞增，當(dāng)x0，時(shí),yf（）26.4;當(dāng)x（，時(shí)，yf（）26.4;當(dāng)x（,+）時(shí)，令24x-9.6=26.4,解得x=1.5,所以甲戶用水量為5x=7.5噸，付費(fèi)S1=41.8+3.53=17.70（元);乙戶用水量為3x=4.5噸，付費(fèi)S2=41.8+0.53=8.70（元).變式訓(xùn)練3：1999年10月12日“世界60億人口日”，提出了“人類對(duì)生育的選擇將決定世界未來”的主題，控制人口急劇增長(zhǎng)的緊迫任務(wù)擺在我們的面前.（1）世界人口在過去40年內(nèi)翻了一番，問每年人口平均增長(zhǎng)率是多少？（2）我國(guó)人口在1998年底達(dá)到12.48億，若將人口平均增長(zhǎng)率控制在1%以內(nèi)，我國(guó)人口在xx年底至多有多少億？以下數(shù)據(jù)供計(jì)算時(shí)使用：數(shù)N1.0101.0151.0171.3102.000對(duì)數(shù)lgN0.004 30.006 50.007 30.117 30.301 0數(shù)N3.0005.00012.4813.1113.78對(duì)數(shù)lgN0.477 10.699 01.096 21.117 61.139 2解：（1）設(shè)每年人口平均增長(zhǎng)率為x，n年前的人口數(shù)為y，則y(1+x)n=60，則當(dāng)n=40時(shí)，y=30，即30(1+x)40=60，(1+x)40=2， 兩邊取對(duì)數(shù)，則40lg(1+x)=lg2，則lg（1+x）=0.007 525，1+x1.017，得x=1.7%. （2）依題意，y12.48（1+1%）10，得lgylg12.48+10lg1.01=1.139 2,y13.78，故人口至多有13.78億. 答 每年人口平均增長(zhǎng)率為1.7%，xx年人口至多有13.78億. 小結(jié)歸納解決函數(shù)應(yīng)用問題應(yīng)著重注意以下幾點(diǎn)：1閱讀理解、整理數(shù)據(jù)：通過分析、畫圖、列表、歸類等方法，快速弄清數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，數(shù)據(jù)的單位等等；2建立函數(shù)模型：關(guān)鍵是正確選擇自變量將問題的目標(biāo)表示為這個(gè)變量的函數(shù)，建立函數(shù)模型的過程主要是抓住某些量之間的相等關(guān)系列出函數(shù)式，不要忘記考察函數(shù)的定義域；3求解函數(shù)模型：主要是計(jì)算函數(shù)的特殊值，研究函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的值域、最大(小)值等，注意發(fā)揮函數(shù)圖象的作用.4還原評(píng)價(jià)：應(yīng)用問題不是單純的數(shù)學(xué)問題，既要符合數(shù)學(xué)學(xué)科又要符合實(shí)際背景，因于解出的結(jié)果要代入原問題進(jìn)行檢驗(yàn)、評(píng)判最后作出結(jié)論，作出回答.