2019-2020年高二數(shù)學(xué) 7.6圓的方程(備課資料)大綱人教版必修.doc

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2019-2020年高二數(shù)學(xué) 7.6圓的方程(備課資料)大綱人教版必修參考練習(xí)題1.求下列各圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）圓心在y=-x上且過兩點（2，0），（0，-4）；（2）圓心在直線2x+y=0上，且與直線x+y-1=0切于點（2，-1）.（3）圓心在直線5x-3y=8上，且與坐標(biāo)軸相切.分析：從圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a) 2+(y-b) 2=r2可知，要確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，可用待定系數(shù)法確定a、b、r三個參數(shù).解：（1）設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,b)，則所求圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,圓心在y=-x上，b=-a又圓過（2，0），（0，-4）（2-a）2+b2=r2a2+(-4-b)2=r2由聯(lián)立方程組可得a=3,b=-3,r2=10.所求圓的方程為(x-3)2+(y+3)2=10.（2）圓與直線x+y-1=0相切，并切于點M（2，-1），則圓心必在過點M（2，-1）且垂直于x+y-1=0的直線l上，l的方程為y=x-3，即圓心為C（1，-2），r=,所求圓的方程為：(x-1)2+(y+2）2=2.（3）設(shè)所求圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,圓與坐標(biāo)軸相切，a=b,r=a又圓心(a,b)在直線5x-3y=8上.5a-3b=8,由得所求圓的方程為：（x-4)2+(y-4)2=16或(x-1)2+(y+1)21.2.已知圓x2+y2=25.求：（1）過點A（4，-3）的切線方程.（2）過點B（-5，2）的切線方程.分析：求過一點的切線方程，當(dāng)斜率存在時可設(shè)為點斜式，利用圓心到切線的距離等于圓的半徑列出方程，求出斜率k的值，斜率不存在時，結(jié)合圖形驗證，當(dāng)然若過圓上一點的切線方程，可利用公式xx0+yy0=r2求得.解：（1）點A（4，-3）在圓x2+y2=25上.過點A的切線方程為：4x-3y-25=0.（2）當(dāng)過點B（-5，2）的切線的斜率存在時，設(shè)所求切線方程為y-2=k(x+5).即kx-y+5k+2=0由得.此時切線方程為：21x-20y+145=0.當(dāng)過點B（-5，2）的切線斜率不存在時，結(jié)合圖形可知x=-5，也是切線方程.綜上所述，所求切線方程為：21x-20y+145=0或x=-5.3.求與圓x2+y2-2x=0外切，且與直線x+y=0相切于點（3，-）的圓的方程.分析：使用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，由題設(shè)列出方程組，求解待定系數(shù).解：設(shè)所求圓方程為（x-a）2+(y-b)2=r2.圓x2+y2-2x=0的圓心為（1，0），半徑為1.由兩圓外切得 由圓與直線x+y=0切于點（3，-）. 由得b=(a-4),代入得r=（2a-6）.將b=(a-4)及r=2a-6代入，得a=4,b=0,r=2.同理，將r=-(2a-6),b=(a-4)代入，可得a=0,b=-4,r=6.故所求圓的方程為（x-4）2+y2=4或x2+(y+4)2=36.備課資料參考練習(xí)題1.求過P（5，-3），Q（0，6）兩點，并且圓心在直線l：2x-3y-6=0上的圓方程.分析一：（1）利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，先求出PQ的垂直平分線l1，由l1與l的交點即圓心C，再求半徑r=OC.分析二：（2）利用圓的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0，分別將P、Q代入方程得兩個方程組，再由圓心(）在直線l上得一方程，解關(guān)于D、E、F.解：設(shè)所求圓的方程為：x2+y2+Dx+Ey+F=0將P(5,-3),Q(0,6)代入得5D-3E+F=-346E+F=-36又圓心（）在直線2x-3y-6=0上2D-3E+12=0聯(lián)組成方程組得D=-38,E=-,F=92.所求圓的方程為x2+y2-38x-y+92=0.2.圓C過點A（1，2），B（3，4）且在x軸上截得的弦長為6，求圓C的方程.分析：因所求圓的弦長為6，為求弦長，由x2-x1=及韋達(dá)定理來解.解：設(shè)所求圓的方程為：x2+y2+Dx+Ey+F=0令y=0得x2+Dx+F=0由韋達(dá)定理，得x1+x2=-D,x1x2=F.由x2-x1=6D2-4F=36將A（1，2），B（3，4）分別代入x2+y2Dx+Ey+F=0得D+2E+F=-53D+4E+F=-25解由組成的方程組得D=-8,E=-2,F=7或D=12,E=-22,F=27.故所求圓的方程為：x2+y2+12x-22y+27=0或x2+y2-8x-2y+7=0評述：與弦長有關(guān)的問題，要注意使用韋達(dá)定理，這樣可使運算簡化.3.已知圓x2+y2+x-6y+m=0與直線x+2y-3=0相交于P、Q兩點，O為坐標(biāo)原點，若OPOQ,求m的值.分析：設(shè)P1(x1,y1)、Q（x2,y2).由OPOQ得kOPkOQ=-1即x1x2+y1y2=0故可用韋達(dá)定理來解.解：由消去y得：5x2+10x+4m-27=0.設(shè)P1(x1,y1)、Q(x2,y2)由韋達(dá)定理知x1x2=，x1+x2=-2.消去x得：5y2-12y+m=0y1y2=由OPOQ,得kOPkOQ=-1=-1x1x2+y1y2=0=-1m=2.4.設(shè)方程(x2+y2-25)+a(2x-y-10)=0；a可取任何實數(shù)值，求證：這個方程表示圓恒過兩定點.證明：若(x2+y2-25)+a(2x-y-10)=0對任意a成立，則解得：即圓恒過定點（3，-4）、（5，0）.5.ABC的三個頂點坐標(biāo)分別為A（-1，5），B（-2，-2），C（5，5），求其外接圓的方程.分析：設(shè)出圓的方程的一般式，列方程組求待定系數(shù).解：設(shè)所求圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,由題設(shè)得方程組解得D=-4，E=-2，F(xiàn)=-20.ABC 的外接圓方程為x2+y2-4x-2y-20=0.評述：用待定系數(shù)法求圓的方程：（1）如果由己知條件容易求得圓心坐標(biāo)、半徑或需利用圓心的坐標(biāo)或半徑列方程的問題，一般采用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再用待定系數(shù)法求出a、b、r.（2）如果己知條件和圓心或半徑都無直接關(guān)系，一般采用圓的一般方程，再用待定系數(shù)法求出常數(shù)D、E、F.備課資料參考練習(xí)題1.填空題（1）已知圓的參數(shù)方程是 (02）若圓上一點M的坐標(biāo)為(4,-4)，則M所對應(yīng)的參數(shù)的值為 .分析：將點M的坐標(biāo)代入?yún)?shù)方程分別求得sin,cos的值，由此求的值.解：將點M（4，-4）代入得又02,=.答案：(2)已知圓的參數(shù)方程為,則它的普通方程為 .分析：由參數(shù)方程解得cos、sin的表達(dá)式，由cos2+sin2=1求出x與y的關(guān)系式，即可求得.解：由得由cos2+sin2=1得(x+5)2+(y-3)2=9答案：(x+5)2+(y-3)2=92.已知點M是圓x2+y2-4x=0上的一個動點，點N（2，6）為定點，當(dāng)點M在圓上運動時，求線段MN的中點P的軌跡方程，并說明軌跡的圖形.分析：先將圓x2+y2-4x=0化為(x-2)2+y2=4利用圓的參數(shù)方程求解.解法一：將已知圓的方程化為：（x-2）2+y2=4,則其參數(shù)方程為故可設(shè)點M（2+2cos,2sin)又點N（2，6）.MN的中點P為點P的軌跡方程為： 它表示圓心在（2，3），半徑為1的圓.3.若實數(shù)x、y滿足x2+y2-2x+4y=0，求x-y的最大值.分析一：將圓化為參數(shù)方程來解.解法一：將圓x2+y2-2x+4y=0變?yōu)?x-1)2+(y+2)2=5,圓的參數(shù)方程為代入x-y得x-y=（1+cos）-(-2+sin)=3+（cos-sin)=3+cos(+)3+x-y的最大值為3+.分析二：令x-y=u代入圓方程來解.解析二：令u=x-y，則y=x-u代入圓方程得2x2+2(1-u)x+u2-4u=0由=4(1-u)2-8(u2-4u)0即u2-6u-103-u3+即3-x-y3+x-y的最大值為3+.4.已知對于圓x2+(y-1)2=1上任意一點P（x,y)，不等式x+y+m0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.分析：將圓的參數(shù)方程代入x+y+m0，轉(zhuǎn)化為求m的最值問題來解.解：由x2+(y-1)2=1得其參數(shù)方程為：代入x+y+m0得cos+1+sin+m0m-cos-sin-1m-sin()-1恒成立，轉(zhuǎn)化為求-sin(+)-1的最大值，-sin（+）-1的最大值為-1.m-1.5.已知圓x2+y2=1,定點A(1,0),B、C是圓上兩個動點，保持A、B、C在圓上逆時針排列，且BOC=（O為坐標(biāo)原點），求ABC重心G的軌跡方程.分析：利用三角形重心坐標(biāo)公式：來解.解：令B（cos,sin）,則C(cos(+),sin(+),設(shè)重心坐標(biāo)為G（x,y）則化為普通方程得：(x-)2+y2=.